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长春市第八中学 2024—2025 学年下学期高一年级月考
数学试题
一、单选题
1. 已知复数 z 满足 ，则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数 除法运算求得复数 z 的值，进而得到复数所对应的点的坐标，从而得到所在象限.
【详解】因为 ，所以 ，
即 z 在复平面内所对应的点为 ，在第二象限．
故选:B．
【点睛】本题考查复数的除法运算和由复数判定对应点的象限，属基础题.
2. 已知向量 ， ， ，若 A，C，D 三点共线，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三点共线的向量表示即可求解.
【详解】 ，
因为 A，C，D 三点共线，所以 与 共线，
所以 ，解得 ．
故选：D.
3. 已知 ， 均为平面上 单位向量，若 ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
第 1页/共 15页【解析】
【分析】首先根据向量垂直得到 ，再根据向量数量积的运算律即可得到答案.
【详解】因为 ，则 ，则 ，
即 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
4. 已知 的内角 所对的边分别是 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知得 ，再由正弦边角关系即可得比值.
【详解】由 ，且 ，则 ，
所以 .
故选：D
5. 已知圆锥 的母线长为 6，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形 弧长公式可得 ，进而求圆锥的表面积.
【详解】设圆锥 的底面半径为 ，
则 ，解得 ，
所以该圆锥的表面积为 .
故选：A.
6. 在直三棱柱 中， ，若该棱柱外接球的表面积为 ，则侧面
第 2页/共 15页绕直线 旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由外接球表面积得到球的半径，进而求得 ，即可求解.
【详解】因直三棱柱 中， ，
则两个底面三角形的外接圆圆心分别为 的中点 ，
如图所示， .
设棱柱的外接球的半径为 ，圆心为 ，
由 ，可得 ，由对称性知，O 为 中点，
由图 ，解得 .
因侧面 绕直线 旋转一周后得到的几何体是底面半径为 ，高为 2 的圆柱，
其体积为 .
故选：B
7. 在 中，角 所对的边分别为 ， ，且 的面积为 ，若 ，则
（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形面积可推出 ，利用余弦定理即可求得答案.
第 3页/共 15页【详解】由于 , ，故有 ，解得 ，
又 ，则 ,
故选：A．
8. 如图，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边交于 ， 两点，设
， ，则 的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形重心性质，得 ，再由平面向量基本定理设 ，
即 ，对照系数，得 ，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得
的最小值.
【详解】
如图，延长 交 于点 ，因点 是 的重心，
则 ，①
因 三点共线，则 ，使 ，
因 ， ，代入得， ，②
第 4页/共 15页由①，②联立，可得， ，消去 即得， ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，
即 时， 取得最小值， .
故选：C.
二、多选题
9. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ）
A. 若 ，则
B. 在锐角 中，不等式 恒成立
C. 在 中，若 ，则 必是等腰直角三角形
D. 若 且该三角形有两解，则 b 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦定理，正弦函数的性质及倍角公式，结合各选项条件逐项求解判断．
【详解】对于 A，在 中， ，A 正确；
对于 B，锐角 中， ，则 ，
故 ，B 正确；
对于 C，在 中，若 ，则 ，
即得 ，故 或 ，
故 或 ，即 是等腰三角形或直角三角形，C 错误；
对于 D， 有两解，如图示，
第 5页/共 15页则 ，而 ，因此 ，D 正确．
故选：ABD
10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A. 点 ，与向量 共线的单位向量为
B. 非零向量 和 满足 ，则 与 的夹角为
C. 已知平面向量 ， ，若向量 与 的夹角为锐角，则
D. 已知向量 ， ，则 在 上的投影向量的坐标为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于 A，根据共线向量及单位向量的概念运算即得；对于 B，利用向量夹角公式结合条件即得；对
于 C，由题可得 即可判断；对于 D，根据投影向量的概念结合条件即得.
【详解】对于 A，因为 ，且 ，所以与向量 共线的单位向量为
，故错误；
对于 B，因为 ，所以 ，即 ，化简得 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故正确；
第 6页/共 15页对于 C，由 ， ，向量 与 的夹角为锐角，则 ，所以 且 ，故错
误；
对于 D，因为 ， ，
所以 在 上的投影向量的坐标为 ，故正确.
故选：BD.
11. 如图，正四棱台 上底面的边长为 2，下底面边长为 4，体积为 56，则下列说法正确的
是（ ）
A. 该四棱台的高为 3
B. 该四棱台的侧棱长为
C. 该四棱台的侧面积为
D. 该四棱台不存在内切球
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据棱台的体积公式可求高判断选项 A；做辅助线构造直角梯形结合已知条件可求该直角梯形的
腰线即四棱台的侧棱，判断选项 B；进一步做辅助线构造直角梯形求侧面梯形的高进一步求侧面积来判断
选项 C；由正四棱台与球的对称性确定球心，求出球心到各个面的距离不是全部相等所以不存在内切球来
判断选项 D.
