高三数学答案 第1页（共7页）
石景山区2025 年高三统一练习
数学试卷答案及评分参考
一、选择题（共10 小题，每小题4 分，共40 分）
（1）B
（2）D
（3）D
（4）A
（5）B
（6）C
（7）C
（8）A
（9）B
（10）C
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，共25 分）
（11）2
（12）3
5 （13）
3
（14）y
x
= ，1
4 （答案不唯一） （15）①②④
三、解答题（共6 小题，共85 分）
（16）（共13 分）
解：（Ⅰ）选①③．
由③得
( )
2sin(2
)
f x
x
=
+
，
又
( )
1
6
f = ，所以2sin(2
)
1
6
+
= ，即
1
sin(
)
3
2
+
=
，
所以
2
3
6
k
+
=
+
或
2
3
6
k
+
=
+
k Z ，
所以
2
6
k
=
−
或
2
2
k
=
+
(
)
k Z ，
又|
|
2
，所以
6
= −
，
所以
( )
2sin(2
)
6
f x
x
=
−
． …………7 分
选②③．
由③得
( )
2sin(2
)
f x
x
=
+
，又(
0
12
，）是
( )
y
f x
=
的对称中心，
所以2sin(2
)
0
12
+
=
，即sin(
)
0
6
+
=
，
所以6
k
+
= (
)
k Z ，所以
(
)
6
k
k
= −
Z ，
又|
|
2
，所以
6
= −
，
高三数学答案 第2页（共7页）
所以
( )
2sin(2
)
6
f x
x
=
−
． …………7 分
（Ⅱ）因为0
2
x
≤
≤
，所以
2
6
6
6
x
−
−
≤
≤
，
所以
sin(2
1
2
6
x
−
−
)
≤
≤，所以1
( )
2
f x
−≤
≤
，
所以当2
6
6
x
−
= −
，即
0
x =
时，
( )
f x 的最小值为1
−，
当2
6
2
x
−
=
，即
3
x
=
时，( )
f x 的最大值为2 ． …………13 分
（17）（共13 分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，成绩在80 分及以上的学生共16 人，设事件A 为“恰好男、
女生各1人，且两人分数段不同”，
( )
P A 可估计为
1
1
1
1
8
2
2
4
2
16
C C
C C
24
1
120
5
C
+
=
=
．
（Ⅱ）X 的所有可能取值为0 1 2 3 4
, , , , ．
根据题中数据，
(
0)
P X =
可估计为
4
2
16
( )
3
81
=
，
(
1)
P X =
可估计为
1
3
4
1
2
32
C ( )( )
3
3
81
=
，
(
2)
P X =
可估计为
2
2
2
4
1
2
24
C ( ) ( )
3
3
81
=
，
(
3)
P X =
可估计为
3
3
4
1
2
8
C ( ) ( )
3
3
81
=
，
(
4)
P X =
可估计为
4
1
1
( )
3
81
=
．
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
16
81
32
81
24
81
8
81
1
81
EX 可估计为
16
32
24
8
1
4
0
1
2
3
4
81
81
81
81
81
3
+
+
+
+
=
． ………11 分
或者 因为
1
(4, )
3
X
B
，所以EX 可估计为
1
4
4
3
3
=
（Ⅲ）
0
12
a
b
=
=
,
． …………13 分
高三数学答案 第3页（共7页）
（18）（共14 分）
解：（Ⅰ）取PC 的中点为F ，连结NF BF
,
，
因为
,
N F 分别为PD，PC 中点，
所以
//
NF
CD 且
1
2
NF
CD
=
，
因为
//
AB
CD ，
1
1
2
AB
CD
=
= ，
所以
//
AB
NF 且AB
NF
=
，
即四边形ABMN 是平行四边形．
所以
//
AN
BF ，
又AN 平面PBC ，BF 平面PBC ，
所以
//
AN
平面PBC ． …………4 分
（Ⅱ）取CD 的中点为E ，连结AE ．
因为
//
AB
CD ，
1
1
2
CE
CD
AB
=
= =
，
所以四边形ABCE 是平行四边形．
则
1
AE = ，
因为AB
BC
⊥
，所以平行四边形ABCE 是正方形．
则AE
AB
⊥
．
因为PA ⊥平面ABCD ，
,
AE AB 平面ABCD ，
所以PA
AE PA
AB
⊥
⊥
，
．
则
,
,
PA AE AB 两两垂直．
如图建立空间直角坐标系A
xyz
−
，则
(0,0,0)
A
，
(
)
0,1,0
B
，
(1,1,0)
C
，
(1, 1,0)
D
−
，
(0
)
,0,2
P
．
因此
(0,0 2)
AP
⎯⎯→
=
,
，
(1, 1,0)
AD
⎯⎯→
=
−
，
(0,
