文档内容
北京师范大学实验华夏女子中学
2022 一 2023 学年度第二学期期中学业评价
初二数学
满分100分，考试时间100分钟．
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，把正确答案填涂
在答题卡上．（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、 不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足下列条件：①被开方数中的每个因数
都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. + = B. =2 C. • = D. ÷ =2
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】解：A. 与 不能合并，所以A选项错误，不符合题意；
B.原式=3 ，所以B选项错误，不符合题意；
C.原式= = ，所以C选项错误，不符合题意；
D.原式= =2，所以D选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运
算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的
解题途径，往往能事半功倍．
3. 如图，在 中， ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，可得 ， ，根据 ，可得
，等量代换得出 ，即可求解．
【详解】解：∵在 中，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形．
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定定理逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 对角线相等的平行四边形四边形是矩形，故原选项错误，不合题意；
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原选项正确，符合题意；
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不合题意；
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不合题意．
故选：B
【点睛】本题考查矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定定理，熟知相关图形的判定定理是解题关键．
5. 把正比例函数的图象 向上平移4个单位长度，得到的函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】解：把正比例函数的图象 向上平移4个单位长度，得到的函数的解析式为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象的评平移，掌握平移规律是解题的关键．6. 关于一次函数 的图像和性质，下列叙述正确的是（ ）
A. 与 轴交于点 B. 函数图像不经过第二象限
C. 随 的增大而减小 D. 当 时，
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数图像上点的坐标特征及函数的性质依次作出判断即可．
【详解】解： .令 ，则 ，
一次函数 的图像与 轴交于点 ，故 错误；
. ，
一次函数 的图像经过第一、三象限，
，
一次函数 的图像经过第三、四象限，
一次函数 的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故 正确；
. ，
随 的增大而增大，故 错误；
.当 时， ，解得： ，故 错误．
故选： ．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，以及一次函数图像与系数的关系．
图像与横轴的交点，纵坐标为0，与纵轴的交点，横坐标为0；当 ，图像经过第一、三象限， 随
的增大而增大，当 ，图像经过第二、四象限， 随 的增大而减小；当 ，图像经过第一、二象
限，当 ，图像经过第三、四象限．熟练掌握函数的性质与系数之间的关系是解题的关键．
7. 若△ABC三边长a，b，c满足（a－5）2＋ ＋ ＝0，则△ABC是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C
【解析】
【分析】根据已知等式，利用非负数的和等于0求得 ， ， 的值，根据三边的长即可判定三角形的形
状．
【详解】解：∵ ， ， ，（a－5）2＋ ＋ ＝0，
∴ 即 ，解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
故选：C
【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理逆定理的运用，利用非负数的和等于0求得 ， ， 的值
是解题的关键．
8. 如图，公路 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开，若测得 的长为 ，则
M、C两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出 ，再求出答案即可．【详解】解： 公路 ， 互相垂直，
，
为 的中点，
，
，
，
即 ， 两点间的距离为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半．
9. 如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、P均在格点上，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，取格点 ，连接 和 ，证明 得到 ，
再由平行线的性质得到 ，则可得 ，再证明 是等腰直角
三角形即可求解．
【详解】解：如图所示，取格点 ，连接 和
由网格的特点可知 ，
∴∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、三角形全等的判定与
