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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市西城区九年级模拟测试试卷
数学
1．本试卷共8页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．
考 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
生
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，
须
知 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据三视图选择符合的几何体即可，熟练掌握几何体的三视图是解
题的关键．
【详解】解：∵该几何体的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆形，
∴符合 的几何体是圆锥，
故选：B．
2. 新能源革命受到全球目的同时，也成为中国实现“碳达峰碳中和”目标的关键所在． 年全球可再
生能源新增装机 千瓦，其中中国的贡献超过了 ，将 用科学记数法表示应为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示，根据科学记数法正确表示即可，熟练掌握“将一个数表示成
的形式，其中 ， 为整数，这种记数方法叫做科学记数法”是解题的关键．
【详解】解： ，
故选：B．
3. 正十二边形的一个外角的度数为（ ）
A. 30° B. 36° C. 144° D. 150°
【答案】A
【解析】
【分析】根据正多边形的外角和等于360°，每个外角相等，进而即可求解
【详解】解：∵正多边形的外角和等于360°，每个外角相等，
∴正十二边形的一个外角的度数 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查正多边形的外角问题，掌握“正多边形的外角和等于360°，每个外角相等”是关键．
4. 如图，直线 于点 ，射线 在 内部，射线 平分 ，若 ，则
下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 与 互余 D. 与 互补
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直定义可得 ，从而可得 ， ，再利用角平分线的
定义可得 ，从而可得 ，然后利用角的和差关系可得
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， 从 而 可 得 与 不 互 余 ， 再 利 用 邻 补 角 定 义 可 得
，从而利用等量代换可得 ，即可解答．
【详解】解： ，
，
，
， ，
射线 平分 ，
，
，
，
，
与 不互余，
，
，
与 互补，
故A、B、C选项都不符合题意，D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，余角和补角，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进
行分析是解题的关键．
5. 不透明的袋子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字4，5，6．随机从中摸出一个小球不放回，
再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
先列表得出所有等可能的结果数以及第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果数，然
后再利用概率公式计算即可．
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【详解】解：列表如下：
4 5 6
4 （4，5） （4，6）
5 （5，4） （5，6）
6 （6，4） （6，5）
共有6种等可能的结果，其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果有：（5，
4），（6，4），（6，5），共3种，
∴第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是 ．
故选：A．
6. 如图，点 为线段 的中点， ，点 分别在射线 上， 与
均为锐角，若添加一个条件一定可以证明 ，则这个条件不能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪
一种方法，取决于题目中的已知条件．
由于 ， ，则可根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【详解】解：如图：
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点 为线段 的中点，
，
，
A、当添加 时， ，故本选项不符合题意；
B、当添加 时，不能确定 ，故本选项符合题意；
C、当添加 时， ，故本选项不符合题意；
D、当添加 时， ，故本选项不符合题意．
故选：B．
7. 某农业合作社在春耕期间采购了 ， 两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台 型机器的进价比每台
型机器进价的2倍少 万元；采购相同数量的 ， 两种型号机器．分别花费了 万元和 万元．若
设每台 型机器的进价为 万元，根据题食可列出关于 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
设每台 型机器的进价为 万元，则每台 型机器的进价为 万元，根据采购数量相同可列方程
．
【详解】解：设每台 型机器的进价为 万元，则每台 型机器的进价为 万元，
依题意得， ，
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故选：C．
8. 下面问题中， 与 满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为 的矩形中，矩形的长 与宽 的关系；
②底面圆的半径为 的圆柱中，侧面积 与医柱的高 的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件 元出售，可卖出 件．利润 （元）与每件进
价 （元）的关系．
A. ① B. ② C. ③ D. ①③
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解
析式并进行判断是解题的关键．
①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
③根据利润 (售价 进价) 销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可．
【详解】解：① 是 的反比例函数，故题不符合题意；
是 的正比例函数，故②不符合题意；
③ ， 是 的二次函数，故③
符合题意；
故选：C．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若分式 有意义，则 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件．根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
