文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市石景山区京源学校中考数学零模试卷
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 五棱柱 B. 圆柱 C. 长方体 D. 五棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图
是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案．
【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视
图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱，
故选A．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图．
2. 国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可
输出约 万度清洁电力．将 用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整
数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移动的位数相
同．
【详解】解： ，
故选：C．
3. 如图，直线 ，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，点G在直线CD上，GE⊥EF．若
，则∠2的大小为（ ）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
A. 145° B. 135° C. 125° D. 120°
【答案】A
【解析】
【分析】根据 ，由两直线平行同位角相等可推导 ；根据GE⊥EF，可知
；然后借助三角形外角的性质“三角形外角等于不相邻的两个内角和”，利用（
）计算∠2即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵GE⊥EF，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及三角形外角的定义和性质，解题关键是熟练掌握相关性质并灵活
运用．
4. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【分析】根据a，b，c对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可．
【详解】解：由题意得：−3＜a＜−2＜−1＜b＜0＜3＜c＜4
∴a＜b＜c，|b|<|c|，a+c＞0，ab4，m>3，或m+1<-4，m<-5．
故选D ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0．
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是 ，点B是函数 图象上的一个动点，
过点B作BC⊥y轴交函数 的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连
接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，设点 ，则 ，根据BC=AB，可得
关于a的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，可得到
点B，C的坐标，从而得到AB≠BC，可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，
可得平行四边的面积等于8，可得④正确，即可求解．
【详解】解：如图，
∵BC⊥ y轴，
∴BC∥AD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点 ，则 ，
①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB，
∴ ，
∵点A的坐标是 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ ，解得： ，该方程有解，
∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确；
②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，
∵点A的坐标是 ，
∴点B的横坐标为5，
∵点B是函数 图象上，
∴点B的纵坐标为 ，
∴
∵BC⊥y轴，
∴点C的纵坐标为 ，
∵点C是函数 的图象的一点，
∴点C的横坐标为 ，
∴此时 ，
∴四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；
③若a=1时，点 ，则 ，
∴AD=BC=7， ，
∴此时四边形ABCD的周长为 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
若a=2时，点 ，则 ，
∴AD=BC=4， ，
∴此时四边形ABCD的周长为 ，
∴四边形ABCD的周长不是定值，故③错误；
∵ ， ，
∴AD= ，点B到x轴的距离为a，
∴四边形ABCD的面积为 ，
∴四边形ABCD的面积是定值，故④正确；
∴正确的有①④．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平
行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数是解题即可．
【详解】由题意可得 ，
解得 ，
故答案为： ．
10. 分解因式： ＝________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式 再利用公式法即可得到答案．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解： ，
故答案为： ．
11. 如图， 是 的直径，点C，D在 上．若 ，则 _____°．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，本题先证明 ，再利用
三角形的内角和定理求解 ，再结合圆周角定理可得答案.