性质，等腰直角三角形的性质与判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．
10. 已知直线 （m为常数，且 ）．当m变化时，下列结论正确的有（ ）
①当 时，图象经过一、三、四象限；②当 时，y随x的增大而减小；③直线必过定点 ；
④坐标原点到直线的最大距离是
A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：当 时， ，此时一次函数 ，经过一、三、四象限，故①正确；
对于直线 （m为常数，且 ）来说，当 时，即 时，y随x的增
大而增大；故②错误；
当 时， ，
∴直线必过定点 ；故③正确；
设原点到直线的距离为d，
∵由③知直线 必过定点 ，
设点 ，
∴ ，
∴坐标原点到直线的最大距离是 ．故④正确．
∴正确的有：①③④，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题：（本大题共8小题，每题2分，共16分）
11. 函数 中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
12. ______．【答案】4
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义，即可求解．
【详解】解： ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念，难度较小．
13. 已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长是__．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形邻边之比是1：2，设两邻边分别为x，2x，然后利用周长得到一个关于x的一元
一次方程，解方程即可．
【详解】解：∵平行四边形的周长是18，一组邻边之比是1：2，
∴设两邻边分别为x，2x，
则2（x+2x）＝18，
解得：x＝3，
∴较短的边的边长是3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及一元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键．
14. 如果正方形的一条对角线长为 ，那么该正方形的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质，勾股定理，可得 ，即可求得边长，进而根据正方形的面
积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，是
四边形 正方形， ，
∴
∴
∴正方形的面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
15. 如下图，跷跷板支架 的高为0.3米， 是 的中点，那么跷跷板能骁起的最大高度 等于
__________米．
【答案】0.6##
【解析】
【分析】当 时，BC最大，根据 ，得 ，从而得 ，再根据E
是 的中点，得 ，代入即可求解．
【详解】解：当 时，BC最大，
∵
∴
∴
∵E是 的中点，
∴
∴ 米，故答案为：0.6．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
的
16. 如图， 对角线 ， 相交于点 ，点 ， 分别是线段 ， 的中点，若
， 的周长是 ，则 __________cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到 ，求出 的值，由
的周长求出 ，根据三角形中位线的性质求出 的长．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
的周长是 ，
，
，
点 、 分别是线段 ， 的中点，，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线是判定及性质，熟记平行四边形的性质是解题的关
键．
17. 已知，直角三角形的两条边长分别为 和 ，则第三边的长为______．
【答案】 或
【解析】
【分析】分两种情况分别计算：当第三边为斜边时以及当斜边为 时分别运用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条边长分别为 和 ，
∴当第三边为斜边时，第三边＝ ，
当斜边为 时，第三边＝ ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，在题意没有明确直角边和斜边时，注意分类讨论．
18. 如图1，菱形 中， ，动点 以每秒2个单位的速度自点 出发沿线段 运动到点 ，
同时动点 以每秒4个单位的速度自点 出发沿折线 运动到点 ．图2是点 、 运动时，
的面积 随时间 变化关系图像，则 的值是__________．
【答案】【解析】
【分析】根据图2中的数据即可得到 时两点停止运动，所以点 以每秒2个单位速度从点 运动到点
用了4秒，所以 ，再得出点 对应的横坐标为2，然后连接 ，证明 是等边三角形，
得 ， ，利用勾股定理求得 ，即可由 求解．
【详解】解：由图2得， 时两点停止运动，
点 以每秒2个单位速度从点 运动到点 用了4秒，
，
点 运动到点 之前和之后， 面积算法不同，即 时， 的解析式发生变化，
图2中点 对应的横坐标为2，
此时 为 中点，点 与点 重合，
连接 ，如图，
菱形 中， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了动点函数的图象，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题
的关键是求出菱形的边长．
三、解答题：（本大题共54分，19-20、25题每题6分，21-23题每题5分，24、26-27题每
题7分．）
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算即可求解；
（2）运用乘法公式，二次根式的乘法运算即可求解．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式性质，二次根式的混合运算，乘法公式的运用的综合，掌握以上知识是解题的关键．
20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】
