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专题 23 圆锥曲线离心率
目录
题型一：离心率基础计算.....................................................................................................................................................1
题型二：定义型求离心率.....................................................................................................................................................2
题型三：第三定义型（点差法）.........................................................................................................................................3
题型四：双曲线：渐近线型离心率.....................................................................................................................................4
题型五：中点与离心率.........................................................................................................................................................5
题型六：a、b、c齐次型......................................................................................................................................................6
题型七：焦点三角形：内切圆型.........................................................................................................................................7
题型八：焦点三角形：焦半径型.........................................................................................................................................8
题型九：焦点三角形：离心率范围最值.............................................................................................................................9
题型十：焦点弦定比分点求离心率...................................................................................................................................10
题型十一：焦点三角形：余弦定理...................................................................................................................................10
题型十二：焦点三角形：双角度型...................................................................................................................................11
题型十三：重心型...............................................................................................................................................................12
题型十四：双曲线椭圆共焦点型.......................................................................................................................................14
题型十五：离心率“小题大做”型...................................................................................................................................15
结束.......................................................................................................................................................................................16
题型一：离心率基础计算
圆锥曲线的离心率的常见基本思维方法和基础计算：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
基础计算：由已知条件得出关于 的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于 的一元二次方程或不等式，
结合离心率的定义求解；
特殊值计算法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
1．（24-25高三·重庆·阶段练习）已知椭圆 的焦距为 ，若直线
恒与椭圆 有两个不同的公共点，则椭圆 的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近
线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若 的面积为 ，则C的离心率为（ ）．
A．3 B． C．2 D．
3．（24-25高三·全国·模拟）设椭圆的两个焦点分别为 ， ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A． B． C． D．
4．（23-24高三·河南漯河·阶段练习，多选）已知椭圆 : 与双曲线 ： （
），下列关于两曲线的说法正确的是（ ）
A．C 的长轴长与C 的实轴长相等 B．C 的短轴长与C 的虚轴长相等
1 2 1 2
C．焦距相等 D．离心率不相等
5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则C的离心
率为 .
题型二：定义型求离心率
解题时要把所给的几何特征转化为 的关系式．求离心率的常用方法有：
（1）根据条件求得 ，利用 或 求解；
（2）根据条件得到关于 的方程或不等式，利用 将其化为关于 的方程或不等式，然后解方程或不等
式即可得到离心率或其范围．
1．（23-24高二下·湖南郴州·模拟）已知 为椭圆 上一动点， 分别为其左右焦
点，直线 与 的另一交点为 的周长为16.若 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知椭圆 ( )， ， 分别为椭圆的左右焦点，直线
与椭圆交于A、B两点，若 、A、 、B四点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·贵州·三模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线 与椭圆
交于 两点，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三·云南·阶段练习，多选）椭圆 的左､右两焦点分别是 ，其中
．过左焦点的直线与椭圆交于 两点．则下列说法中正确的有（ ）
A． 的周长为B．若 的中点为 所在直线斜率为 ，则
C．若 的最小值为 ，则椭圆的离心率
D．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是
5．（20-21·河南驻马店·模拟）已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 且倾斜角
为60°的直线 与 的左､右两支分别交于 ､ 两点.若 ，则双曲线 的离心率为 .
题型三：第三定义型（点差法）
x y x y
2 2 2 2
椭圆：设直线和椭圆 1 + 1 =1的两个交点 ， ，代入椭圆方程，得 1 + 1 =1；
a2 b2 A(x
1
,y
1
) B(x
2
,y
2
) a2 b2
x
2
y
2
x
2
−x
2
y
2
−y
2 (x +x )(x −x ) (y +y )(y −y )
2 + 2 =1；将两式相减，可得 1 2 + 1 2 =0； 1 2 1 2 =− 1 2 1 2 ；
a2 b2 a2 b2 a2 b2
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
最后整理得：1=− 1 2 1 2 1=−k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1= 1 2 1 2 1=k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
抛物线：设直线和曲线的两个交点A(x 1 ,y 1 )，B(x 2 ,y 2 )，代入抛物线方程，得 y 1 2 =2px 1； y 2 2 =2px 2；
可得
1．（22-23高三·山西长治·模拟）已知直线 与椭圆 相交于 两点，且线段
的中点在直线 上，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（20-21高三·江西南昌·模拟）双曲线 的右焦点为 ，设 、 为双曲线上
关于原点对称的两点， 的中点为 ， 的中点为 ，若原点 在以线段 为直径的圆上，直线
的斜率为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．（20-21高三·江西抚州·模拟）已知椭圆的方程为 ，斜率为 的直线 与椭圆相交于 ， 两点，且线段 的中点为 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河北石家庄·二模，多选）已知双曲线 ： ，其上、下焦点分别为 ， ，
为坐标原点．过双曲线上一点 作直线 ，分别与双曲线的渐近线交于 ， 两点，且点 为
中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 轴，则 ．
B．若点 的坐标为 ，则直线 的斜率为
C．直线 的方程为 ．
D．若双曲线的离心率为 ，则三角形 的面积为2．
5．（23-24高三·黑龙江哈尔滨·模拟）已知直线 与椭圆 相交于 两点，且
线段 的中点在直线 上，则此椭圆的离心率为 ．
题型四：双曲线：渐近线型离心率
双曲线渐近线性质：
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
（3）一直线交双曲线 的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则 .