【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：40
12. 方程 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，整理成整式方程，求解即可．
【详解】解：两边同乘以 去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：当 时 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴方程的解为 ．
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：去分母变成整式方程再进行求解．
13. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象经过点 ，且在每一个象限内，y随x的增
大而增大，则点P在第______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】直接利用反比例函数的性质确定m的取值范围，进而分析得出答案．
【详解】解：∵反比例函数 （k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
又反比例函数 的图象经过点 ，
∴
∴
∴ 在第四象限．
故答案为：四．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆点的坐标的分布是解题关键．
14. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条
件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是______．（写出一个即可）
【答案】 或
【解析】
【分析】由DE是中位线得出 ，又DG=EF表示的是对角线相等，根据：对角线相等的平行四边
形是矩形；增加条件使四边形DFGE是平行四边形即可．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解： 分别是 的中点，
，
当 时，四边形DFGE是平行四边形，
，
四边形DFGE是矩形；
当 时，四边形DFGE是平行四边形，
，
四边形DFGE是矩形；
为
故答案 ： 或 ．
【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；准确分析出
平行四边形的判定是解题关键．
15. 若关于x的一元二次方程 有一个根是 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】把 代入已知方程，求出a的值，根据一元二次方程的定义舍去不合题意的值即可．
【详解】解：把 代入 ，得 ，
解得： ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．熟知方程的解就是能使方程左右两边相等
的未知数的值是解题的关键．
16. 尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演
出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
演员1 演员2 演员3 演员4 演员5 演员6 演员7 演员8
节目A √ √ √ √ √
节目B √ √ √
节目C √ √ √
节目D √ √
节目E √ √
节目F √ √
从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目
分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序___________（只需按演出
顺序填写中间4个节目的字母即可）．
【答案】EBDC##ECDB
【解析】
【分析】根据题意，可先确定第二个节目为节目E，继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确
定了第四个节目，即可得到答案．
【详解】由题意得，首尾两个节目分别是A，F，节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有
5、7，
由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出
故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目E；
第三个节目为不含2、7的节目，即节目B或C
第五个节目为不含5、7的节目，即节目B或C
所以，可确定第四个节目为节目D
综上，演出顺序为节目AEBDCF或AECDBF
故答案为：EBDC或ECDB（写一种即可）．
【点睛】本题考查了统计表、利用信息做出决策或方案，能够正确理解题意是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，
每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】-1
【解析】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【分析】根据实数的计算，把各个部分的值求出来进行计算即可．
【详解】解：原式=
=
=-1．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、零指数幂、二次
根式的化简是解题的关键．
18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先
分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ，5
【解析】
【分析】先利用分式的混合运算法则化简，然后把 变形为 ，再整体代入计算即可．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：原式=
=
=
= ，
∵ ，
∴ ．
∴原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，并运用整体思想代入计算是解题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【答案】（1）见解析 （2）a的值为3
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程 ，根的判别式为△= ，进行化简即可
证明；
（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【小问1详解】
证明： ，
∵ ，
∴该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：设该方程的一个根为x，则另外一个根为2 x ，
1 1
则 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
由①得 ，
代入②可得： ，
解之得 ， ，
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关
键．
21. 如图，在平行四边形 中， ， 交于点O，且 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2） 的角平分线 交 于点E，当 ， 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出 ，即可得出结论；
（2）过点E作 于点G，由角平分线的性质得出 ．由三角函数定义得出 ，
，设 ，则 ，在 中，由三角函数定义
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
得出 ，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