【分析】（1）通过证明 ADE≌△CBF，由全等三角的对应边相等证得AE=CF．
（2）根据平行四边形的△判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
【详解】证明：（1）如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， ，∠3=∠4
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，
∴∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在 ADE与 CBF中，∠3=∠4，AD=BC，∠5=∠6，
∴△△ADE≌△C△BF（ASA）
∴AE=CF
（2）∵∠1=∠2，
∴
又∵由（1）知 ADE≌△CBF，
∴DE=BF △
∴四边形EBFD是平行四边形
21. 甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由 地到 地，行驶路程与时间的函数关系如图所示，根据图象
解答下列问题：（1）_______先出发，先出发________分钟；
（2）_______先到达终点，先到达________分钟；
（3）求出乙的行驶速度．
【答案】（1）甲，
（2）乙，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象解答即可；
（2）根据函数图象解答即可；
（3）根据速度 总路程 总时间，列式计算即可得解
【小问1详解】
根据函数图象可得：甲先出发，先出发 分钟．
故答案为：甲， ．
【小问2详解】
根据函数图象可得：乙先到达终点，先到达 分钟，
故答案为：乙， ．
【小问3详解】
乙的速度为： ．
【点睛】本题考查了函数图象，数形结合，根据函数图象获取信息是解题的关键．
22. 如图，把矩形ABCD沿折线AE进行折叠，使点D落在BC边的F点处．若AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．
【答案】CE＝3cm
【解析】
【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将 ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得
Rt ADE≌Rt AEF，所以AF=10cm，EF=DE=8-x；△在Rt ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、
AF△的长可求出△BF的长，又CF=BC-BF=10-BF，在Rt E△CF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8-
x）2=x2+（10-BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出△ x的值，即求出了CE的长．
【详解】解：根据题意得：Rt ADE≌Rt AEF，
∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF△=DE， △
设CE=xcm，则DE=EF=CD-CE=8-x，
在Rt ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，
即82+△BF2=102，
∴BF=6cm，
∴CF=BC-BF=10-6=4（cm），
在Rt ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，
即（8△-x）2=x2+42，
∴64-16x+x2=x2+16，
∴x=3，
即CE=3cm．
【点睛】本题主要考查运用勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是正确建立方程，运用方程思
想解决几何问题．
23. 已知：在 中， ．
求作：矩形 ．
作法：如下，
①分别以点A，C为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线 ，交边 于点O；
③作射线 ，以点O为圆心，以 长为半径作弧，与射线 的另一个交点为D，连接 ；
所以四边形 就是所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
的
（2）完成下面 证明．
证明：∵直线 是 的垂直平分线，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∵ ，
∴四边形 是矩形（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）图见解析
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【小问1详解】
解：如图，四边形 即为所求．【小问2详解】
证明：∵直线 是 的垂直平分线，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∵ ，
∴四边形 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是正确作
出点D．
24. 已知一次函数 经过点 ，与x轴交于点A．
（1）求b的值和点A的坐标；
（2）画出此函数的图像；观察图像，当 时，x的取值范围是________；（3）若点C是y轴上一点， 的面积为6，则点C点坐标是多少？
【答案】（1） ，
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数的解析式中，即可得出 的值，从而求出一次函数的解析式，
令 时，得出 的值即可得出点A的坐标；
（2）根据点A和点B的坐标确定位置，作直线 即可，根据图象，即可确定x的取值范围；
（3）先求出 的值，根据三角形的面积公式求得 的值，即可得出点C的坐标．
【小问1详解】
∵一次函数 经过点 ，
∴ ．
∵当 时， ，
解得 ．
∴ ．
【小问2详解】
由（1）知， ，
画图如下：即为所求；
由图知，当 时，x的取值范围是
【小问3详解】
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得 ．