（4）过双曲线 上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论：
①OM·ON=a2+b2；② ；③
1．（2022高三·全国·专题练习）双曲线 的右焦点为 ，若以点 为圆心，半径
为 的圆与双曲线 的渐近线相切，则双曲线 的离心率等于（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2022·山西晋中·二模）已知双曲线 ： 的左､右焦点分别为 ， ，
平面内一点 满足 ， 的面积为 ，点 为线段 的中点，直线 为双曲线的一条渐
近线，则双曲线 的离心率为（ ）A． B． 或 C． D．2
3．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，过
作以 为圆心，虚半轴长为半径的圆的切线，切点为 ，若线段 恰好被双曲线 的一条渐近线平
分，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（22-23高三·河北保定·模拟，多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
点 为双曲线 右支上一点，且 ，若 与一条渐近线平行，则（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的渐近线方程为
C． 的面积为
D．直线 与圆 相切
6．（21-22高三上·辽宁·阶段练习）等轴双曲线是一种特殊的双曲线，特点是渐近线互相垂直且离心率为
， （ ）的图象是等轴双曲线，设双曲线 的焦点为A、B，则直线AB的方程为
，若O为坐标原点，则 的面积为 ．
题型五：中点与离心率
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理
该式子。主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
x +x y +y
中点M(x ,y ) ， x 0 = 1 2 2 ， y 0 = 1 2 2
0 0
1．（22-23高三上·浙江·模拟）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的
直线 交双曲线的右支于 ， 两点.点 满足 ，且 ，若 ，则双
曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线 的右焦点为 ，其左右顶点
分别为 ，过 且与 轴垂直的直线交双曲线 于 两点，设线段 的中点为 ，若直线 与直
线 的交点在 轴上，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B．3 C． D．3．（2024·四川雅安·三模）设 分别为双曲线 的左右焦点，过点 的直线交
双曲线右支于点 ，交 轴于点 ，且 为线段 的中点，并满足 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C．2 D．
4．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟，多选）已知 为坐标原点， 是椭圆 的右
焦点， 与 交于 两点， 分别为 的中点，若 ，则 的离心率可能为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆 的左焦点是 ，左顶点为 ，直线 交
椭圆于 ､ 两点( 在第一象限)，直线 与直线 交于点 ，且点 为线段 的中点，则椭圆的离心
率为 .
题型六：a、b、c 齐次型
只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)
两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
1．（2022·山东临沂·模拟） 是双曲线 的左、右焦点，直线l为双曲线C的一
条渐近线， 关于直线l的对称点为 ，且点 在以F 为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C
2
的离心率为
A．√2 B． C．2 D．√3
2．（2024·湖南·三模）已知 是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原点，过 作直
线与C交于A，B两点，若 ，且 的面积为 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，左焦点为
为椭圆上一点，直线 与直线 交于点 的角平分线与直线 交于点 ，若 ，
的面积是 面积的 倍，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．4．（22-23高三·辽宁铁岭·阶段练习，多选）如图，已知椭圆C： ， ， 分别为左、
右顶点， ， 分别为上、下顶点， ， 分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C
的离心率为 的是（ ）
A． B．
C． 轴，且 D．四边形 的内切圆过焦点 ，
5．（2024·福建·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为F，过F的直线l交圆
于A，B两点，交C的右支于点P.若 ， ，则C的离心率为 .
