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石景山区2023年高三统一练习
数 学
本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，
在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
（1）已知集合 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
（2）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 =
（A） （B） （C） （D）
（3）已知双曲线 的离心率是 ，则
（A） （B） （C） （D）
（4）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是
（A） （B）
（C） （D）
（5）设 ， ，则“ ”是“ ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）已知数列 满足：对任意的 ，都有 ，且 ，则
（A） （B） （C） （D）
（7）若函数 的部分图
y
象如图所示，则 的值
是
m
（A）
O x
（B）
（C）
（D）
（8）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 单位： 与燃料的质量
单 位 ： ， 火 箭 除 燃 料 外 的 质 量 单 位 ： 的 函 数 关 系 是
．当燃料质量与火箭质量的比值为 时，火箭的最大速度可达
到 若要使火箭的最大速度达到 ，则燃料质量与火箭质量的比值
应为
（A） （B） （C） （D）
（9）已知直线 被圆 所截得的弦长为整数，则满
足条件的直线 有
（A） 条 （B） 条 （C） 条 （D） 条
（10）已知正方体 的棱长为 ，点 为正方形 所在平面内一动
点，给出下列三个命题：
①若点 总满足 ，则动点 的轨迹是一条直线；
②若点 到直线 与到平面 的距离相等，则动点 的轨迹是抛物线；
③若点 到直线 的距离与到点 的距离之和为 ，则动点 的轨迹是椭圆．
其中正确的命题个数是（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）向量 ， ，若 ，则 __________.
（12）抛物线 的焦点坐标为_______，若抛物线 上一点 的纵坐标为 ，
则点 到抛物线焦点的距离为________．
（13）若 的展开式中含有常数项，则正整数 的一个取值为_________．
（14）设函数
① 若 ，则 的最大值为_______；
② 若 无最大值，则实数 的取值范围是_______．
（15）项数为 的有限数列 的各项均为不小于 的整数，满足
，其中 .给出下列四个结论：
①若 ，则 ；
②若 ，则满足条件的数列 有 个；③存在 的数列 ；
④所有满足条件的数列 中，首项相同．
其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）(本小题满分13分)
如图，在 中， ， ，点 在 边上，
．
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）若 的面积为 ，求 的长．
A
C D B（17）（本小题满分13分）
某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察速效肥和
缓释肥对农作物影响情况．其中速效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应
三组．观察一段时间后，分别从 三组随机抽取 株鸡冠花作为样本，得到
相应的株高增量数据整理如下表．
株高增量（单位：厘
米）
第 组鸡冠花株数
第 组鸡冠花株数
组鸡冠花株数
第
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．
（Ⅰ）从第 组所有鸡冠花中随机选取 株，估计株高增量为 厘米的概率；
（Ⅱ）分别从第 组，第 组，第 组的所有鸡冠花中各随机选取 株，记这 株鸡冠花
中恰有 株的株高增量为 厘米，求 的分布列和数学期望 ；（Ⅲ）用“ ”表示第 组鸡冠花的株高增量为 厘米，“ ”表示第 组
鸡冠花的株高增量为 厘米， ，直接写出方差 的大
小关系．（结论不要求证明）
（18）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 为等腰
直角三角形，且 ，点 为棱 上的点，平面 与棱 交于点 ．
P
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
F
两个作为已知，求平面 与平面 所 E
成锐二面角的大小．
A
D
条件①： ；
条件②：平面 平面 ； B C
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的
条件分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题满分15分)
已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 且互相垂直的直线 分别交椭圆 于 两点及 两点．求
的取值范围．
（20） (本小题满分15分)
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，
（ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（ⅱ）求证： ， ．
（Ⅱ）若 在 上恰有一个极值点，求 的取值范围．
（21） (本小题满分15分)
若无穷数列 满足以下两个条件，则称该数列为 数列.① ，当 时， ；
②若存在某一项 ，则存在 ，使得 且
．
（Ⅰ）若 ，写出所有 数列的前四项；
（Ⅱ）若 ，判断 数列是否为等差数列，请说明理由；
（Ⅲ）在所有的 数列中，求满足 的 的最小值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
