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石景山区2023年高三统一练习
数学试卷答案及评分参考
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）C （3）B （4）D （5）A
（6）B （7）A （8）D （9）B （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13）3（只要是 正整数倍即可）
（14） （15）①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）因为 ，所以
在 中，因为 ，
所以 ．
在 中，由正弦定理得， ．
所以 ．
（Ⅱ） 的面积为 ，得 ，
因为 ，所以
又因为 ，所以 ．
在 中，由余弦定理得
．所以 ．（17）(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）设事件 为“从第 组所有鸡冠花中各随机选取 株，株高增量为
厘米”，根据题中数据，第 组所有鸡冠花中，有 株鸡冠花增量为 厘米．
所以 估计为
（Ⅱ）设事件 为“从第 组所有鸡冠花中各随机选取 株，株高增量为
厘米”，设事件 为“从第 组所有鸡冠花中各随机选取 株，株高增量为 厘米”，
根据题中数据， 估计为 ， 估计为
根据题意，随机变量 的所有可能取值为 ，且
，
．
所以， 估计为 ； 估计为 ；
估计为 ； 估计为 ．
所以 的分布列为
所以 估计为 ．
（Ⅲ） ．
（18）(本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：因为底面 是正方形，所以 ，
平面 ， 平面 ,
所以 平面
又因为平面 与 交于点 .
平面 ，平面 平面
所以 .
（Ⅱ）选条件①②
侧面 为等腰直角三角形，且
即 ，
平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ,
则 平面 ，又 为正方形，
所以 .
以点 为坐标原点， 方向分别为 轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示空间直角坐标系 ，
则
z
因为 ，所以点 为 的中点，则
P
从而： ，
设平面 的法向量为： ，
F
E
A D
y
则 ，
B
C
令 ，可得 x
（方法2：因为 为等腰三角形，则
平面 ，则 平面 的法向量）
设平面 的法向量为： ，则，
令 ，可得
所以
则两平面所成的锐二面角为
选条件①③
侧面 为等腰直角三角形，且 即
，可得 平面 ， 平面 ，则 .
又因为
则 平面 平面 则
因为 ，所以 为等腰三角形，所以点 为 的中点
又因为 ，所以 为等腰直角三角形，
下面同①②
选条件②③
侧面 为等腰直角三角形，且 ，
即
平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ,
则 平面 为正方形，
所以 .
又因为 则 平面 ， 平面
则
因为 ，所以 为等腰三角形，所以点 为 的中点.
下面同①②（19）(本小题满分15分)
解：（Ⅰ）因为椭圆过点 ，故 ，
， ，则 ，
故椭圆的标准方程为： .
（Ⅱ）当直线 斜率不存在
分别代入椭圆方程得：
所以：
可得： ，
当直线 斜率不存在时，同理可得，
当 斜率均存在且不为 时，设直线 斜率为 ，则直线 斜率为
设直线 的方程为： ，
由 ，
得
，
，，
同理可知：
设直线 的方程为： ，
，
，
，
，
则
综上所述： 的取值范围是
（20）(本小题满分15分)
解：（Ⅰ）当 时， ,
（ⅰ） ，又 ，所以切线 方程为 ．
（ⅱ）
解法一： ，因为 ，所以 ， ,
所以 ，所以
所以 在 单调递增，所以解法二：令 ， ，则
所以，函数 在 单调递增．
所以 ，即 ．
令 ， ，则 ．
所以，函数 在 单调递增．
所以 ，即 ．
所以 ．
（Ⅱ） ， ，
当 时，所以 ，
，
由（Ⅰ）知， ，
所以 在 上单调递增．
所以当 时， 没有极值点．
当 时， ，
因为 与 在 单调递增．
所以 在 单调递增．
所以 ， ．
所以 使得 ．
所以当 时， ，因此 在区间 上单调递减．
当 时， ，因此 在区间 上单调递增．
故函数 在 上恰有一个极小值点， 的取值范围是 .（21）(本小题满分15分)
解：（Ⅰ）由条件①知，当 时， 或 .
因为 ，由条件①知 .
所以 数列的前四项为： ； ； ； .
（Ⅱ）若 ， 数列是等差数列.
由条件①知，当 时， 或 .
因为 ，所以 .
假设 数列中存在最小的正整数 （ ），使得 .
由条件①知， 单调递增，即均为正数，且 .
所以 .由条件②知，则存在 ，使得 .
此时与 均为正数矛盾，
所以不存在整数 （ ），使得 ，即 .
所以 数列为首项为 公差为 的等差数列.
（Ⅲ）由 及条件②，
可得 ， ， ，…， ， 必为数列 中的项，
记该数列为 ，有 .
不妨令 ，由条件①， 或 ，
均不为 ；
此时 或 或 或 ，均不为
上述情况中，当 ， 时， ，
结合 ，则有
由 ，得 即为所求．
（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）