∴C的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了图形与坐标、一次函数的解析式、一次函数的图象及性质，正确画出图象是解题的关
键．
25. 我们研究函数 的图像与性质．
（1）我们知道 ，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图像；
基本步骤是：
① 的取值范围是________；②列出表格，其中 ________， ________；
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 2 1 0 1 2 …
③描点，在坐标系中描出表格中的各点；
④连线，在坐标系中画出函数的图像．
（2）通过观察图像，写出该函数的一条性质：_________；
（3）在（1）中给出的平面直角坐标系画出函数 图像，说说函数 是怎样由函数
平移得来的．
【答案】（1）①全体实数；② ， ；③见解析；④见解析；
（2） 时， 随 的增大而减小（答案不止一个）；
（3）向右平移4个单位再向上平移1个单位．
【解析】
【分析】（1）①根据自变量是全体实数判断即可．
②根据函数的表达式计算求解即可．
（2）运用数形结合思想，写出一条性质即可．（3）根据平移思想确定即可．
【小问1详解】
①根据题意，自变量的取值范围是全体实数；
故 的取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数．
②根据题意， 时， ，
故 ；
时， ，
故 ；
故答案为： ， ．
画图像如下：
．
【小问2详解】
根据题意，得 时， 随 的增大而减小，
故答案为： 时， 随 的增大而减小．
【小问3详解】
函数 是由函数 的图像向右平移4个单位再向上平移1个单位平移得来的．
【点睛】本题考查了函数的比三中形式，求函数值，画函数图像，平移思想，熟练掌握求函数值，画函数
图像，平移思想是解题的关键．26. 如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象交 轴于点 ，交 轴于点 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）直线 垂直平分 交 于点 ，点 是直线 上一动点，且在点 的上方，设点 的纵坐标为 ．
①用含 的代数式表示 _______；
②当 时，点 的坐标为_______；
③在②的条件下，如图2，点 、 为 轴上两个动点，满足 ，并且点 在点 的上方，连接
， ，当四边形 周长最小时，直接写出点 的坐标_______．
【答案】（1） ；
（2）① ；② ；③ ．
【解析】
【分析】（1）根据点A和点B坐标应用待定系数法即可．
（2）①根据线段垂直平分线的性质和一次函数解析式求出点 D坐标，进而用m表示 的长度，再根据
三角形面积公式计算即可．
②根据①中 面积公式求出m的值，再根据线段垂直平分线的性质确定点P的横坐标，即可求出点P
的坐标．
③在直线a上取一点 ，作点Q关于y轴的对称点C，连接 ，其与y轴的交点即为N．根据
四边形周长公式确定当 取得最小值时，四边形 的周长取得最小值，根据平行四边形的
判定定理和性质，轴对称的性质确定 ，进而确定当B，N，C三点共线时，四边形 的周长取得最小值，根据点B和点C坐标应用待定系数法求出直线 的解析式，进而即可求出点N的坐标．
【小问1详解】
解：将点 ， ，代入
得： ．
解得
直线 的函数表达式为 ．
【小问2详解】
解：① 直线a垂直平分 交 于点D，
点D的横坐标为 ，
点D在直线 上，
．
点P的纵坐标为m，
．
故答案为： ．
② ，
．
．
点P在线段 的垂直平分线上，点P的横坐标是 ．
．
故答案为： ．
③如下图所示，在直线a上取一点 ，作点Q关于y轴的对称点C，连接 ，其与y轴的交点
即为N．
点B和点P是定点，
的长度为固定值．
四边形 ， ，
当 取得最小值时，四边形 的周长取得最小值．
， ，
．
， ，
．
．
四边形 是平行四边形．．
点C与点Q关于y轴对称，
， ．
．
当B，N，C三点共线时， 取得最小值，即 取得最小值．
当B，N，C三点共线时，四边形 的周长取得最小值．
设直线 的解析式为 ．
把点B和点C坐标代入直线 解析式得 ．
解得 ．
直线 解析式为 ．
当 时， ．
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，根据自变量求一次函数的函数值，三角形面积公式，线
段垂直平分线的性质，平行四边形的判定定理和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，综合应用这些
知识点是解题关键．
27. 如图，正方形 的边长为2，点 为对角线 上任意一点（不与 、 重合），连接 ，过点 作 ，交线段 于点 ，以 、 为邻边作矩形 ，连接 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 为 的三等分点时（靠近 点），求证： ；
（3）设四边形 的周长为 ，直接写出 的取值范围是_________．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3） ．
【解析】
【分析】（1）过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，证明 AEP≌△EFQ，即可得出结论；
△
（2）连接 ，过点 作 于点 ，利用正方形的性质及线段的和差关系可得 ，据
此即可证明结论成立；（3）由正方形的判定与性质可得 ，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，过点E作 于点P，交 于点Q，则 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：如图，连接 ，过点 作 于点 ，
∵四边形 是正方形，点 在 上，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 、 是 的三等分点
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：由（1）得， ，
四边形 是矩形，
四边形 是正方形，， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