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【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
10. 分解因式： _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式 ，再利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握提取公因
式法、利用平方差公式分解因式是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11. 方程组 的解为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组，根据“变形：将两个方程中其中一个未知数的
系数化成相同（或互为相反数）；加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；
求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一
个方程，求出另一个未知数的值；写解：写出方程组的解”，按步骤求解即可，熟练掌握用加减消元法解
二元一次方程组的步骤是解题的关键．
【详解】解： ，
得： ，
得： ，
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解得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，
∴方程组 的解为 ，
故答案为： ．
12. 在平面直角坐标系 中，点 关于原点 的对称点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．
直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出答案．
【详解】解：在平面直角坐标系 中，点 关于原点 的对称点的坐标为 ．
故答案为： ．
13. 如图， 是 的角平分线， 于点 ．若 ， 的面积为 ，则点 到
边 的距离为_________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离等知识点，掌握角平分线上的点到角的两
边距离相等成为解题的关键．
过D作 交 延长线于F，根据角平分线的性质定理可得 ，再根据已知条件可得
，进而完成解得．
【详解】解：过D作 交 延长线于F，
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∵ 是 的角平分线， 于点 ．
∴ ，
∵ ， 的面积为 ，
∴ ，即 ，解得： ，
∴ ，即点 到边 的距离为1．
故答案为1．
14. 如图， 与 相切于点 ．点 分别在 ， 上，四边形 为正方形，若 ，
则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线的性质和正方形的性质证得 ， ， ，进而得到
，由勾股定理求出 由平行线等分线段定理得到 是 的中位线，根据三角形中位
线定理即可求出 ．
【详解】解：如图：
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四边形 为正方形，
， ， ， ，
与 相切于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
，
∴ ，
， ，
是 的中位线，
，
在 中， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线等分线段定
理，三角形中位线定理等知识，综合运用这些知识是解决问题的关键．
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15. 如图， ， 两点在反比例函数 的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点
称为整点，则线段 ， 及反比例函数图象上 ， 两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整
点的坐标为_________．
【答案】 和
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数和一次函数解析式，坐标与图形，
熟练掌握一次函数和的反比例函数的图象与性质是解题的关键．
根据 ， 两点在反比例函数 图象上．求出反比例函数解析式、点 的坐标，
的
根据点 、 、 的坐标，分别求出直线 、 的解析式，根据坐标与图形，分析当 时、当
时，线段 ， 及反比例函数图象上 ， 两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的
情况，得出答案即可．
【详解】解：∵ ， 两点在反比例函数 的图象上，
∴ ，反比例函数解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴设直线 解析式为 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
设直线 解析式为 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
∵当 时， ， ， ，
∴整点 在线段 ， 及反比例函数图象上 ， 两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，
∵ ，当 时， ， ，
∴整点 在线段 ， 及反比例函数图象上 ， 两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，
综上所述，线段 ， 及反比例函数图象上 ， 两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点
的坐标为 和 ，
故答案为： 和 ．
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16. 在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选
手胜一场得3分．负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选
手的成绩记为 （分），则 的最小值为_________；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛
环节的平局总数至少为_________场．
【答案】 ①. 6 ②. 4
【解析】
【分析】本题考查规律型，数字的变化类，根据比赛要求求出总的场次，即可得出所有选手的得分总和的
范围，再分析出每名选手的比赛场次，根据题意分析出没有并列第一名，且需要求第一名选手成绩的最小
值，此条件下，可得有一名选手至少赢一场，就可与其他选手拉开差距，且此时第一名的成绩也可以尽可
能的小，进行计算即可的出结论﹒
【详解】解：已知5名选手，两两之间只比赛一场，
则共比赛场次为： (场)，
因为胜场得分3分，负一场得分0分，若平局，则两位选手各得1分，
因此10场全为胜场时，所有选手的总分最高为： (分) ，
10场全为平局时，所有选手的总分最少为： (分)，
因为没有并列第一名，且需要求第一名选手成绩的最小值，
所以当10场中9平1胜时，即有一名选手赢一场，就可与其他选手拉开差距，
此时所有选手的总分为： （分），
此条件下可得第一名的成绩为： (分)，
则m的最小值为6；
当10场中9胜1平时，所有选手总分为： （分），
当10场中8胜2平时，所有选手总分为： （分），