题型七：焦点三角形：内切圆型
1．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，双曲线 的左右焦点分别为 ， ，若存在
过 的直线 交双曲线 右支于 ， 两点，且 ， 的内切圆半径 ， 满足 ，则双
曲线 的离心率取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东济宁·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，根据双曲线
的光学性质可知，过双曲线 上任意一点 的切线 平分 .直线 过
交双曲线 的右支于A，B两点，设 的内心分别为 ，若 与 的面
积之比为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D． .x2 y2
3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 ， ，点
a2 b2
P(x ,y )是 上的一点， 的内切圆圆心为Q(x ,y )，当 时， ，则 的离心率为
1 1 2 2
（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·全国·模拟，多选）设 为坐标原点， 分别是双曲线 的左、
右焦点， 是 上的一点，且 ，若 的内切圆半径为 ，设内切圆圆心 ，
则（ ）
A． B． 为直角三角形
C． 的面积为 D． 的离心率为
5．（23-24高三·广东揭阳·模拟）已知椭圆 的左､右焦点分别为 为 上且不
与顶点重合的任意一点， 为 的内心， 为坐标原点，记直线 的斜率分别为 ， ，若
，则 的离心率为 .
题型八：焦点三角形：焦半径型
圆锥曲线焦半径统一结论 ，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和
双曲线而言
对于抛物线，则
1．（21-22高三上·全国·阶段练习）已知点 是椭圆 上的一点， ， 是椭
圆的左、右焦点，若△ 为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．（22-23高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）设椭圆 （ ）的右焦点为F，椭圆C上的两
点A、B关于原点对称，且满足 ， ，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
3．（2024·陕西西安·一模）已知农历每月的第 天 的月相外边缘近似为椭圆的一半，方
程为 ，其中 为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（ ）
①农历每月第 天和第 天的月相外边缘形状相同；
②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 ；
③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；
④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间 内．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
4．（23-24高三上·江西·模拟，多选）已知 为坐标原点， ， 分别为双曲线 ： （ ，
）的左、右焦点，点 为双曲线右支上一点，设 ，过 作两渐近线的垂线，垂足分别为
， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B． 为定值
C．若当 时 恰好为等边三角形，则双曲线 的离心率为
D．当 时若直线 与圆 相切，则双曲线 的离心率为
5．（23-24高三·河南许昌·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上
一点， 是以 为底边的等腰三角形，且 ，则该椭圆的离心率的取值范围是
．
题型九：焦点三角形：离心率范围最值
求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出 ，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为 的齐次式，然后等式(不等式)
两边分别除以 或 转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 （ 的取值范围）.
1．（20-21高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，若存在点
为椭圆上一点，使得 ，则椭圆离心率 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．2．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知椭圆 的两个焦点为
是椭圆上一点，且满足 ，求椭圆的离心率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三·广东湛江·模拟）椭圆C的两个焦点分别是F ，F ，若C上的点P满足 ，
1 2
则椭圆C的离心率e的取值范围是
A． B．
C． D． 或
4．（20-21高三·江苏南京·阶段练习，多选）已知椭圆 的离心率为e， 分别为椭
圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得 是钝角，则满足条件的一个e的值（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·山东枣庄·一模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 且 ，
若在椭圆上存在点 ，使得过点 可作以 为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为
.
题型十：焦点弦定比分点求离心率
性质：过圆锥曲线的焦点 F 的弦 AB 与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
1．（2023·湖北·模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直
线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， ， 平分 ，则双曲线 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·湖南岳阳·模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．点
A在 上，点 在 轴上， ， ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
3．（2024·浙江台州·二模）设 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，点 分别在
双曲线 的左、右两支上，且满足 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习，多选）已知双曲线C： 的右焦点为F，过点
F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，该垂线与另一条渐近线的交点为B，若 ，
则C的离心率e可能为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）设双曲线 的左､右焦点分别为 为
左顶点，过点 的直线与双曲线 的左､右两支分别交于点 （点 在第一象限）.若 ，则
双曲线 的离心率 ， .
题型十一：焦点三角形：余弦定理
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
1.
焦点四边形具有中心对称性质。
2.
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
3.
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
1．（2023·山西·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P是双曲线
E上一点， ， 的平分线与x轴交于点Q， ，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（23-24高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知M为椭圆： 上一点， ， 为左右焦
点，设 ， ，若 ，则离心率 （ ）
A． B． C． D．3．（23-24高二下·江苏·开学考试）双曲线 的两个焦点为 、 ，以 的实轴为直径的圆记为 ，过
作圆 的切线与 的两支分别交于 、 两点，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东广州·模拟预测，多选）已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点为 ， ，过
的直线与 交于 ， 两点.若 ， .则（ ）
A． 的周长为 B．
C． 的斜率为 D．椭圆 的离心率为
5．（2023·浙江嘉兴·二模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，点
在椭圆上，连接 并延长交 于点 ，连接 ，若存在点 使 成立，则 的取值范围为
.
