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2024 年高三年级第一次综合练习
数学
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集的定义即可得解.
【详解】因为全集 ，集合 ，
所以 .
故选：B.
2. 抛物线 的准线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线标准方程即可求解.
【详解】由题知，抛物线方程为 ，
则其准线方程为 .
故选：C
3. 已知i是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数m的值是（ ）A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数 ，再根据纯虚数的定义即可得解.
【详解】 ，
因为复数 是纯虚数，
所以 ，解得 .
故选：C.
4. 已知角 的终边经过点 ，把角 的终边绕原点O逆时针旋转 得到角 的终边，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ，再根据诱导公式及三角函数的定义即可得解.
【详解】因为角 的终边经过点 ，
所以 ，
因为把角 的终边绕原点O逆时针旋转 得到角 的终边，
所以 ，所以 .
故选：D.
5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减
一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健
步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路
程为（ ）
A. 12里 B. 24里 C. 48里 D. 96里
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，此人 天中每天走 的路程是公比为 的等比数列，再根据等比数列的前 项和
公式及通项公式求解即可.
【详解】由题意可得，此人 天中每天走的路程是公比为 的等比数列，
设这个数列为 ，前 项和为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
即该人第三天走的路程为48里.
故选：C.
6. 直线 截圆 所得劣弧所对的圆心角为 ，则r的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件用圆的半径r表示出圆心到直线 距离即可计算作答.【详解】因直线 截圆 所得劣弧所对的圆心角为 ，
令劣弧的两个端点为 ，则 为等边三角形，
故圆心 到直线 的距离等于 ，
即 ，解得 .
故选：B.
7. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求出 ，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由 可得： ，
解得： ，
所以“ ”能推出“ ”，
但“ ”推不出“ ”，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
8. 已知 ，则下列命题为假命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D【解析】
【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；
利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故A结论正确；
对于B，当 时，因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，故B结论正确；
对于C，因为 ，所以 ，
而函数 减函数，所以 ，故C结论正确；
为
对于D， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D结论错误.
故选：D.
9. 在平面直角坐标系中，已知 两点．若曲线C上存在一点P，使 ，则称曲线
C为“合作曲线”，给出下列曲线：① ；② ；③ ．其中“合作曲线”是（
）
A. ①② B. ②③ C. ① D. ②
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，设点 ，由“合作曲线”的定义可知，曲线 上存在点 ，使得
，然后逐一判断，即可得到结果.
【详解】设点 ，则 ，
由 可得 ，即 ，即曲线 上存在点 ，使得 ，即为“合作曲线”，
对于①，由双曲线 可得 ，
则双曲线 上存在点 满足 ，故①为“合作曲线”；
对于②，由椭圆 可得 ，
则椭圆 上存在点 满足 ，故②为“合作曲线”；
对于③，因为圆心 到直线 的结论 ，
故直线 上不存在一点 满足 ，故③不为“合作曲线”；
故选：A
10. 若函数 ，则函数 零点的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或3
【答案】A
【解析】
【分析】令 ，则 ，则函数 零点的个数即为函数
图象交点的个数，构造函数 ，利用导数求出函数 的单调区间，
作出其大致图象，结合图象即可得解.
【详解】 ，
令 ，则 ，则函数 零点的个数即为函数 图象交点的个数，
令 ，
当 时， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
当 时， ，
当 时， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
又当 时 ，当 时， ，
作出函数 的大致图象如图所示，
由图可知函数 的图象有且仅有一个交点，
所以函数 零点的个数为 个.
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数
的图象的交点问题.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线 的离心率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的标准方程求出 ，即可求出双曲线的离心率.
【详解】由双曲线 可得： ，
所以双曲线 的离心率是 .
故答案为： .
12. 如图．已知矩形 中， ， ， 分别是 ， 的中点，则
_________．
【答案】
【解析】
【分析】用 、 作为一组基底表示出 ， ，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】依题意 ，
，
所以
.
故答案为：
13. 设 ，则 ________；当 时， _________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】令 可求出 ；先求出 的通项，令 和 ，求出 ，再由 ，即可
求出 的值.
【详解】令 可得： ，
的通项为： ，
令 可得 ，
令 可得 ，
所以由 可得 ，所以 .
故答案为： ； .
14. 若对任意 ，函数 满足 ，且当 时，都有 ，则函数的一个解析式是_________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据指数的运算性质及指数函数的单调性即可得解.
【详解】由题意，可取 ，
函数 是减函数，满足 时，都有 ，
因为 ，
所以函数 满足题意.