随 的增大而增大，
当 时， 最小， 的值最小，
此时 ，
的最小值为 ，
当点E与点B或点D重合时， 最大，m的值最大，
此时 ，m的最大值为 ，
∵点E不与B、D重合，
∴ ，
【点睛】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的
判定与性质、勾股定理等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形和矩形，
此题难度较大，属于考试压轴题．北京师范大学实验华夏女子中学
2022—2023学年度第二学期期中学业评价
初二数学选做题
解答题：（共10分，第1题3分，第2题7分）
28. 已知 ， 是两个连续的正偶数， ， ， ．
（1）当 时， __________；
（2）当 为任意正偶数时， 的值是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【答案】（1）2； （2）定值，2．
【解析】
【分析】（1）根据 ，得 ，然后代入求得 ，再代入 计算
即可；
（2）设 (x 为任意正整数)，则 ，代入计算得 ，再代入计算得
，即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ， 是两个连续的正偶数， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2；
【小问2详解】
解：设 (x为任意正整数)，则 ，
∴ ，
∴．
∴当 为任意正偶数时， 的值是定值，这个定值为2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握根据二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．
29. 在平面直角坐标系 中，若 、 为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂
直，则称该矩形为点 、 的“友好矩形”，图1为点 、 的“友好矩形”的示意图．已知点 的坐
标为 ．
（1）如图2，点 的坐标为 ．
①若 ，则点 、 的“友好矩形”的面积是__________；②若点 、 的“友好矩形”的面积是6，则 的值为__________．
（2）如图3，点 在直线 上，若点 、 的“友好矩形”是正方形，求直线 的表达式；
（3）如图4，等边 的边 在 轴上，顶点 在 轴的正半轴上，点 的坐标为 ，点 的
坐标为 ，若在 的边上存在一点 ，使得点 、 的“友好矩形”为正方形，请直接写出
的取值范围．
【答案】（1）① ；② 或 ；
（2） 或 ；
（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）①由矩形的性质结合图形和“相关矩形”的定义即可得出点 ， 的 相关矩形 的面积为；②分类讨论：当点 在点 左侧时和当点 在点 右侧时，画出图形，结合矩形的性质结合“相关矩
形”的定义即可得出 的值为 或 ；
（2）由题意可知点 到直线 的距离为 ，即得出点 ， 的 相关矩形 是正方形时的边长为 ．分类
讨论：当点 在点 左侧时和当点 在点 右侧时，画出图形，结合正方形的性质和“相关矩形”的定
义即可得出点 的坐标；
（3）由题意可求出 ， ， ．分类讨论：①当点 在边 上
时，求出此时 的取值范围为 或 ；②当点 在边 上时，求出此时
的取值范围为 或 ；③当点 在边 上时，求出此时 的取值范围
为 或 ，即得出答案．
【小问1详解】
解：①当 时，点 的坐标为 ，如图．
，
由矩形的性质可得：点 ， 的 相关矩形 的面积为 ．
故答案为： ；②分类讨论：当点 在点 左侧时，如图点 ，
由矩形的性质可得：点 ， 的 相关矩形 的面积为 ，
解得： ；
当点 在点 右侧时，如图点 ，
由矩形的性质可得：点 ， 的 相关矩形 的面积为 ，
解得： ．
综上可知 的值为 或 ；．
故答案为： 或 ；；
【小问2详解】
解： 点 在过点 且平行 轴的直线 上， ，
点 到直线 的距离为 ，
点 ， 的 相关矩形 是正方形时的边长为 ．
在
分类讨论：当点 点 左侧时，如图点 ，
， ，即 ；
当点 在点 右侧时，如图点 ，
， ，即 ．综上可知点 的坐标为 或 ；
【小问3详解】
解： 点 的坐标为 ，
点 在直线 上．
是等边三角形，顶点 在 轴的正半轴上， ，
，
，
．
分类讨论：①当点 在边 上时，若点 与点 重合，点 ， 的 相关矩形 为正方形，且当点
位于点 左侧时，则此时 ，
若点 与点 重合，点 ， 的 相关矩形 为正方形，且当点 位于点 左侧时，则此时
，
则此时 的取值范围为 ；
若点 与点 重合，点 ， 的 相关矩形 为正方形，且当点 位于点 右侧时，则此时 ，
若点 与点 重合，点 ， 的 相关矩形 为正方形，且当点 位于点 右侧时，则此时
，则此时 的取值范围为 ，
此时 的取值范围为 或 ；
②当点 在边 上时，若点 与点 重合，点 ， 的 相关矩形 为正方形，且当点 位于点
右侧时，则此时 ，
若点 与点 重合，点 ， 的 相关矩形 为正方形，且当点 位于点 右侧时，则此时
，
则此时 的取值范围为 ；
若点 与点 重合，点 ， 的 相关矩形 为正方形，且当点 位于点 左侧时，则此时 ，
若点 与点 重合，点 ， 的 相关矩形 为正方形，且当点 位于点 左侧时，则此时
，
则此时 的取值范围为 ，
此时 的取值范围为 或 ；
③当点 在边 上时，点 ， 的 相关矩形 为正方形，其边长为定值 ，
若点 与点 重合，点 ， 的 相关矩形 为正方形，且点 位于点 左侧时，则此时 ，
若点 与点 重合，点 ， 的 相关矩形 为正方形，且点 位于点 左侧时，则此时 ，
则此时 的取值范围为 ；
若点 与点 重合，点 ， 的 相关矩形 为正方形，且点 位于点 右侧时，则此时 ，
若点 与点 重合，点 ， 的 相关矩形 为正方形，且点 位于点 右侧时，则此时 ，
则此时 的取值范围为 ，此时 的取值范围为 或 ．
的
综上可知 取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，坐标与图形，等边三角形的性质，勾股定理等知识．理
解”相关矩形”的定义，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
