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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京师大附属实验中学九年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题(本题共8小题，每小题2分，共16分)
1. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键．
2. 抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（ ）
A. （1，5） B. （2，1） C. （2，5） D. （﹣1，5）
【答案】A
【解析】
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x
＝h．
3. 已知关于x的方程 是一元二次方程，则k的值应为（ ）
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A. B. 3 C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未
知数．
【详解】解：由关于 的方程 是一元二次方程，得
且 ．
解得 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4. 的半径为3，点 在 外，点 到圆心的距离为 ，则 需要满足的条件（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与圆的关系解答.
【详解】∵点 在 外， 的半径为3，
∴点 到圆心的距离为 >3，
故选：A.
【点睛】此题考查点与圆的位置关系：点与圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r
时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．
5. 小明将图 案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度 ，设计出一个外轮廓为正六边
形的图案（如图），则 可以为（ ）
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A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】由题意依据每次旋转相同角度 ，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析
即可得出答案.
【详解】解：因为每次旋转相同角度 ，旋转了六次，
且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，
所以每次旋转相同角度 .
故选：B.
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．
6. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧长公式计算即可．
【详解】解：该扇形的弧长＝ .
故选C．
【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式： （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
7. 如图，抛物线y＝a ＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a ＋（b﹣k）x＋c的图象
可能是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线y＝a ＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，可得方程a ＋bx＋c＝kx有两个不等
的实数根，从而可判断；
【详解】由图像可知a＞0，b＞0，c＞0，k＜0，则b－k＞0，可排除选项B、D，由图像可知抛物线y＝a
＋bx＋c与直线y＝kx有两个不同的交点，则一元二次方程a ＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，即一
元二次方程a ＋（b－k）x＋c＝0有两个不等的实数根，所以二次函数y＝a ＋（b﹣k）x＋c的图象与
x轴有两个交点，故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的关
键．
8. 做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下所示：
抛掷次数 m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000
5000
“正面向上”的次数 n 265 512 793 1034 1306 1558 2083
2598
“正面向上” 频率 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521
的
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0.520
下面有 3 个推断：
①当抛掷次数是 1000 时， “正面向上”的频率是 0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加， “正面向上”的频率总在 0.520 附近摆动， 显示出一定的稳定性， 可以估计“正
面 向上”的概率是 0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为 3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是 1558
次．
其中所有合理推断的序号是（ ）
A. ② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断．
【详解】①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，本小
题推断不合理；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向
上”的概率是0.520，本小题推断合理；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，
本小题推断合理；
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值
就是这个事件的概率．
二、填空题（共8小题，每题2分，共16分）
9. 若正六边形的边长是1，则它的半径是________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据正六边形的边长等于正六边形的半径，即可求解．
【详解】正6边形的中心角为360°÷6=60°．
那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．
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∴它的外接圆半径是1．
10. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点 ，这个二次函数的解析式可以
是______．
【答案】y=-x2-1（答案不唯一）．
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式．
【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，-1），
∴a＜0，c=-1，
∴二次函数表达式为：y=-x2-1（答案不唯一）．
故答案为y=-x2-1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键．
11. 草坪上的自动喷水装置的旋转角为 ，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为
平方米，则这个扇形的半径是__米．
【答案】3
【解析】
【分析】根据已知得出自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5 平方米，圆心角为200°，利用扇
形面积公式S = 求出即可．
扇形
【详解】解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5 平方米，圆心角为200°，
∴它能喷灌的草坪的面积为： =5 ．
解得： R=3，
故答案为3．
【点睛】此题主要考查了扇形面积求法.