2,0)
CD
⎯⎯→
=
−
，
(1,1,
2)
PC
⎯⎯→
=
−
．
设平面PAD 的一个法向量为
(
)
x y z
=
, ,
m
，则
0
0
AP
AD
⎯⎯→
⎯⎯→
=
=
,
,
m
m
即2
0
0
z
x
y
=
−
=
，，
F
N
P
D
C
A
B
z
y
x
E
M
N
P
D
C
A
B
高三数学答案 第4页（共7页）
令
1
y = ，则
1
x = ，所以
(1 1 0)
=
, ,
m
，
设平面PCD 的一个法向量为
(
)
a b c
=
, ,
n
，则
0
0
PC
CD
⎯⎯→
⎯⎯→
=
=
，
n
n
得2
0
2
0
b
a
b
c
=
+
−
=
，
，
令
1
c = ，则
2
a =
，所以
(2 0 1)
=
, ,
n
设二面角的平面角为，依题意，
π
0
2
，
所以
|
|
2
10
cos
| cos
| |
| |
|
5
2
5
=
=
=
=
，
m n
m n
m
n
，
所以二面角C
PD
A
−
−
的余弦值为
10
5
． …………10 分
（Ⅲ）依题意，不妨设
(0
2)
AM
k
k
=
≤
≤
，则
(0 0
)
M
k
=
, ,
，
(1 1
)
MC
k
⎯⎯→
=
−
, ,
．
又由（Ⅱ）得平面PAD 的一个法向量为
(1 1 0)
=
, ,
m
，
设直线CM 与平面PAD 所成角为，
所以
2
|
|
|1 1|
6
sin
| cos
|
|
|
3
2
2
MC
MC
k
⎯⎯→
⎯⎯→
+
=
=
=
=
+
,
m
m
m
，
解得
1
k = （负值舍去），
所以点M 到平面PCD 的距离为|
|
1
5
|
|
5
5
MC
⎯⎯→
=
=
n
n
． …………14 分
（19）（共15 分）
解：（Ⅰ）由题设，
2
2
2
2
4,
2
( 2)
1.
4
b
a
=
+
=
解得
2
8,
2
a
b
=
=
．
所以C 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
+
= ．
…………4 分
（Ⅱ）点
,
A B 的坐标分别为(0, 2),(0,
2)
−
．
由
2
2
4,
1,
8
4
y
k x
x
y
=
+
+
=
得
2
2
(1
2
)
16
24
0
k
x
k x
+
+
+
=
．
高三数学答案 第5页（共7页）
因为直线与椭圆C 交于不同的两点，所以
2
2
(16 )
4(1
2
)
24
0
k
k
=
−
+
，
即
2
3
2
k
．
设点
,
M N 的坐标分别为
1
1
(
,
)
x
y
，
2
2
(
,
)
x
y
，则
1
1
4
y
k x
=
+
，
2
2
4
y
k x
=
+
，
1
2
2
16
1
2
k
x
x
k
−
+
=
+
，
1
2
2
24
1
2
x x
k
=
+
．
直线AN 的方程为
2
2
2
2
y
y
x
x
−
=
+
，直线BM 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
+
=
−
．
联立
1
1
2
2
2
2
2
2
y
y
x
x
y
y
x
x
+
=
−
−
=
+
，
，得
1
2
1
2
2
2
(
)
4
y
y
x
x
x
+
−
−
=
，
由于
1
1
2
2
4
4
y
kx
y
kx
=
+
=
+
，，代入上式得
1
2
1
2
6
2
(
)
4
kx
kx
x
x
x
+
+
−
=
，
化简得
1 2
2
1
2
3
x x
x
x
x
=
−
，即
1 2
2
1
2
3
G
x x
x
x
x
=
−
，
因为
1
1
2
2
G
G
y
y
x
x
+
=
−
1
1
(
4)
2
2
G
kx
x
x
+
+
=
−
1
1 2
1
2
1
(
4)
2
2
2
3
kx
x x
x
x
x
+
+
=
−
−
1 2
1
2
2
1
2
2
6
3
kx x
x
x
x
x
+
+
=
−
．
由韦达定理得
1
2
1 2
2
3
x
x
k
x x
+
= −
，即
1 2
1
2
2
3(
)
kx x
x
x
= −
+
．
代入，得
1 2
1
2
2
1
2
2
6
3
G
kx x
x
x
y
x
x
+
+
=
−
1
2
1
2
2
1
3(
)
2
6
3
x
x
x
x
x
x
−
+
+
+
=
−
2
1
2
1
3
3
x
x
x
x
−
=
−
1
= ．
所以点G 在定直线
1
y = 上 ．
…………15 分
（20）（共15 分）
解：（Ⅰ）（ⅰ）因为
1
a = ，所以
1
( )
ln(
1)
cos ,
( )
sin
1
f x
x
x
f
x
x
x
=
+
+
=
−
+
，
又因为
(0)
1
f
= ，
(0)
1
f
= ，
高三数学答案 第6页（共7页）
所以曲线
( )
y
f x
=
在点(0,
(0))
f
处的切线方程为
1
0
x
y
−
