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长春市第八中学 2024—2025 学年下学期高一年级月考
数学试题
一、单选题
1. 已知复数 z 满足 ，则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量 ， ， ，若 A，C，D 三点共线，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ， 均为平面上的单位向量，若 ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
4. 已知 的内角 所对的边分别是 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥 的母线长为 6，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）．
A B. C. D.
6. 在直三棱柱 中， ，若该棱柱外接球的表面积为 ，则侧面
绕直线 旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在 中，角 所对的边分别为 ， ，且 的面积为 ，若 ，则
（ ）
A B. 5 C. D.
8. 如图，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边交于 ， 两点，设
， ，则 的最小值为（ ）
第 1页/共 4页A. B. 4 C. D. 3
二、多选题
9. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ）
A. 若 ，则
B. 在锐角 中，不等式 恒成立
C. 在 中，若 ，则 必是等腰直角三角形
D. 若 且该三角形有两解，则 b 的取值范围是
10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A. 点 ，与向量 共线的单位向量为
B. 非零向量 和 满足 ，则 与 的夹角为
C. 已知平面向量 ， ，若向量 与 夹角为锐角，则
D. 已知向量 ， ，则 在 上的投影向量的坐标为
11. 如图，正四棱台 上底面的边长为 2，下底面边长为 4，体积为 56，则下列说法正确的
是（ ）
A. 该四棱台的高为 3
B. 该四棱台的侧棱长为
C. 该四棱台的侧面积为
D. 该四棱台不存在内切球
三、填空题
12. 已知单位向量 ， 满足 ，则 与 夹角为___________.
13. 已知水平放置的四边形 ABCD 按照斜二测画法画出的直观图 如图所示，其中 ，
第 2页/共 4页， ，则四边形 ABCD 的面积为__________.
14. 如图，城市 在观察站 的北偏东 方向上且相距 ，在观察站 的北偏西 方向上相距
.则观察站 和 相距________km.
四、解答题
15. 已知向量 ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 与 的夹角的余弦值．
16. 在 中，角 A，B，C 所对 边分别为 a，b，c．已知 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积．
17. 某海域的东西方向上分别有 两个观测点（如图），它们相距 海里.现有一艘轮船在 点
发出求救信号，经探测得知 点位于 点北偏东 ， 点北偏西 ，这时，位于 点南偏西 且与
点相距 海里的 点有一救援船，其航行速速为 海里/小时.
第 3页/共 4页（1）求 点到 点的距离 ；
（2）若命令 处的救援船立即前往 点营救，求该救援船到达 点需要的时间.
18. 如图，在平行四边形 中， ， ，若 M，N 分别是边 ， 所在直线上的点，
且满足 ， ，其中 k， ，设 ， .
（1）当 ， 时，用向量 和 分别表示向量 和 ；
（2）当 ， 时，求 的取值范围.
19. 在锐角三角形 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ，求 的周长 l 的取值范围．
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