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北京市石景山区 2024-2025 学年高一上学期期末考试
数 学
本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 ， ，那么
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知命题 ，那么命题 为
（A） （B）
（C） （D）
（3）某田径队有运动员 人，其中男运动员 人，女运动员 人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，
采用分层抽样的方法获得一个容量为 的样本，那么应抽取男运动员的人数为
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知 ，则“ ”是“ ”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）函数 的图象可能是
（A） （B） （C）
（D）
（6）已知 ， ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（7）某袋中有编号为 的 个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号
后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是
（A） （B）
1（C） （D）
（8）函数 的零点所在的区间是
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知函数 ，则 的值是
（A） （B）
（C） （D）
（10）阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，
对估算“天文数字”具有独特的优势. 下列各数中与 最接近的是
（参考数据： ）
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
（11）已知幂函数 图象过点 ，则该幂函数的解析式是___________．
（12）某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：
甲
乙
记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为 ， ，则 _______ ．
（填“ ”，“ ”或“ ”）．
（13）若 ，则 的最小值是__________.
（14）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则当 时， _______．
（15）函数 满足 给出下列三个结论：
① ；
② ；
③ ．
其中所有正确结论的序号是___________．
2三、解答题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题7分）
已知集合 ， 或 .
（Ⅰ）若 ，求 的取值范围；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围．
（17）（本小题7分）
将一颗骰子先后抛掷两次，观察朝上的面的点数．
（Ⅰ）求两次点数之和是 的概率；
（Ⅱ）求两次点数中至少有一个奇数的概率．
（18）（本小题9分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域；
（Ⅱ）判断函数 的奇偶性；
（Ⅲ）求证： 在 是减函数．
3（19）（本小题9分）
某学校组织高一、高二年级学生进行了“数学与生活”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了
名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图（如图 ）和高二年级成绩的频数分
布表（如表1）．
频率/组距
成绩分组 频数
0.06
0.05 [75，80) 2
0.04 [80，85) 6
0.03
[85，90) 16
0.02
[90，95) 14
75 80 85 90 95 100成绩/分 [95，100] 2
图
表1
（Ⅰ）若成绩不低于 分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；
（Ⅱ）在抽取的学生中，从成绩为 的学生中随机选取 名学生，代表学校外出参加比赛，求这
名学生来自于同一年级的概率；
（Ⅲ）记高一、高二两个年级知识竞赛的平均分分别为 ，试估计 的大小关系．（只需写出
结论，不要求证明）
（20）（本小题8分）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的最小值；
（Ⅱ）记 的最小值为 ，求 的解析式．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
4参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）A （3）B （4）A （5）D
（6）C （7）A （8）C （9）B （10）B
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
（11） （12） （13） （14） （15）②③
注：15题选对一个给2分
三、解答题（共6小题，共40分）
（16）(本小题7分)
解：（Ⅰ）由集合 ， 或 .
因为 ，
所以 ， [ 2分]
解得 .
所以 的取值范围是 ； [ 3分]
（Ⅱ）因为 ，所以 ， [ 4分]
所以 或 ， [ 6分]
即 或 . [ 7分]
所以 的取值范围是 .
（17）(本小题7分)
解：用数对 表示掷两次骰子朝上面的点数，则样本空间包括：
[ 1分]
共 个样本点．
（Ⅰ）记“两次点数之和是 ”为事件 ， [ 2分]
则事件 中含有 个样本点，分别为 ， [ 3分]
所以 .
所以，两次点数之和是 的概率是 . [ 4分]
（Ⅱ）记“两次点数中至少有一个奇数”为事件 ， [ 5分]
5事件 与“两次点数均为偶数”为对立事件，而事件“两次点数均为偶数”含
有 个样本点． [ 6分]
所以 .
所以两次点数中至少有一个奇数的概率是 . [ 7分]
（18）(本小题9分)
解：（Ⅰ）由题意知: ，解得 ，
所以 的定义域为 . [ 2分]
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 的定义域为 ，
. [ 3分]
所以 是偶函数. [ 5分]
（Ⅲ）对于 ，
[ 7分]
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ， [ 8分]
所以 ，即 ， ，
所以函数 在 单调递减. [ 9分]
（19）(本小题9分)
解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的达标率为
. [ 2分]
（Ⅱ）高一年级成绩为 的有 名，
记为 ， ， ， ， [ 3分]
高二年级成绩为 的有 名，记为 ， . [ 4分]
选取 名学生的所有可能为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共15种； [ 5分]
其中 名学生来自于同一年级的有 ， ， ， ， ，
6， ，共 种； [ 6分]
设 名学生来自于同一年级为事件 ，
所以 . [ 7分]
（Ⅲ） ． [ 9分]
（20）(本小题8分)
解：（Ⅰ）设 ，因为 ，则 ， [ 1分]
则 ， ， [ 2分]
当 时， ， ， [ 3分]
所以 时， ，即当 时， . [ 4分]
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ，
其图象的对称轴为 ． [5分]
①当 时， 在 上单调递增，所以 ；
②当 时， ，
③当 时， 在 上单调递减，所以 .
综上， [ 8分]
（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）
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