故答案为： .（答案不唯一）
15. 如图，在棱长为1的正方体 中，点P是对角线 上的动点（点P与点A， 不重
合）．给出下列结论：
①存在点P，使得平面 平面 ；
②对任意点P，都有 ；
③ 面积的最小值为 ；④若 是平面 与平面 的夹角， 是平面 与平面 的夹角，则对任意点P，都
有 ．其中所有正确结论的序号是_________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】①可通过线面垂直的判定定理找到点P；②③④都可以通过建立空间直角坐标系解决，其中通过
向量的长度可以对②进行判断；利用两条直线所成的角和三角形面积公式可以判断③；求出三个面的法向
量，并求出 和 ，即可对④进行判断.
【详解】①因为 ，在 上取点 使 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，故①正确；
②以 为原点，以 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图
， ， ， ，则 ， ，
设 ，则
，
,
从而 ， ，所以 ，故②正确；
③由② ， ， ，
，
，
当且仅当 时等号成立，所以 面积的最小值为 ，故③正确；
④平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
设平面 的法向量 ，
由 即 得 ，
令 得 ，
则 ， ，
令 得 或 ，而 ，故 ，
从而对存在点P，使得 ，而 不大于直角，
故 ，故④错误；故答案为：①②③.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在五面体 中，四边形 是矩形，平面 平面 ， 是正三角形，
， ， ．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明 平面 ，再根据线面平行的性质即可得证；
（2）分别取 的中点 。连接 ，根据面面垂直的性质可得 平面 ，再以
点 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
所以 ；
【小问2详解】如图，分别取 的中点 ，连接 ，
则 ，
因为 是正三角形，所以 ， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
因为 平面 ，
所以 即为平面 的一条法向量，
则 ，
所以二面角 的余弦值为 ．17. 在 中， ，且 ．
（1）求 的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求
的面积．
条件①： 为锐角；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解
答计分．
【答案】（1） ；
（2）①， ；③， .
【解析】
【分析】（1）根据 得 为锐角，从而根据 的值得到 的大小；
（2）②由正弦定理得 ，根据 为锐角得 ，则 存在且唯一确定，进而得到 ，由
得到 的面积；
③由正弦定理得边 ，再根据 得到 ，由 得到 的面积.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，所以 ，由 得 ， .【小问2详解】
选条件①： 为锐角；
由正弦定理 即 知 ，
因为 为锐角，所以 ，所以 存在且唯一确定.
，
从而 .
选条件②： ，由 得 ，从而 可能是锐角，也可能是钝角，则 不唯一，
故不能选②；
选条件③： ，
由 ，得 ，所以 ， ，
由正弦定理 即 得 ，
，
.
18. 《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术
等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：
项目 国际级运动健将 运动健将 一级运动员 二级运动员 三级运动员男子跳远 8.00 7.80 7.30 6.50 5.60
女子跳远 6.65 6.35 5.85 5.20 4.50
在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为
预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下
数据（单位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，
（1）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；
（2）设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学
期望 ；
（3）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级
比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：
第1跳 第2跳 第3跳 第4跳 第5跳 第6跳
甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49
丙 5.84 5.82 5.85 5.83 5.86 a
若丙第6次试跳的成绩为a，用 分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当 时，写出a的值．
（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）
（3） 或 .
【解析】
【分析】（1）由已知数据计算频率，用频率估计概率；
（2）由X的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望 ；（3）当两人成绩满足 的模型，方差相等.
【小问1详解】
甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，
用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为 ；
【
小问2详解】
设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件 ，
以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有 ， ， ，
X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，
则X可能的取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
估计X的数学期望 ；
【小问3详解】
甲的6次试跳成绩从小到大排列为： ，
设这6次试跳成绩依次从小到大为 ，
丙的5次试跳成绩从小到大排列为： ，设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为 ，
当 时，满足 ， 成立；
当 时，满足 ， 成立.
所以 或 .
19. 已知椭圆 的离心率为 ，左焦点为 ，过 的直线交椭圆 于 、
两点，点 为弦 的中点， 是坐标原点，且由于 不与 ， 重合．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 是 延长线上一点，且 的长度为 ，求四边形 面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率以及焦点坐标，直接求出 、 ，再根据 确定 即可求出椭
圆方程；
（2）根据已知条件设出直线方程，直曲联立，利用韦达定理确定确定 ， ，利用中点坐标公式
求出 点坐标，得到直线 的方程，求出点 、 到直线的距离，结合已知条件可以表示出四边形
面积为 ，根据 的取值范围，即可求解四边形 面积的取值范围．
【小问1详解】因为 ，得 ；又 ，所以 ，所以 ；
所以 ，所以椭圆的方程为 .
