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北京市东城区 2022-2023 学年度第二学期高三综合练习（二）
数 学
2023.5
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项。
（1）已知集合 ， ，则
(A) ⫋ (B)
(C) (D)
（2）已知椭圆 的一个焦点的坐标是 ，则实数 的值为
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知数列 中， ， ， 为其前 项和，则
（A） （B）
（C） （D）
（4）在复平面内， 是原点，向量 对应的复数是 将 绕点 按逆时针方向旋转 ，则
，
所得向量对应的复数为
(A) (B)
(C) (D)
（5）已知点 在圆 上，过 作圆 的切线 ，则 的倾斜角为（A） （B）
（C） （D）
（6）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖
蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有
（A） 种 （B） 种
（C） 种 （D） 种
（7）设函数 若 为增函数，则实数 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（8）“ ”是“函数 为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知三条直线 ， ， 将平面分为六个部分，则满足条件的
的值共有
（A） 个 （B）2 个
（C） 个 （D）无数个
（10）设 ，其中 为自然对数的底数，则
（A） （B）
（C） （D）第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。
1）已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 ; ．
（1
（12）函数 在一个周期内的部分取值如下表：
则 的最小正周期为 ； _______．
（13）若 ，则实数 的一个取值为__________.
（14）如图，在正方体 中， 是 的中点，
平面 将正方体分成体积分别为 ， ( ) 的两部分，
则 .（15）定义在区间 上的函数 的图象是一条连续不断的曲线， 在区间 上单调
递增，在区间 上单调递减， 给出下列四个结论：
①若 为递增数列，则 存在最大值；
②若 为递增数列，则 存在最小值；
③若 ，且 存在最小值，则 存在最小值；
④若 ，且 存在最大值，则 存在最大值.
其中所有错误结论的序号有_______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
在△ 中， .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知，使△ 存在
且唯一确定，求 及△ 的面积.
条件 ①： ；
条件 ②： ；
条件 ③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，
按第一个解答计分．（17）（本小题14分）
如图，直角三角形 和等边三角形 所在平面互相垂直， ， 是线段 上
一点.
（Ⅰ）设 为 的中点，求证： ；
（Ⅱ）若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求 的
值.
（18）（本小题13分）
某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．
两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：
学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7
第一次 82 89 78 92 92 65 81
第二次 83 90 75 95 93 61 76
（Ⅰ）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩
的概率；
（Ⅱ）设 表示第 名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差．从数学学习小组7
名学生中随机选取2名，得到数据 ，定义随机变量 ， 如下：（i）求 的分布列和数学期望 ；
（ii）设随机变量 ， 的的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知焦点为 的抛物线 经过点 ．
（Ⅰ）设 为坐标原点，求抛物线 的准线方程及△ 的面积；
（Ⅱ）设斜率为 的直线 与抛物线 交于不同的两点 ，若以 为直径的圆与抛物线
的准线相切，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．（20）（本小题15分）
已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值；
（Ⅲ）设实数 使得 对 恒成立，写出 的最大整数值，并说明理由.
（21）（本小题15分）
已知有穷数列 中的每一项都是不大于 的正整数.对于满足 的整数 ，
令集合 .记集合 中元素的个数为 (约定空集的元素个数为0).
（Ⅰ）若 ，求 及 ；
（Ⅱ）若 ，求证： 互不相同；
（Ⅲ）已知 ，若对任意的正整数 都有 或 ，求
的值.