， ．
，
．
平行四边形 为矩形．
【小问2详解】
解：过点E作 于点G，如图所示：
∵四边形 是矩形，
，
，
为 的角平分线，
．
，
．
， ，
．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
．
， ．
设 ，则 ，
在 中， ，
．
解得： ，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩
形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象平行于直线 ，且经过点
．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 时，对于 的每一个值，一次函数 的值大于函数 的值，直
接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意一次函数为 代入 根据待定系数法即可求得．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）根据点 ，结合图象即可解得．
【小问1详解】
∵一次函数 的图象平行于直线 ，
∵函数图象经过点 ，
∴一次函数的表达式为：
【小问2详解】
如图所示：
把 代入 中，
∵当 时，对于 的每一个值，一次函数 的值大于函数 的值，
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一-次函数的解析式，- -次函数与系数的关系，
数形结合是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
23. 某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了15名学生，
获得了他们平均每天阅读时间（单位：min），并对数据进行了整理、描述，给出部分信息．
a．七、八年级学生平均每天阅读时间统计图：
b．九年级学生平均每天阅读时间： 21 22 25 33 36 36 37 37 39 39 41 42 46 48 50
c．七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数：
年级 七 八 九
平均
26.4 35.2 36.8
数
根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的15名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是 ；
（2）求三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数；
（3）若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为 ，则 之间的大小
关系为 ．
【答案】（1）37 （2）32.8
（3）
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义进行求解即可；
（2）根据 ，计算求解即可；
（3）根据方差越大，数据的波动程度越大，方差越小，数据的波动程度越小，结合统计图与数据进行判
断即可．
【小问1详解】
解：由中位数是第8位上的数可知，中位数为37，
故答案为：37；
【小问2详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解：由题意知，三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为
，
∴三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为32.8；
【小问3详解】
解：由方差越大，数据的波动程度越大，方差越小，数据的波动程度越小，
观察七、八年级的统计图以及九年级的数据可知，九年级的数据波动最大、八年级的数据波动最小，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了中位数，平均数，方差等知识．解题的关键在于从题干中获取正确的信息．
24. 如图， 是 的直径，C是 上一点，连接 ，过点B作 的切线，交 的延长线于点
D，在 上取一点E，使 ，连接 ，交 于点F，连接 ．
（1）求证： ；
（2）过点E作 于点G，如果 ， ，求 ， 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2） 的长为2， 的长为
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角为 ，可得 ，结合切线的性质可得 ，由
， ，可得结论 ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）如图，由 ， ，可得 ，结合 可得
，可得 的值，在 ，由勾股定理得 ，求出 的值，证明
，则 ，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的直径
∴
∵ 是 的切线
∴
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：如图，
∵ ， ， ，
∴
∵
∴
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ 即
解得
在 中，由勾股定理得
∵ ，
∴
∴ 即
解得
∴ 的长为2， 的长为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为 ，等腰三角形的性质，正弦，勾股定理，相似
三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对相关知识的熟练掌握与灵活运用．
25. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，
拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88
在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为_______米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要
在水面上的C，D两处设置警戒线，并且 ，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥
墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）
【答案】（1）d，h （2）见解析
（3）①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．
【解析】
【分析】（1）根据函数的定义即可解答；
（2）描点，连线，画出图象即可；
（3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案．
【小问1详解】
解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；
故答案为：d，h；
【小问2详解】
解：描点，连线，画出图象如图：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
；
【小问3详解】
解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米；
故答案为：0.88；
②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88，
把(1，2.38)，(3，2.38)代入得： ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88，