【详解】选项 A：设正四棱台 的高为 ，则 ，（台体的体积
公式： ，其中 为台体的体积， 为台体的高， 分别为台体的上、下底面面
积）
解得 ，故 A 错误．
第 7页/共 15页选项 B：如图，连接 ，设 分别为 的中点，
连接 ，因为正四棱台 上底面的边长为 2，下底面边长为 4，
所以 ， ，则 ，故 B 正确．
选项 C：取 中点 ，过 作 的垂线，垂足为 ，则 ，所以该四棱
台的侧面积为 ，故 C 正确．
选项 D：如图，设 为 的中点，易知 为 的中点，连接 ，
作 于 ，若该四棱台存在内切球，则 ，（点拨：注意正四棱台与球的对称性）
而 ，故该四棱台不存在内切球，故 D 正确．
故选：BCD
三、填空题
12. 已知单位向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】 两边平方，得到 ，则 ，求出答案.
【详解】 两边平方得 ，
即 ，则 ，
故 与 的夹角为
第 8页/共 15页故答案为：
13. 已知水平放置的四边形 ABCD 按照斜二测画法画出的直观图 如图所示，其中 ，
， ，则四边形 ABCD 的面积为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积.
【详解】根据斜二测画法，原来的高变成了 方向的线段，且长度是原高的一半，
，所以原高为 ，
画出原图形如图所示，过点 D 作 于 E，而横向长度不变，且梯形 ABCD 是直角梯形，则
.
故答案为：6.
14. 如图，城市 在观察站 的北偏东 方向上且相距 ，在观察站 的北偏西 方向上相距
.则观察站 和 相距________km.
【答案】
【解析】
第 9页/共 15页【分析】由条件可得 ， ， ，利用余弦定理求
【详解】由条件可得 ， ， ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
故 .
故答案为： .
四、解答题
15. 已知向量 ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 与 的夹角的余弦值．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，即可求解；
（2）根据向量平行的坐标运算求出 ，再根据向量夹角的坐标运算可得结果.
【小问 1 详解】
由 ，可得 ，即 ．
又 ， ，所以 ， ，
所以 ，解得 ．
【小问 2 详解】
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，所以 .
又 ，
第 10页/共 15页所以 ，
所以 与 的夹角的余弦值为 ．
16. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）先由平方关系求出 ，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论 以及 可解出 ，即可由三角形面积公式
求出面积．
【小问 1 详解】
由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
【小问 2 详解】
因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
17. 某海域的东西方向上分别有 两个观测点（如图），它们相距 海里.现有一艘轮船在 点
第 11页/共 15页发出求救信号，经探测得知 点位于 点北偏东 ， 点北偏西 ，这时，位于 点南偏西 且与
点相距 海里的 点有一救援船，其航行速速为 海里/小时.
（1）求 点到 点的距离 ；
（2）若命令 处的救援船立即前往 点营救，求该救援船到达 点需要的时间.
【答案】（1）
（2）2 小时
【解析】
【分析】（1）在 中利用正弦定理，求出 ；
（2）在 中，利用余弦定理求出 ，根据速度求出时间．
【小问 1 详解】
由题意知 海里，
，
，
在 中，由正弦定理得 ，
，
（海里）.
【小问 2 详解】
在 中， ，
（海里），由余弦定理得
第 12页/共 15页，
（海里），则需要的时间 （小时）．
答：救援船到达 点需要 2 小时．
18. 如图，在平行四边形 中， ， ，若 M，N 分别是边 ， 所在直线上的点，
且满足 ， ，其中 k， ，设 ， .
（1）当 ， 时，用向量 和 分别表示向量 和 ；
（2）当 ， 时，求 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算求解；
（2）用 表示 ，利用数量积的运算律求出 ，根据二次函数的性质可求其范围.
【小问 1 详解】
当 ， 时，
，
【小问 2 详解】
当 ， 时，
， ，
故
第 13页/共 15页，
因为 ，故
故 的取值范围为 .
19. 在锐角三角形 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ，求 的周长 l 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由降幂公式结合特殊角的三角函数值可得；
（2）由正弦定理边化角得到周长的表达式，再两角差的正弦展开式和辅助角公式结合正弦函数的取值范围
求解即可；
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
解得 或 （舍去），
又 ，所以 .
【小问 2 详解】
由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 的周长 ，
第 14页/共 15页即
，
又 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 的周长 l 的取值范围为 .
第 15页/共 15页