+ =
． ………4 分
（ⅱ）
,
( 1 0)
x−
，
1
( )
sin
0
1
f
x
x
x
=
−
+
，所以
( )
f x 在( 1
)
,0
−
上单调递增．
(0)
1
0
f
=
，
1
1
(e
1)
1
cos(e
1)
0
f
−
−
−
= −+
−
，
)
0,1
(
0
−
x
，使得
0
)
(
0 =
x
f
所以
( )
f x 在区间( 1
)
,0
−
上有且只有一个零点． …………8 分
（Ⅱ）
( )
2e
1
x
f x
−
≤
等价于
ln(
1)
cos
2e
1
0
x
a
x
x
+
+
−
+ ≤
．
令
( )
ln(
1)
cos
2e
1
x
g x
a
x
x
=
+
+
−
+ ，则
e
1
(
2
)
sin
x
x
g
a
x
x
=
−
−
+
．
若
0
a ≤
，则
( )
0
g x
在[0,π]上恒成立，
则
( )
g x 在[0,π]上单调递减，则
( )
(0)
0
g x
g
=
≤
，符合题意；
若
0
a
，令( )
sin
2e
1
x
a
h x
x
x
=
−
−
+
，
则
2
( )
cos
2e
0
1
2
1
0
(
1)
x
a
h x
x
x
= −
−
−
+ −
= −
+
在[0,π]上恒成立，
则( )
h x 在[0,π]上单调递减，则( )
(0)
2
h x
h
a
=
−
≤
，
①当
2
0
a −
≤
，即0
2
a
≤
时，( )
0
h x ≤
在[0,π]上恒成立，
即
( )
0
g x
≤
在[0,π]上恒成立，
则
( )
g x 在[0,π]上单调递减，则
( )
(0)
0
g x
g
=
≤
，符合题意；
②当
2
0
a −
，即
2
a
时，(0)
2
0
h
a
=
−
，( )
h x 在[0,π]上单调递减，
则
0
(0
)
,
x
，使得当
0
(0,
)
x
x
时，( )
0
h x
，即
( )
0
g x
，
故
( )
g x 在
0
(0,
)
x
上单调递增；
当
0
(0,
)
x
x
时，
( )
(0)
0
g x
g
=
，不符合题意．
综上所述，a 的取值范围为(
2]
,
−
．
…………15 分
（21）（共15 分）
高三数学答案 第7页（共7页）
解：（Ⅰ）由题意，
1 :
A
}
,
,
,
,
min{1 3} min{3 2} min{2 4} mi
,
,
{4,
n
1 ，即1,2,2,1．
所以
1
(
)
1
2
2
1
6
S A
= +
+
+ =
． …………4 分
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，
0
A 中元素两两互异，故
0
A 中的任一元素，如
k
a ，在
1
A 中
至多在
1
min{
}
k
k
a
a
−，
和
1
min{
}
k
k
a
a +
，
中出现两次（规定
0
n
a
a
=
，
1
1
n
a
a
+ =
），
且若出现两次则这两个数处于邻位（
1a 和
n
a 也视为邻位）．
所以
1
A 的所有项中至多有两个1和两个2 ．所以
1
(
)
2 1
2
2
3
9
S A
+
+
=
≥
．
当
0
A 为1 4 2 5 3
，，，，时等号能取到，所以
1
(
)
S A 的最小值为9 ．………9 分
（ⅱ）同（ⅰ）可知，
0
A 中的任一元素若在
1
A 中仅出现一次，则在
2
A 中
至多出现两次；若在
1
A 中出现两次，由于这两个数处于邻位，故在
2
A 中至
多出现三次．
① 若
3
n
k
=
，则
2
2
3
(
)
3(1
2
)
3
6
n
n
n
S A
+
+
+
+
=
≥
，
当
0
A 满足
1
4
3
2
{
,
}
{1 2
}
,
,
,
,
, 3
k
n
a a
a
−
=
时等号能取到．
② 若
3
1
n
k
=
+ ，则
2
2
1
2
3
2
(
)
3(1
2
)
3
3
6
n
n
n
n
S A
−
+
+
+
+
+
+
+
=
≥
．
当
0
A 满足
1
4
3
1
1
2
{
}
{1 2
}
3
3
k
n
n
a a
a
+
−
+
=
,
, ,
, , ,
,
时等号能取到．
③ 若
3
2
n
k
=
+
，则
2
2
2
1
3
2
(
)
3(1
2
)
2
3
3
6
n
n
n
n
S A
−
+
+
+
+
+
+
+
=
≥
．
当
0
A 满足
1
4
3
1
2
1
{
}
{ 2
,
,
3
,
,
1
}
3
k
n
n
a a
a
+
−
+
=
, , ,
时等号能取到．
综上，
2
2 min
2
3
3
6
(
)
3
2
3
1
3
2
6
,
,
,
n
n n
k
S A
n
n
n
k
n
k
+
=
=
+
+
=
+
=
+
或
． …………15 分
（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）