令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，
解得d 3.3或d 0.7，
∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．
26. 在平面直角坐标系 中， 是拋物线 上任意两点，设抛
物线的对称轴为直线 ．
（1）若抛物线经过点 ，求 的值；
（2）若对于 ，都有 ，求 的取值范围；
（3）若对于 ，存在 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（3） 或 ．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数 的图象性质、增减性：
（1）根据对称轴 进行计算，得 ，再把 代入 ，即可作答．
（2）因为 是拋物线 ，所以把 分别代入，
得出对应的 ，再根据 联立式子化简，计算即可作答．
（3）根据“ ，存在 ”得出当 或者 ，
即可作答．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线
∴
即
∴拋物线
∵抛物线经过点
∴把 代入
得
解得 ；
【小问2详解】
解：由（1）知拋物线
∵ 是拋物线 上任意两点，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴
∵且 ，都有 ，
∴
解得 或
【小问3详解】
解：∵ 是拋物线 上任意两点， ，存
在 ，
∴当 时，存在
解得
∴当 ，存在
解得
综上，满足 的取值范围为 或 ．
27. 已知等腰 中， ，D为线段 上的一点，且 ，点E在线段 上（不与端
点重合），以 为斜边向右侧作 ，连接 并延长，交线段 的反向延长线于点 ．
（1）如图1，当当 时，若 ， ， ，求线段 的长；
（2）如图2，当 时，若 ①依题意补全图形；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
②求证：点F为线段 的中点．
【答案】（1）
（2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得 ，由勾股定理可求 的长，即可求解．
（2）①根据题意作图即可；②由角边角可证 ，可得 ，由角角边可证
，可得 ，即可证明．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ．
【小问2详解】
解：①如图所示，即为所求；
②如图，过点C作 交 的延长线于点H，在 上截取 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，
∴ ，
∴点A、E、C、H四点共圆，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点F为线段 的中点．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，
添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于 与 ，给出如下定义：若 与 有且只有两个公共点
其中一个公共点为点A，另一个公共点在边 上（不与点B，C重合），则称 为 的“点A关
联三角形”．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）如图， 的半径为1，点 ， 为 的“点A关联三角形”．
① ， 这两个点中，点A可以与点___________重合；
在
②点A的横坐标的最小值为___________；
（2） 的半径为1，点 ，点B是y轴负半轴上的一个动点， 是等边三角形，且 为
的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m；
（3） 的半径为r，直线 与 在第一象限的交点为A，点 ，若平面直角坐标系 中
存在点B，使得 是等腰直角三角形，且 为 的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范
围．
【答案】（1）① ，② ，
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）当点A在y轴右侧时，先过点C作 的切线 ，连接 ，可知 ， 和 ，过
点A作 轴于H，可求得 ，则有点A的临界值，由对称性可得点A在y轴左侧时的值取得
，①结合点 和 的横坐标即可判断；②可求得点A的横坐标的最小值；
（2）由题意可得线段 和 除过点A为不能 有交点，当线段 除点A外不与 有交点，当
与 相切时，结合题意可得点C的横坐标为1，当 时，线段 除点A外不与 有交点；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
当线段 除点A外不与 有交点，即点B在 处，记作点 ，结合 为等边三角形，求得
，过点 作 轴于G，进一步求得 ，在 上取一点M，连接 ，使得
，可求得 ， ，则 ，在 中利用勾股
定理可求得 ，则有 ，即可得到m的取值范围；
（3）分三种情况讨论：①当点C在圆内时， 即 ；②当点C在圆外时， ，
过点B作y轴的平行线 ，过点A作 于R，作 于T，证得四边形 是矩形，进
一步证得 ，则有 ， ，结合题意可知 ，则有
， ，求得 ，③当 与 相切时，由 和 ，
得点B与点O重合，此时 ，即可求得答案．
【小问1详解】
解：如图1，
当点A在y轴右侧时，过点C作 的切线 ，连接 ，则 ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
过点A作 轴于H，
则 ，
∴ ，
∴ ，
当点A在y轴左侧时，由对称性得， ，
即， ，
①∵点 的横坐标为 ，
而 ，
∴点A不能与点 重合，
∵点 的横坐标为 ，
而 ，
∴点A能与点 重合，
故答案为： ；
②点A的横坐标的最小值为 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故答案为： ；
【小问2详解】
如图2，
∵ 为 的“点A关联三角形”，
∴线段 和 除过点A为不能 有交点，
当线段 除点A外不与 有交点，
当 与 相切时，
∴ 轴，此时，点A的横坐标为1，
则点C的横坐标为1，即 ，
∴ 时，线段 除点A外不与 有交点，
当线段 除点A外不与 有交点，
即点B在 处，记作点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
过点 作 轴于G，
∴ ， ，
∴ ，
在 上取一点M，连接 ，使得 ，
∴ ，
在 中，则 ， ，
∴ ，
在中，根据勾股定理得 ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 时，线段 除点A外不与 有交点，
综上分析得，m的取值范围为 ；
【小问3详解】
①当点C在圆内时，当 时，即 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵直线 与 在第一象限的交点为A，
∴ ，
如图3，
②当点C在圆外时，当 时，
如图4，
过点B作y轴的平行线 ，过点A作 于R，作 于T，
∵ ，
∴四边形 矩是形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ， ，
∵点A在直线 上，
∴点A到x，y轴的距离相等是 ，
∴R在y轴上，点B也在y轴负半轴上，
∴ ，
当点B在 上时， ， ，
∴ ，
∴ ，
③当 与 相切时，则 ，
∵ ，
∴点B与点O重合，此时 ，
∴ ，
综上所述，r的取值范围是： 或 ．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与
性质，等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用这些知识点和分类讨论思
想是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
