文档内容
北京市西城区 2019—2020 学年度第一学期期末试卷
九年级数学
2020.1
1. 本试卷共 8 页，共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。
考 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。
生
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须
知 4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC = 80°，则∠ABC的度
数是
（A）40° （B）80°
（C）100° （D）120°
2．在平面直角坐标系中，将抛物线 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，
得到抛物线
（A） （B） （C） （D）
3．圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为
（A）5 π （B）10 π （C）20 π （D）25 π
4．如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转35°
得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠EFC
的度数为
（A）60° （B）65°
（C）72.5° （D）115°
5 ． 如 图 ， AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， 弦 CD⊥ AB 于 E ， 若
∠ABC=30°，
OE= ，则OD长为
（A）3 （B）（C） （D）26．下列关于抛物线 y = x2 ＋bx－2的说法正确的是
（A）抛物线的开口方向向下
（B）抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）
（C）当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴右侧
（D）对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点
7．A（ ，y），B（1，y），C（4，y）三点都在二次函数 的图象上，
1 2 3
则
y，y，y 的大小关系为
1 2 3
（A）y＜y＜y （B）y＜y＜y
1 2 3 1 3 2
（C）y＜y＜y （D）y＜y＜y
3 1 2 3 2 1
8．如图， AB=5，O 是AB的中点， P是以点O为圆心，AB为直径
的半圆上的一个动点（点P与点A，B可以重合），连接PA，过
P作
PM⊥AB 于点 M．设 AP=x， ，则下列图象中，能
表
示y与x的函数关系的图象大致是
（A） （B） （C）
（D）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则该函数的最小值是 ．
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件使得
△ADE∽△ACB，添加的一个条件是 ．11．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（-2， 4），B（-4，0），O（0，0），以原点
O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为 ．12．如图，A，B 两点的坐标分别为A（3，0），B（0， ），将线段BA绕点B顺时针旋转
得到线段BC．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为 °．
第12题图 第13题图
13．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图
所示．若 米， 米，h=1.5 米，则这个学校教学楼的高度为 米．
14．我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用
圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率π ．
刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆
内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，
圆内接正六边形的周长 ，计算 π ；圆内接正十二边形的周长
，计算π ；请写出圆内接正二十四边形的周长 ，
计算π .
（参考数据： ， ）15．在关于x的二次函数 中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与
函数y的几组对应值：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… -3.19 -3.10 -2.71 -2.05 -1.10 0.14 1.47 3.48 …
根据以上信息，关于x的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个
实数根约等于 （结果保留小数点后一位小数）．
16．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是边BC的中点，
点P在边AD上，设DP=x，若以点D为圆心，DP为半径
的⊙D与线段AE只有一个公共点，则所有满足条件的x
的取值范围是 ．
三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，
28题，每小题7分）
17．计算 ．
18．已知二次函数 ．
（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
（2）利用图象回答：当x取什么值时，y＜0．
19．如图，在△ABC中，AD 平分∠BAC，E是AD上一点，
且BE=BD．
（1）求证：△ABE ∽△ACD ；
（2）若BD=1，CD=2，求 的值．
20．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，将点E绕点D逆
时针旋转得到点F，若点F恰好落在边BC的延长线上，连接
DE，DF，EF ．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若EF= ，则△DEF的面积为 ．
21．某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
22．如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，
切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于
点E，连接AC．
（1）求证：OE = AC；
（2）若⊙O的半径为5，AC=6，求PB的长．
23．图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，tanα = ．斜坡顶端B与地面的距离BC为3米．
为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠
在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）
（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：
米），y与x之间近似满足函数关系 （a，b是常数， ），图2记录了x
与y的相关数据．
图1 图2
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出
的水珠能否越过这棵树．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD =90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，
且∠CED =∠BAC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，
AB=4，AD =2，求AF的长．25．下面给出六个函数解析式：
， ， ，
， ， ．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们
的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：
（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如
y = ，其中x为自变量；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数 的部分图象，用描点法
将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面这些函数，下列四个结论：
① 函数图象关于y轴对称
② 有些函数既有最大值，同时也有最小值
③ 存在某个函数，当x＞m（m为正数）时， y随x的增大而增大，当x＜-m时，y随
x的增大而减小
④ 函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个
所有正确结论的序号是 ；
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程 有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为
．26． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2 – 2 m x – 2m – 2．
（1）若该抛物线与直线y = 2交于A，B两点，点B在y轴上．
求该抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）横坐标为整数的点称为横整点．
① 将（1）中的抛物线在 A，B两点之间的部分记作G(不含A，B两点)，直接写
1
出G 上的横整点的坐标；
1
② 抛物线y = x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y = –x – 2 交于C，D两点，将
抛物线在C，D两点之间的部分记作G （不含C，D两点），若G 上恰有两个
2 2
横整点，结合函数的图象，求m的取值范围．
27. △ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转
n°（0 ＜ n ＜ 180）得线段PQ，连接AP，BQ．
（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；
（2） M为线段BQ的中点，连接PM. 写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点
P，总有 ，并说明理由．
图1 备用图28．对于给定的△ABC，我们给出如下定义：
若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部
或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半
圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.
若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC
的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆.
（1）在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2，
① 如图1，点D在边BC上，且CD=1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的
半径长；
② 如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；
图1 图2
（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线 上运动（P
不与O重合），将OE关于△OEP的内半圆半径记为R，当 ≤R ≤1时，求点P的横
坐标t的取值范围.