12. 如图，抛物线 的对称轴为 ，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐
标为（4，0），则点Q的坐标为__________．
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【答案】（ ，0）
【解析】
【详解】∵抛物线 的对称轴为 ，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，
∴点P和点Q关于直线 对称，
又∵点P的坐标为（4，0），
∴点Q的坐标为（-2，0）．
故答案为（-2，0）．
13. 如图，PA，PB是 的切线，A，B为切点，AC是 的直径， ，则 的度数为
______．
【答案】40°
【解析】
【分析】根据切线长定理得等腰△PAB，运用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴PA=PB，∠PAC=90°，
∵ ，
∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°．
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=70°，
∴∠P=180°﹣70°×2=40°．
故答案为40°．
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【点睛】本题考查了切线长定理和切线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和，求一个角的余角，利用
切线长得出PA=PB是解题的关键．
14. 已知a是 的根，则代数式 的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得 ，从而可得 ，根据当a=0
时，-2≠0，可得 a≠0，方程两边都除以a得 ，即 ，再将其作为整体代入求值即可
得．
【详解】解：∵a是 的根，
∴ ，
当a=0时，-2≠0，
∴ a≠0，方程两边都除以a得 ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义和等式恰当变形
是解题关键．
15. 如图， 与 关于点 成中心对称， ，则 的长是________．
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【答案】5
【解析】
【分析】根据中心对称的性质以及勾股定理即可求解 的长．
【详解】解：∵ 与 关于点 成中心对称
∴点 在同一直线上，
，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查中心对称的性质以及勾股定理，熟练掌握成中心对称的图形对应边相等，对应角相
等的性质以及勾股定理是解决本题的关键．
16. 抛物线 交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为
D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③a＋b＝4；④抛
物线上有两点P（ ， ）和Q（ ， ），若 ＜ ，且 ＋ ＞2，则 ＞ ．其中结论正确的
序号是______________________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标及对称性即可判断；
②当m＝0时，可得抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴即可判断；
③根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断；
④根据二次函数图象即可进行判断．
【详解】解：①∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，m），
∵对称轴为x=- =1
∴（0，m）关于对称轴的对称点为（2，m）,在抛物线上
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故①正确；
②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0，0）、（2，0），
对称轴为x＝1，
∴△ABD是等腰直角三角形，
故②正确；
③∵对称轴x＝1，
∴
∴a＋b＝2，
故③错误；
④观察二次函数图象可知：
当x＜x，且x＋x＞2，
1 2 1 2
则x 离对称轴比x 离对称轴更近，故y＞y．
1 2 1 2
故④正确．
故答案为：①②④．
．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、
等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每
题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】此题考查解一元二次方程，一元二次方程的解法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法
等，学生在平时的训练中，学会根据方程的特征，选择恰当的方法，提高解题效率．根据配方法的步骤先
把常数项移到等号的右边，再在左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，然后开
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方即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
， ．
18. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线
【解析】
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【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC=90°（圆周角定理），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．
故答案为：圆周角定理；切线的判定．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
19. 如图，在 中， ，点D，F分别在 上， ，连接 ，将线段
绕点C按顺时针方向旋转 后得 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若直线 交 于点G，直接写出 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、平行线的性质：
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（1）由旋转的性质可得： ，再根据同角的余角相等可证明 ，再根据全等三角
形的判定方法即可证明 ；
（2）由题意： ，易求 ，进而可求出 的度数．
【小问1详解】
∵将线段 绕点C按顺时针方向旋转 后得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
【小问2详解】
如图，
由题意： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ．
20. 如图，已知抛物线 经过点 ．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当 时，直接写出y的取值范围．
【答案】（1） ，顶点坐标 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）将 代入 即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即
