文档内容
吉林省长春市第二实验中学2025-2026学年高一上学期期中考试
数学试卷
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 是幂函数，则 （ ）
A． B．2 C． D．1
4．已知函数 （ ，且 ）的图象过定点（m，n），则 （ ）
A． B． C． D．
5．不等式 的解集是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各组函数是同一函数的是（ ）
① 与 ；
② 与 ；
③ 与 ；
④ 与 .
A．①② B．②④ C．③④ D．①④7．已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
二、多选题
9．若 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 ， ，若对任意的 ，存在 ，使得
成立，则实数 的取值可以为（ ）
A．－7 B．0 C．3 D．7
11．已知 满足 ，且 时， ， ．则（ ）
A． 是奇函数 B． 是 上的增函数
C． D． 的解集为
三、填空题
12．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ．
13．已知“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围是 ．
14．对于任意实数 ， 表示不超过 的最大整数，如 ， ，定义在 上的函数，若 ，则 中所有元素的和为 .
四、解答题
15．（1） ；
（2）已知 ，求 的值．
16．已知函数
(1)用定义法证明函数 在区间 上是增函数；
(2)若函数 的定义域为 ，且 ，求实数 的取值范围.
17．已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， .
(1)求 ；
(2)求 时，函数 的解析式；
(3)若 ，求实数 的取值范围.
18．《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才
振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就
是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色
小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量 （单位： ）与肥料费用 （单位：元）满足如下关系：
其它总成本为 （单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且
供不应求，记该单株农作物获得的利润为 （单位：元）．(1)求 的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？
19．我们把函数 叫做双曲正弦函数，记作 ；把函数 叫做双曲余弦函数，记作
．（其中常数 ）
(1)请从下面两个公式中选择一个证明．（若两个公式都证明，按第一个证明计分）
① ；
② ．
(2)若 ，求关于 的不等式 的解集；
(3)若在函数 的定义域内存在 ，使得 成立，则称 为局部对称函数，其
中 为 的图象的局部对称点．若 是函数 的图象的局部对称点，
求实数 的最大值．参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A D C C D BC ABC
题号 11
答案 ABC
1．B
【详解】因为集合 ， ，故 .
故选：B.
2．C
【详解】由 ，得 ，所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
3．C
【详解】由题知 ，解得 ，
，
故选：C.
4．A
【详解】因为 ，所以函数过定点 ，
即 ，则 ，
故选：A.
5．D
【详解】因为不等式 的解集是 ，
所以 ， 和 是方程 的根，
所以 ，即 ， ，则 ．
故选：D．
6．C
【详解】①中两函数定义域不同，故这两个函数不是同一函数；② 的定义域为 ， 的定义域为 ，这两个函数的定义域不同，故这两个函数
不是同一函数；
③ 与 的定义域是 ，并且 ，对应法则也相同，故这两个函数是同
一函数；
④ 与 是同一函数；
所以是同一函数的是③④.
故选：C.
7．C
【详解】∵ ，
∴
，
当且仅当 ,即 ， 时，取等号.
故选：C.
8．D
【详解】当 时， ，由 得 ，无解；
当 时， ，由 得 ，解得 ；
当 时，由 得 ，解得 ，舍去．
故 ．所以 ．
故选：D
9．BC
【详解】对于A，由 ，得 ，而 ，则 ，A正确；
对于B，由 ，得 ，而 ，则 ，B错误；对于C，由 ， ，得 ，则 ，C错误；
对于D，由 ， ，得 ，D正确.
故选：BC
10．ABC
【详解】函数 ，对称轴为 ，
所以该函数在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， .
该函数的最大值为 .
而 在 上单调递减，所以 .
所以 ，即 ，所以选项A,B,C均符合，而D不符合.
故选：ABC.
11．ABC
【详解】对于A，令 可得 ，所以 ，
令 ，得 ，
，即 ，
所以 是奇函数，故A正确；
对于B，设 ，则 ，
，
又 ，即 ，，
所以 是定义在 上的增函数，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，
，即 ，
又 是定义在 上的增函数，
，解得 ，
不等式的解集为 ，故D错误；
故选：ABC．
12．
【详解】 ， ，
的定义域为 ．
故答案为：
13．
【详解】由题意， ， ，
当 时， 符合题意；
当 时， ．
综上，实数 的取值范围是 ．
14．14
【详解】由题意知，①当 时， ， ， ，
②当 时， ， ， ，
③当 时， ， ， ，
④当 时， ， ， ，
⑤当 时， ， ， ，
故 中所有元素的和为 .
故答案为：14
15．（1） ；（2）9
【详解】（1）原式 ．
（2）由 ，故可得 ，整理得 ．
，整理得 ，
故 ．
16．(1)证明见解析
(2) 或
【详解】（1）任取 ，且 ， ，
则
，
又 ， ， ，则 ， ，
所以 ， ，得到 ，即 ，
所以函数 在区间 上是增函数.
（2）因为函数 的定义域为 ，
且在区间 上是增函数，由 ，
得到 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 或 .
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1） 函数 是定义在 上的偶函数；
，即 ；
（2）令 ，则 ，则 ，
又由函数 为偶函数，则 ，
即 时， ；
（3）由（1）知 ，
由（2）可知， ，
在 上为严格减函数.又 是定义在 上的偶函数，则 在 上为严格增函数.
所以 ，
解得 .
故实数a的取值范围为 .
18．(1)
(2)当投入的肥料费用为6元时，该单株农作物获得的利润最大，最大利润为52元
【详解】（1）由题意可得，
所以函数 的函数关系式为
（2）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，所以 ，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时
综上：当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大为52元.
19．(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3) ．
【详解】（1）证明：选择①，证明如下：由定义可得， ，
，
故 ．
若选择②，证明如下：
，
．
故 ．
（2）因为 在 上都是增函数，
所以 在 上是增函数．
因为 ，所以 在 上是奇函数，
关于 的不等式
转化为 ，
即 ，
所以 ，则 ，
当 时，解得 或 ；
当 时，解得 ，当 时，解得 或 ；
故当 时，不等式的解集为 或 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 或 ．
（3） ，
由 是函数 的图象的局部对称点，
可得 ， ，
代入整理得 ，
设 ，则 ， ，
则 ，
所以 ，
当 时， 和 均为增函数，
所以 在 上是增函数，
所以 ，所以 ，
