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2023—2024 学年度北京师范大学三帆中学朝阳学校 3 月
数学调研
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x＜2 C. x≤2 D. x≥2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵3x﹣6≥0，
∴x≥2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关
键．
2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5 B. 2，2，5 C. 4，5，6 D. 5，12，14
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那
么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即
可．
【详解】解：A、∵ ，
∴三边长为3，4，5，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵ ，
∴三边长为2，2，5，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴三边长为4，5，6，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵ ，
∴三边长为5，12，14，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选A．
3. 如图，施工队打算测量 ， 两地之间的距离，但 ， 两地之间有一个池塘，于是施工队在 处取点
连接 ， ，测量 ， 的中点 之间的距离是 ，则 两地之间距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解： 点 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. ＝2 B. ＝﹣2 C. ＝2 D. ＝±2
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根与立方根的意义进行判断即可．
【详解】解：A. ＝2，故该选项正确；
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学科网（北京）股份有限公司B. ＝2，故该选项错误；
C. ＝-2，故该选项错误；
D. ＝2，故该选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根的意义及立方根的意义，掌握 ， ， ，
这几个公式是解题关键．
5. 如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ，下列条件中不能判定四边形 是平行
四边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故选项C不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司D、由 ， ，不能判定四边形 是平行四边形，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
6. 在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（ ）
A. 8<▱BC<10 B. 2<BC<18 C. 1<BC<8 D. 1<BC<9
【答案】D
【解析】
【分析】易得两条对角线的一半和BC组成三角形，那么BC应大于已知两条对角线的一半之差，小于两条
对角线的一半之和．
【详解】解：平行四边形的对角线互相平分得：两条对角线的一半分别是5，4，
再根据三角形的三边关系，得：1＜BC＜9，
故选D.
【点睛】本题考查了平行四边形 的性质、三角形三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是
解本题的关键.
7. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度
数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C的度数，再根据平行四边形的性质解答
即可．
【详解】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠E=∠C=70°．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题型，
熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司8. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正
方形面积为4，若用 ， 表示直角三角形的两直角边（ ），下列四个说法：
① ，② ，③ ，④ .
其中说法正确的是( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【详解】可设大正方形边长为a，小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49,b2=4；
根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正确；
因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，所以x-y=2，式②正确；
根据三角形面积公式可得 ，而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以
，化简得2xy+4=49，式③正确；
因为x2+y2=49，2xy+4=49，
所以
所以 ，因而式④不正确．
故答案为B．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
9. 若一个长方形的长为 ，面积为 ，则它的宽为__________cm（保留根式）．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽，利用二次根式的除法运算.
【详解】解：由题意可得：长方形宽 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的除法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键.
10. 如图，直线MN过 ABCD的中心点O，交AD于点M，交BC于点N，已知S ＝4，则S ＝__．
▱ ABCD 阴影
▱
【答案】1
【解析】
【分析】证明△AOM≌△CON（ASA），得到 ，进而根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM CN，OA＝OC，
∴∠MAO＝∠NCO，
∵∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
11. 如图，矩形 中， 在数轴上，若以点 为圆心，对角线 的长为半径作弧
交数轴的正半轴于 ，则点 的坐标为__________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】此题考查了坐标与图形，长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到
，根据勾股定理求出 ，再求出答案即可．
【详解】解：∵四边形 是长方形， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点A表示的数为 ，
∴点M表示的数为 ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
12. 如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是_____．
【答案】25π
【解析】
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到
B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．
【详解】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，