当10场中7胜3平时，所有选手总分为： （分），
……
依次类推，可知：所有选手的总分越大时，平局的场次越少，
即在第一名为6分时，总分越大时，平局得场次就越小，
当第一名为6分，其余四位选手均为5分时，所有选手此时的总分最大，
且为： （分），
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当10场中6胜4平时，所有选手总分为： （分），
故平局是数最少为4场，
故答案为：6，4．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-
26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】分别计算余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂，然后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂等知识．熟练掌握余弦，算术平方根，绝对值，
零指数幂是解题的关键．
18. 解不等式组 ，写出它的所有整数解．
【答案】 ， ，0，1，2
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大，同小取小，大
小小大中间找，大大小小无处找”的原则是解答此题的关键．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再
根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
【详解】解：
解不等式①，
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得： ，
解不等式②，
得： ，
所以不等式组的解集是 ，
所以不等式组的整数解是 ，0，1，2．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简、代数式求值，先将 化简为 ，根据
，得出 ，代入化简后的式子中计算求值即可，熟练掌握分式的化简是解题的关键．
【详解】解：
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，
∵ ，
∴ ，
∴代数式 的值 ．
20. 已知：如图，在 中， ， ．
求作：点 ，使得点 在 内，且 ．
下面是小华的解答过程，请补充完整：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）;
①作线段 的垂直平分线 交 于点 ；
②以点 为圆心， 长为半径作弧，与直线 在 内交于点 ．点 就是所求作的点
（2）完成下面的证明
证明：连接 ．
点 在线段 的垂直平分线上，
（ ）（填推理的依据），
．
． ．
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．
，
．
．
【答案】（1）见详解；（2）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等， ，
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）利用平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：连接 ， ， ．
点 在线段 的垂直平分线上，
（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
．
．
．
．
，
．
．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等， ， ．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质
等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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21. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 为满足条件的最大整数，求此时方程的根．
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的
解法，本题属于基础题型．
（1）根据判别式大于0即可求出答案．
（2）先求出 的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案．
【小问1详解】
解：由题意可知 ，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知： ，
此时方程为： ，
，
， ．
22. 如图，四边形 是平行四边形， 于点 ， 于点 ， ，连接 ．
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（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得 ， ，则 ，再证明
，得 ，则 ，然后证明四边形 是平行四边形，即可得
出结论；
（2）由矩形的性质得 ，再由勾股定理得 ，然后由全等三角形的性质得
，即可得出结论．
【小问1详解】
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是矩形；
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【小问2详解】
解： ，
，
由（1）可知，四边形 是矩形，
，
，
，
，
由（1）可知， ，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含 角
的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题
的关键．
23. 如图， 是 的直径， 交 于点 ，点 是 的中点，连接 交 于点 ，
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）12
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及同圆中等弧所对的圆周角相等，及 ．求得
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，则 ，根据切线的判定定理可得证；
（2）利用锐角三角函数可求 的长，由角平分线的性质可得 ，由锐角三角函数可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，如图，
是 的中点，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，即 ，
，
为 的半径，
是 的切线；
【小问2详解】
解：过点 作 于 ，而 ，
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，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
设 ， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理及三角函数在线段求值中的应用，圆周角定理，勾股定理，角平
分线的性质定理，熟练掌握运用三角函数的计算技巧，正确添加辅助线是解题的关键．
24. 我国快递市场繁荣活跃，某快递公司为提高服务质量，对公司的业务量、公众满意度等数据进行统计
