2023,5,29北师大实验中学高三三模数学试题_数学_北京师范大学附属实验中学2023届高三下学期5月热身练习（三模）数学试题（含解析）

北师大实验中学 2023 届高三数学热身练习
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
1.如图，集合A、B均为U 的子集，( A) B表示的区域
U
A. I B. II C. III D. IV
2.在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有
A. f(x)tanx B. f x|x| C.
1
f ( x )  2 x D. f(x) x2
0.8
1
3.设a30.7, b , clog 0.8，则
 
3 0.7
a , b , c 的大小关系为
A. abc B. bac C. bca D. cab

4.已知tanx2，则tan(x )的值为
4
1 3
A. 3 B. 3 C. D. 
3 4
5.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2023年5月1日 12 35000
2023年5月15日 60 35500
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
6.已知OA 1,OB  3,OAOB0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设OC mOA
m
nOB (m、n∈R)，则 等于
n1 3
A. B.3 C. D.
3 3
2
3
7.设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点 B 的动直线mxym30交于
点P(x,y)，则|PA||PB|的取值范围是
A.[ 5,2 5] B.[ 10,2 5] C.[ 10,4 5] D.[2 5,4 5]
8.已知{a }为无穷等差数列，则“存在i, jN*且i j，使得
n
a
i
 a
j
 0 ”是“存在k2且
kN*，使得a 0”的
k
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 十八世纪，瑞士数学家欧拉研究调和级数时，得到了以下结果：当n很大时，
1 1 1
1    lnn（其中为常数，其近似值为0.577）据此，可以估计
2 3 n
1 1 1
   的值为
20001 20002 30000
A. ln104 B. ln6 C. ln 2
3
D. ln
2
10.如图，平面中两条直线l 和l 相交于点O，对于平
1 2
面上任意一点M，若 p,q分别是M到直线l 和l 的距
1 2
离，则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐
M（p,q）
标”．已知常数 p0,q0，给出下列命题：
O
①若 pq0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且
仅有1个；
②若 pq0，且 pq0，则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有2个；
③若 pq0，则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分
11. 若(1 3)5 ab 3（a、b为有理数），则ab .
12. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的
最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第2次
按对的概率是______．
13.在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别是
3
a , b , c
1
.已知b c a，
4
b
2sinB 3sinC，则 ，
c
c o s A 的值为_______.
1 1
14.已知S 是数列{a }的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：  2n2，若
n n a a
n1 n
1
a  ，则a  ， S = .
1 2 3 2023
15. 已知曲线C:x x 4y y 4.
①若P(x ,y )为曲线C上一点，则x 2y 0；
0 0 0 0
② 曲线C在(0,1)处的切线斜率为0；
③mR,x2ym0与曲线C有四个交点；
④ 直线x2ym0与曲线C无公共点当且仅当m(, 2) (0,).
其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
16. 在△ABC 中， 7a6bcosB ．
3
（Ⅰ）若sinA ，求B的值；
7
（Ⅱ）若c8，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在.求
△ABC的面积..
4 3
条件①：sinA ； 条件②：sinB .
7 2
17.如图，在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，
AD AB，AB//DC，AD DC AP 2，
AB 1，点E为棱PC的中点.
（Ⅰ）证明 BE DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F 为棱PC上一点，满足BF AC，求二面角F AB P的余弦值.
418. 诚信是立身之本，道德之基. 某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推
周实际回收水费
进诚信教育，并用“ ”表示每周“水站诚信度”. 为了便于数据分析，以
周投入成本
四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：
．．．．．．
（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数
5
x ；
（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量 X 表示取
出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量 X 的分布列和期望；
（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了
一次“以诚信为本”的主题教育活动. 根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，
并根据已有数据陈述理由.
19.已知函数 f(x)axxlnx.
（Ⅰ）当a1时，求 f(x)的零点；
（Ⅱ）讨论 f(x)在[1,e]上的最大值；
（Ⅲ）是否存在实数 a ，使得对任意x0，都有 f(x)a？若存在，求 a
第一周 第二周 第三周 第四周
第一个周期 95% 98% 92% 88%
第二个周期 94% 94% 83% 80%
第三个周期 85% 92% 95% 96%
的取值范
围； 若不存在，说明理由.20.已知椭圆C: x2 3y2 3，过点D1,0且不过点
6
E ( 2 , 1 ) 的直线与椭圆 C 交于 A , B
两点，直线AE与直线x3交于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若AB垂直于 x 轴，求直线BM 的斜率；
（Ⅲ）试判断直线BM 与直线DE的位置关系，并说明理由．
21．若项数为N (N≥3)的数列A :a,a ,,a 满足：
N 1 2 N
a
1
 1 ，a N*（i2,3,,N），
i
 {1,2}, 1≤n≤M 1,
且存在M{2,3,,N1}，使得a a  则称数列A 具有性
n1 n {1,2}, M ≤n≤N1, N
质P.
（Ⅰ） ① 若N 3，写出所有具有性质P的数列 A
3
；
② 若N 4，a 3，写出一个具有性质
4
P 的数列 A
4
；
（Ⅱ）若N 2024，数列A 具有性质
2024
P ，求A 的最大项的最小值；
2024
（Ⅲ）已知数列A :a,a ,,a ，B :b,b ,,b 均具有性质
N 1 2 N N 1 2 N
P ，且对任意
i, j{1,2,,N}，当i j时，都有a a ，b b . 记集合T {a,a ,,a }，
i j i j 1 1 2 N
T {b,b ,,b }，求T T 中元素个数的最小值.
2 1 2 N 1 2