题型十二：焦点三角形：双角度型
设椭圆 （a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，
记 , , ，则有 .
[来源:学科网ZXXK]
设双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为F 、F ,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF F
1 2 1 2
中，记 , , ，则有 .
1．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知 ， 分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，
且 ，设 ，当 的范围为 时，双曲线C离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·山西长治·模拟）已知椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 , ，P为
C上一点，且 ， ，则C的离心率等于（ ）A． B． C． D．
3．（2024·江西赣州·二模）已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，M为C左支上
一点.设 ， ，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
4．（21-22高二下·湖南·模拟，多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双
曲线上存在点 （点 不与左、右顶点重合），使得 ，则双曲线 的离心率的可能取值
为 （ ）
A． B． C． D．2
5．（21-22高二下·广东·阶段练习）已知椭圆E的两个焦点分别为 ，点P为椭圆上一点，且
，则椭圆E的离心率为 .
题型十三：重心型
离心率(离心率范围)的求法
1.求离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c
代换，求 的值．
2.焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
1．（2023·贵州黔东南·一模）设双曲线 的右焦点为 ， ，若直线 与
的右支交于 两点，且 为 的重心，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三·湖北武汉·模拟）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，
直线 ： 交椭圆于 ， 两点，若 恰好为 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．3．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆 的右焦点和上顶点分别为点 和点 ，
直线 交椭圆于 两点，若 恰好为 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高三下·湖南·阶段练习，多选）设双曲线 的右焦点为 ，若
直线 与 右支交于 两点，且 为 的重心，则（ ）
A． 的离心率的取值范围为
B． 的离心率的取值范围为
C．直线 斜率的取值范围为
D．直线 斜率的取值范围为
5．（21-22高三·广东广州·模拟）已知椭圆 的右焦点和上顶点分别为点
和点A，直线 交椭圆于P，Q两点，若F恰好为 的重心，则椭圆的离心率为
.
题型十四：双曲线椭圆共焦点型
椭圆与双曲线共焦点 、 ，它们的交点 对两公共焦点 、 的张角为 ，椭圆与双曲线的
离心率分别为 、 ，则．
1．（20-21高三·江西·阶段练习）已知椭圆 ，双曲线 为
的焦点， 为 和 的交点，若 的内切圆的圆心的横坐标为2， 和 的离心率之积为 ，则 的
值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021·江西·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 的焦点相同，离心率分别为 ， ，且满足 ，， 是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若 ，则双曲线 的离心率
为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（22-23高三·河南许昌·模拟）已知椭圆 与双曲线 有
相同的焦点 、 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 的交点，
且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．4
4．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习，多选）已知 ， 是椭圆
与双曲线 共同的焦点， ， 分别是 ， 的离心
率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（ ）
A． 面积为
B．若 ，则
C．若 ，则 的取值范围为
D．若 ，则 的取值范围为
5．（24-25高三上·全国·单元测试）已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 ， ，离心率分别为
，若 是两条曲线的一个交点，且 ，则 的最小值为
．
题型十五：离心率“小题大做”型关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：
（1）设出点的坐标 ；
（2）根据中点坐标建立等式： ， ；
（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；
（4）将 ， 及 代入等式中即可得出关系.
1．（2024·江西新余·二模）如图，已知 为双曲线 上一动点，过 作双曲线
的切线交 轴于点 ，过点 作 于点 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆 ： ( )的短轴长为4，上顶点为 ， 为坐标原点，
点 为 的中点，双曲线 ： ( ， )的左､右焦点分别与椭圆 的左､右顶点 ， 重
合，点 是双曲线 与椭圆 在第一象限的交点，且 ， ， 三点共线，直线 的斜率 ，则
双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（19-20高三下·河北衡水·阶段练习）已知椭圆 内有一定点 ，过点P的两条直
线 ， 分别与椭圆 交于A、C和B、D两点，且满足 ， ，若 变化时，直线CD的
斜率总为 ，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
4．（23-24高三·辽宁本溪·模拟，多选）已知椭圆 ： （ ）过点 ，直线 ：
与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的中点为 ， 为坐标原点，直线 的斜率为 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 的离心率为B． 的方程为
C．若 ，则
D．若 ，则椭圆 上存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称
5．（2024·山东聊城·三模）已知双曲线 的一个焦点为 为坐标原点，点 在
双曲线上运动，以 为直径的圆过点 ，且 恒成立，则 的离心率的取值范围为
．