分析．公司随机抽取了某日发往相邻城市的快递中的1000件，称重并记录每件快递的重量（单位： ，
精确到 ），下面给出了部分信息，
．每件快递重量的频数分布直方图（数据分成 11组： ， ， ， ，
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， ， ， ， ， ， ）；
．在 这一组的数据如下：
．这1000件快递重量的平均数、中位数、众数如下：
平均 中位 众
数 数 数
快递重量（单位：
3．6
）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）写出 的值；
（3）下面四个结论中，
① 的值一定在 这一组；
② 的值可能在 这一组；
③ 的值不可能在 这一组：
④ 的值不可能在 这一组，
所有正确结论的序号是 ；
（4）该日此快递公司在全市揽收的快递包裹中有3800件发往相邻城市，估计这批快递的重量．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）②④ （4）估计这批快递的重量为 ．
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【解析】
【分析】本题主要考查的是频数分布直方图、用样本估计总体、加权平均数、中位数和众数等知识点，熟
练掌握上述知识点是解题的关键．
（1）用数据总数减去其他组数据求出 这一组的数据，然后补全统计图即可；
（2）结合中位数的定义进行求解即可；
（3）根据众数的定义并结合频数分布直方图可知：在 的频数是 ， 的频数是336，
相对其他来说，都是远多于其他区间（ 的频数为15）的频数的，而众数是出现次数最多的一组数
据，这是区间，不是具体数值，因此众数出现在这两个区间 ， 的可能性都有的，且可
能性较大，出现在 ，可能性还是有的，但可能性不大，自然众数不可能出现在
，其频数都太小了，由此逐一判断各选项即可；
(4)用样本估计整体即可．
【小问1详解】
解： （件），补全的频数分布直方图如图所
示：
【小问2详解】
解:∵前三组，即 中的快递件数为： ，
∴中位数在 中，
根据 这一组的数据如下：
；
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可知： ．
【小问3详解】
解:结合频数分布直方图可知：在 的频数是 ， 的频数是336，
相对其他来说，都是远多于其他区间（ 的频数为15）的频数的，
而众数是出现次数最多的一组数据，这是区间，不是具体数值，
∴众数出现在这两个区间 ， 的可能性都有的，且可能性较大，
出现在 ，可能性还是有的，但可能性不大，
自然众数不可能出现在 ，其频数都太小了，
∴①n一定在 ，说法太绝对，错误；
②n可能在 ，正确；
③n不可能出现 ，说法太绝对，错误；
④n不可能出现 ，正确；
故选：②④．
【
小问4详解】
解:从平均数的角度来看： ．
答：估计这批快递的重量为 ．
25. 已知角 ，探究 与角 的关系．
两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案，
方案一：如图，点 在以点 为圆心，1为半径的 上， ，设 的度数为 ．作
于点 ，则线段① 的长度 即为 的值．
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方案二：用函数 的值近似代替 的值．计算函数 的值，
并在平面直角坐标系 中描出坐标为 的点．
两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（确到 ）．
若 记为 ，否则记为 ．
0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90
0 ② 1
0
或
根据以上信息，解决下列问题：
（1）①为 ，②为 ；
（2）补全表中的 或 ；
（3）画出 关于 的函数图象，并写出 的近似值（精确到 ），
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）图像见解析；
【解析】
【分析】本题考查了正弦的定义，特殊的直角三角函数值，描点法画出函数图象，求函数值，实数的大小
比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
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（1）根据题意计算 即可；
（2）由 判断即可；
（3）根据图示的点作图，把 代入 计算即可．
【小问1详解】
在 中，
①处应填 ；
②处应填
故答案为： ； ．
【小问2详解】
根据题意若 记为 ，否则记为 ，
，
表格中空白的两处依次填 和 ；
【小问3详解】
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把 代入 ，得
26. 在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上任意两点．设抛物线
的对称轴是 ．
（1）若对于 ， ，有 ，求 的值；
（2）若对于 ，都有 成立，并且对于 ，存在 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的图像与性质，解题的关键在于分类讨论，借助于图象
及不等式的性质进行求解．
（1）根据对称点即可求对称轴；
（2）由题意可知，抛物线 与 轴的交点为 ，①当 时，抛物线开口向上，不成
立；②当 时，抛物线开口向下，且经过 ， ，若抛物线经过点 ，则 ，若抛物线经
过点 ，则 ，（i）当 时， 或 ，不合题意，（ii）当 时，
，因此对于 ，存在 ，对于 ，都有 ，所以 成立；（iii）当
时， 不合题意，故 ．
【小问1详解】
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解：由题意得 与 对称轴对称，
∴ ；
【小问2详解】
解：由题意可知，抛物线 与 轴 的交点为 ，
①当 时，抛物线开口向上，
当 时， 有最小值，没有最大值，
与“对于 ，都有 ”不符，所以不合题意，
不成立．
②当 时，抛物线开口向下，且经过 ， ，
若抛物线经过点 ，则 ，
若抛物线经过点 ，则 ，
（i）当 时， 或 ，
对于 ，都有 ，
与“对于 ，存在 ”不符，所以不合题意，
（ii）当 时， ，
∴对于 ，存在 ，
对于 ，都有 ，
成立；
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（iii）当 时，
当 时， ，
与“对于 ，都有 ”不符，所以不合题意，
综上所述： ．
27. 如图，在 中， ， ，将射线 绕点 顺时针旋转
得到射线 ，射线 与直线 的交点为点 ．在直线 上截取 （点 在点 右侧），将
直线 绕点 顺时针旋转 所得直线交直线 于点 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时，补全图形并求此时 的度数；
（2）当点 不与点 重合时，依题意补全图2，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1） ，图见解析；
（2） ，理由见解析，图见解析．
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．关键是添加辅助
线构造全等三角形，找到线段的等量关系．
（ 1 ） 当 点 D 与 点 B 重 合 时 ， 是 等 腰 三 角 形 ， 等 边 对 等 角 ，
可求 的度数， 可求
的度数．
（2）在 的延长线上截取 连接 ，以点B为圆心 为半径作弧，交 于点N，连接