可得出抛物线的顶点坐标；
（2）根据抛物线的顶点坐标 ，对称轴为直线 ，可知 时，当 时， 取得最
小值，当 时， 取得最大值，即可求出y的取值范围．
【小问1详解】
解：将 代入 ，得：
解得：
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此抛物线的顶点坐标为 ．
【小问2详解】
解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
当 时， ，
当 时，y的取值范围为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，懂得把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
21. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干
套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概
率是 ．
（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，
求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，再
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由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：从4种邮票任取一张共有4种情况，其中“冬季两项”只有1种情况，
恰好抽到“冬季两项”的概率是 ．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：直接使用图中的序号代表四枚邮票，由题意画出树状图，如图所示：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等．其中，恰好抽到“高山滑
雪”和“自由式滑雪”的结果有2种，
∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为： ．
【点睛】本题主要考查的是概率公式，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22. 关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；
（2）根据公式法求得方程的解，得出 ， ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
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证明：关于x的一元二次方程 ，
∵
∴此方程总有两个实数根；
【小问2详解】
∵
解得 ，
∵方程有一个根小于1
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别
式的关系是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，
点D的坐标为 ．
（1） 与 关于点D中心对称，其中点A与点 对应，点B与点 对应，请在坐标系中画出
，并写出点 的坐标；
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（2）若点 是 内部任意一点，请直接写出这个点关于点D中心对称的对应点 的坐标．
【答案】（1）见解析，
（2）
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换：
（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点 ， ， 即可；
（2）设 ，利用中点坐标公式求解．
【小问1详解】
如图， 即为所求，点 ；
【小问2详解】
设 ，
又 ，
则有 ， ，
∴ ，
∴ ．
24. 如图， 为 的直径， 交 于点C，D为 上一点，延长 交 于点E，延长
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至F，使 ，连接 ．
（1）求证： 为 的切线；
的
（2）若 且 ，求 半径．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明切线连半径是常作的辅助线；
（1）连接 ，由等腰三角形的性质及互余关系即可得 ，即 ，即可
得证；
（2）设 的半径 ，则可得 的长度，从而得 的长度，在 中，由勾
股定理建立方程即可求得r．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ 是半径，
∴ 为 的切线；
【小问2详解】
解：设 的半径 ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ，
解得 ，或 （舍去），
∴ 的半径为3．
25. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 离地竖直高度为 米．建立如图2所示的平面直角
坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形
，其水平宽度 米，竖直高度 米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口 米，灌溉车到绿化带的距离 为
米．
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（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程 ；
（2）求下边缘抛物线与 轴交点 的坐标；
（3）若 米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【答案】（1）上边缘抛物线喷出水的最大射程 为 ；
（2） ；
（3）不能．
【解析】
【分析】（1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解；
（3）根据题意，求得点 的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点 即可；
【小问1详解】
解：由题意可得： ，
且上边缘抛物线的顶点为 ，故设抛物线解析式为：
将 代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将 代入可得：
解得： （舍去）或
即
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上边缘抛物线喷出水的最大射程 为 ；
【小问2详解】
由（1）可得，
上边缘抛物线为： ，可得对称轴为：
点 关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移 个单位，得到下边缘抛物线，
即下边缘的抛物线解析式为：
将 代入可得：
解得： （舍去）或
即点 ；
【小问3详解】
∵ ，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将 代入到 可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求解析式，与 轴交点等问题，解题的关键是理
解题意，正确求得解析式．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为 ，线段AB的两个端点分别为
， ．
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（1）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）若 ，且对于该抛物线上的两点 ， ，当 ， 时，均满足