【小问2详解】
设过 的直线为 ，与椭圆两交点坐标分别为 ， ，
由于 不与 ， 重合，可知直线 的斜率存在且不为 ，
根据已知条件设直线 方程为 ，联立直线方程与椭圆方程 ，
整理有 ；
，即 ，整理有： 恒成立；
根据韦达定理： ， ；
因为 为弦 的中点，所以 ；
因为 在直线 上，所以 ，解得 ，
所以直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，化为一般式为： ；
设 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离也为 ，
因为 为弦 的中点，由点到直线距离公式有：
，因为 、 位于 两侧，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
设四边形 面积为 ，
根据题意有： ，
因为 ，所以 .
所以 ，所以 .
所以四边形 面积的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：直曲联立利用韦达定理确定 ， ，将四边形 面积转化为求两个三角形 、 面积之和，利用点到直线距离化简即可将 表示成 ，最后结合
的范围求 的范围.
20. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，求函数 的极大值；
（3）若 ，求函数 的零点个数．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导，再根据导数 的几何意义即可得解；
（2）求导，分 ， 和 三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；
（3）令 ，则 ，再分 的正负讨论，当 时，分离参数可得 ，
则 函 数 零 点 的 个 数 即 为 函 数 图 象 交 点 的 个 数 ， 构 造 函 数
，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【小问1详解】
当 时， ， ，
则 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
【小问2详解】
，则 ，
则 ，
当 时， ，此时函数 无极值；
当 时，令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ；
当 时，令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
而函数 的定义域为 ，
所以此时函数 无极值.
综上所述，当 时，函数 无极大值；
当 时， 的极大值为 ；
【小问3详解】
令 ，则 ，当 时， ，
所以 时，函数 无零点；
当 时，由 ，得 ，所以 ，
则 时，函数 零点的个数即为函数 图象交点的个数，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
又当 时， 且 ，当 时， ，
如图，作出函数 的大致图象，
又 ，由图可知，所以函数 的图象只有 个交点，
即当 时，函数 只有 个零点；
综上所述，若 ，函数 有 个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数
的图象的交点问题.
21. 已知无穷数列 是首项为1，各项均为正整数 的递增数列，集合
．若对于集合A中的元素k，数列 中存在不相同的项
，使得 ，则称数列 具有性质 ，记集合 数列 具
有性质 ．
（1）若数列 的通项公式为 写出集合A与集合B；
（2）若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当 时，
证明： ；
（3）若 满足 ，证明： ．
【答案】（1） ，
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）定义 ，可知 ，结合题中通项公式分析求解；
（2）根据题意可知 ，可得 ，即可分析证明；
（3）由题意可知： ，可知集合 在 均不在元素，分类讨论集合 是否为空集，
结合题意利用数学归纳法分析证明.
【小问1详解】定义 ，由题意可知 ，
若数列 的通项公式为 ，可知 ，
所以 ，
因为2只能写成 ，不合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
所以 .
【小问2详解】
因为 ，由题意可知： ，且 ，
即 ，
因为 ，即存在不相同的项 ，使得
可知 ，所以 .
【小问3详解】
因为 ，
令 ，可得 ，则 ，即 ，
即集合 在 内均不存在元素，此时我们认为集合 在 内的元素相同；
（i）若集合A是空集，则B是空集，满足 ；（ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素为t，可知 ，
由（2）可知：集合B存在的最小元素为s，且 ，
设存在 ，使得 ，
可知集合 在 内的元素相同,
可知 ，则 ，
因为 ，即 ，则 ，
可知 ，
且 ，
即集合 在 内的元素相同，可知集合 在 内的元素相同，
现证对任意 ，集合 在 内的元素相同，
当 ，可知集合 在 内的元素相同，成立；
假设 ，集合 在 内的元素相同，
可知集合 在 内的元素相同；
对于 ，因为 ，则 ，
若 ，则 ，可知 ，
可以认为集合 在 内的元素相同；
若 ，则 ，
若 存在元素 不属于集合C，
则元素 属于集合A，且 ，可知元素 属于集合B，
即数列 中存在不相同的项 ，使得 ，则 ，可知 ，
可知 ，
即集合 在 内的元素相同；
综上所述：对任意 ，集合 在 内的元素相同，
所以集合 在 内的元素相同，结合n的任意性，可知 ；
综上所述： .
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把新定义问题转化为已经学过的知识，常常利
用数学归纳法分析证明.