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， 证明 可得 即可得到 和 的等量关系．
【小问1详解】
解：补全图形见图：
∵点 与点 重合， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
【小问2详解】
解：补全图形如图：
，理由如下：
如图， 在 的延长线上截取 ， 连接 ，以点 为圆心 为半径作弧，交 于点 ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴在等腰 中， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
28. 如图1，对于 外的线段 （线段 上的各点均在 外）和直线 上的点 ，给出如下定义：
若线段 绕点 旋转某一角度得到的线段 恰好是 的弦，则称点 为线段 关于 的“割圆
点”，
在平面直角坐标系 中， 的半径为1．
（1）如图2，已知点 ， ， ， ．在线段 ， ， 中，存在关于
的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ；
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（2）直线 经过点 ，与 轴的交点为点 ．点 ，点 都在线段 上，且 ．
若线段 关于 的“割圆点”为点 ，写出点 的横坐标 的取值范围；
（3）直线 经过点 ，不重合的四个点 都在直线 上，且点 既是线段 关于 的
“割圆点”，又是线段 关于 的“割圆点”，线段 ， 的中点分别为点 ， ，记线段
的长为 ．写出 的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2） 或 ；（3） 或
【解析】
【分析】（1）由题意得，若将 绕着点R旋转后的的圆记作 ，则 经过 ，
点 在弦 的垂直平分线上，且 的半径与 的半径相等，“割圆点”R在线段 的垂直平分线
于弦所在的直线的交点，由 ，得到 不是关于 的“割圆点”的线段；确定点
为 中点，而 的垂直平分线于 平行，故 不是关于 的“割圆点”的线段；对于线段 ，
先确定点 为 中点，“割圆点”一定是弦所在的直线与 的垂直平分线的交点，可求直线 表
达式为： ，把 代入得 ；
（2）可求直线 表达式为 ， 为等腰直角三角形，则 ， ，
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找到两个临界位置，当点Q与点V重合时，则点 落在x轴上，此时 ，当点Q运动到使得点P与
W重合时，此时点 落在y轴上，则 ，代入直线 ，可求 ，因此可求 的取值范
围；
（3）可求 ，由于直线l经过点 ，以直线 分析，由题意得，点 在以点H
为圆心， 为半径的圆上，则线段 是以点 为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦，连
接 ， ， ，第一种情况，当线段 在点H异侧时，此时
，当 与直线 相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接 ，则
，同理 ，因此 ，但是取不到，故 ；第二种情况，当线
段 在点H同侧时，当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，则 ，当线段
为 与直线 相交的线段，另一个 与直线 相切，此时 最大，但是取不到，由于点
C、D重合，连接 ，可求 ，故 ，综上即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 不是关于 的“割圆点”的线段，
由题意得，若将 绕着点R旋转后的的圆记作 ，则 经过 ，
则 ，
∴点R在 的垂直平分线上，
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∵ ， ，
∴ ，
∴点 为 中点，
∵ 的垂直平分线与 平行，
∴ 不是关于 的“割圆点”的线段，
由题意得圆心 在弦 的垂直平分线上，且根据旋转的性质，
得 ，
∴点 即为 中点，
由题意得“割圆点”一定是弦所在的直线与 的垂直平分线的交点，如图：
∵ ， ，
∴设直线 表达式为： ，
代入得： ，
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解得 ，
∴直线 表达式为： ，
把 代入得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是关于 的“割圆点”的线段，
故答案为： ， ；
（2）解：将 代入 得 ，
∴直线 表达式为 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
由题意知点R为 的垂直平分线与直线 的交点，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
而 ， ，
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∴ ，
当点Q与点V重合时，则点 落在x轴上，此时 ，如图：
当点Q向上运动时，点R也向上运动，此时 ，如图：
当点Q运动到 时，即 的垂直平分线与直线 平行，此时 正无穷大，如图：
∴ ，
当点Q继续向上运动一点时， 的垂直平分线与直线 交点在第三象限很远处，
此时 负无穷大，如图：
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当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点 落在y轴上，
∴ ，代入直线 得： ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 或 ；
（3）∵点 ，
∴ ，
∵直线l经过点 ，以直线 分析，
由题意得，点 在以点H为圆心， 为半径的圆上，则线段 是以点 为圆心，1为半径
的圆被直线l所割的弦，
连接 ， ，
∵ 经过圆心，点M为 中点，
∴ ，
∴ ，
当 减小时， 增大直至等于 ，如图：
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第一种情况，当线段 在点H异侧时，
当点 与点M重合时，此时 ，如图：
当 与直线 相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接 ，如图：
则 ，同理 ，
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∴ ，但是取不到，
∴ ；
第二种情况，当线段 在点H同侧时，
当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，如图：
∴ ，
当线段 为 与直线 相交的线段，另一个 与直线 相切，此时 最大，但是取不到，
由于点C、D重合，如图，连接 ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查了新定义，难度很大，旋转的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，垂径定理，一次
函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点，正确理解题意，找出临界位置是解决本题的关键．
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