，求t的取值范围；
（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）抛物线顶点C（m，3m）；（2）综合得 总有 ；（3）m的取值范为
或 ．
【解析】
【分析】（1）把抛物线配方为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）先求出m=4时，二次函数解析式 ，再求出当x=6时，函数值
，求出函数值为8时的自变量的值为2与6，只要x 在2≤x≤6变化， ，求出
1 1
t的范围；当x＞6时，根据函数性质对称轴的右侧，函数值随自变量x的增大而减小，t+1≤x，可得
1 2
即可；
（3）先求出抛物线顶点轨迹函数y=3x，根据点A在抛物线上和点B在抛物线上，解关于m的一元二次方
程，去掉交于两点的情况即可．
【详解】解：（1） ，
∴抛物线顶点C（m，3m），
（2）当 时， ，
当x=6时， ，
，
解得 ，
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为x=4，
∴离抛物线对称轴越近函数值越大，
∵ ，y≤8，
2
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∴ ，
∴2≤x≤6，
1
∴ ，
∴ ，
当x＞6时，只要x＜x 根据函数的性质，在对称轴的右侧，函数值随自变量x的增大而减小，
1 1 2
∴t+1≤x，
2
∴t≤x-1，
2
综合得 总有 ；
（3）抛物线顶点所在解析式为y=3x，
当点A（1，3）在抛物线上时，把点A代入解析式得：
，
整理得 ，
解得 ，
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当点B（7，3）在抛物线上时，把点B代入抛物线解析式得：
，
整理得 ，
解得 ，
∴当m=4时A、B两点都在抛物线上，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
∴m的取值范为 或 ．
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【点睛】本题考查抛物线综合，抛物线化为顶点式，二次函数的性质，一元二次方程的解法，抛物线与线
段的公共交点问题，掌握抛物线综合，抛物线化为顶点式，二次函数的性质，一元二次方程的解法，抛物
线与线段的公共交点，利用一元二次方程的解确定自变量的范围是解题关键．
27. 在 中， ， ，点 为直线 上一个动点（点D不与点A，C重合），连
接 ，将线段 绕 点逆时针旋转 得线段 ，连接 ．
（1）如图1，若点 在线段 上，
①依题意补全图1；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
（2）若BC＝m，直接写出当AE取得最小值时CD的长（用含m的式子表示）．
【答案】（1）①见解析；② ，见解析
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（2）
【解析】
【分析】本题是三角形综合题；
（1）①由题意画出图形即可；
②过点 作 交 的延长线于 ，证明 ，由全等三角形的性质得出
， ，由等腰直角三角形的性质得出结论；
（2）过点 作 于F，证明 ，得出 ， ，由等腰直角
三角形 的性质及勾股定理得出答案．
【小问1详解】
解：①如图，补全图形如下：
②结论： ．
理由：过点E作 交AC的延长线于F，
∴ ，
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由旋转知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【小问2详解】
如图2中，由②可知， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴如图3中，当 时， 的值最小．
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∵ ， ， ，
∴
过点 作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同法可证 ，
∴ ．
【点睛】主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，利用一
线三垂直模型构造出全等三角形是解本题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，P是 外一点，给出如下的定义：若在 上存在一
点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在 上，则称Q为点P关于 的关联点．
（1）当点P在直线 上时．
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①若点 ，在点 ， ， 中，点P关于 的关联点是 ；
②若P关于 的关联点Q存在，求点P的横坐标p的取值范围．
（2）已知点 ，动点M满足 ，若M关于 的关联点N存在，直接写出MN的取值范围．
【答案】（1）① ， ；② 或
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；
②设 与 交于点M，N，过点N，P分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B，根据勾股定理得出
，联立直线解析式，得出交点坐标，进而 根据相似三角形的判定与性质求出p的最大值为
，同理可得p的最小值为 即可求解；
（2）依题意，关于 的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得 的最值，即
可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
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∵ ， ，
∴ 连线的中点在 的内部，
∴ 是P关于 的关联点，
∵ ， ，
∴ 的中点的纵坐标为1，
∴点P， 关于 对称点，
∴ 是P关于 的关联点，
∵ ， ，
∴ 中点N为 ， ， ，
∴ ，
∴ 与P关于 对称，
设直线 解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴ ，
∴当 时 ，
∴ 与x轴交于点 ，
设点O到 的距离为h，
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根据等面积法知 ，
∴ ，
∴ 不是P关于 的关联点，
综上，P关于 的关联点是 ， ，
故答案为： ， ．
②设 与 交于点M，N，过点N，P分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B，
设 上点的坐标为 ，则 ，
联立方程组 ，
解得 或 ，
当点P的对称点为M时，点P的横坐标最大，
∵ ， ， ，
∴ ，
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∴ ，即 ，
∴ ，
同理可得p的最小值为 ，
又P只能在 外，
∴ 或 ；
【小问2详解】
解∶依题意，关于 的关联点在半径为3的圆内，如图所示，
∵ ，
则M在半径为1的 上以及圆内，M关于 的关联点N，
∴ 的最大值为 ，
如图所示，当M在线段 上时， 取最小值，
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∴ ，
四边形 是矩形，则 ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系
求最 值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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