则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
AC＝ ×2π×24＝24π，∠C＝90°，BC＝7π，
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学科网（北京）股份有限公司由勾股定理得：AB＝ ＝25π．
故答案为：25π．
【点睛】考核知识点：勾股定理．把问题转化为求线段长度是关键．
13. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，
去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上
端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳
索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为 尺，木柱AB的长用含 的代数式表示为__尺，根据
题意，可列方程为___．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程．
【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为 尺，
根据勾股定理可列方程： ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
14. 有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形：
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学科网（北京）股份有限公司③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成 个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的性质逐
一判断即可．
【详解】①平行四边形具有四边形的所有性质，正确；
②平行四边形不是轴对称图形，故原说法错误；
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，正确；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成 个面积相等的小三角形，正确；
综上可知，说法正确的是①③④，
故答案为：①③④．
15. 如图所示， 的周长为 ，斜边 的长为 ，则 的面积为
_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】先求出直角三角形的两条直角边的和，然后再根据勾股定理求出两条直角边的平方和，再根据完
全平方公式，进行变形计算即可．
【详解】解：∵ 的周长为 ，斜边 的长为 ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，完全平方公式的变形计算，解题的关键是根据完
全平方公式，求出 ．
16. 如图，四边形 是边长为 的正方形纸片，将其沿 折叠，使点 落在 边上的 处，点
对应点为 ，且 ，则AM的长是_______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．设 ，连接
，分别在 和 中利用勾股定理得出三边关系，然后利用 得出
，最后利用方程求解即可．
【详解】设 ，
∵正方形的边长为25， ，
∴ ， ，
连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
即 ．
故答案为：8．
三、解答题
17. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）
（2）
（3）
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学科网（北京）股份有限公司（4）
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则和使用平方差与完全平方公式简便计算
是解题 的关键．
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先把被开方数化为假分数，再根据二次根式的乘、除法法则计算即可；
（3）先算乘法，再算加减即可；
（4）根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
原式
【小问2详解】
原式
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司原式
【小问4详解】
原式
18. 如图，在平行四边形 中，连接对角线 ， 交 于点 ，交 于点 ．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点 作 的垂线，交 于点 ，交 于点 ；（不写作法，保
留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证： ．（请补全下面的证明过程）
证明： 四边形 是平行四边形，
，①__________，
②__________，
， ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司③__________，
， ．
即④__________，
，
⑤__________，
，
【答案】（1）见解析 （2）① ；② ；③ ；④ ；⑤
；证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图——尺规作图（作垂线），全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质解题的
关键是灵活运用这些性质．
（1）根据 垂直平分线的尺规作图法，作出图形即可；
（2）先根据平行四边形的性质得到 ， ，由 ， ，及 ，
得 ， ，可证明 ，可得 ，再利用线段的
和差关系，即可得证结论．
【小问1详解】
解：如图，即 为所求；
【小问2详解】
四边形 是平行四边形，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
， ，
，
， ，
即 ，
，
，
，
．
故答案为：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
19. 已知 ， ，试求：
（1） ；
（2）
【答案】（1） =1
（2）23
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算以及平方差公式求解即可；
（2）利用完全平方公式对式子进行化简，然后代入求解即可．
【小问1详解】
解：
=1；
【小问2详解】
解：
；
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学科网（北京）股份有限公司当 ， 时，
原式
=23．
【点睛】此题考查了二次根式的加减乘除运算，涉及了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌
握二次根式的有关运算以及平方差公式和完全平方公式．
20. 如图，在四边形 中，E，F分别为 ， 上的点，且 ，连接 ， ，若四边
形 是平行四边形．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得 ， ，则 ，再证 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出 是解题的关
键．
21. 如图，某人从 地到 地共有三条路可选，第一条路是从 地沿 到达 地， 为10米，第二条
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学科网（北京）股份有限公司路是从 地沿折线 到达 地， 为8米， 为6米，第三条路是从 地沿折线
到达 地共行走26米，若 刚好在一条直线上．
（1）求证： ；
（2）求 和 的长．
【答案】（1）见解析 （2） 的长为17米， 的长为9米
【解析】
【分析】（1）通过计算得出 ，再根据勾股定理的逆定理即可证明．
（2）先设一条线段长x，根据已知条件及勾股定理可列出关于x的方程，然后求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ 米， 米， 米，
∴ ，
∴ 是直角三角形，即 ；
【小问2详解】
解：设 米，则 米，
∴ （米），
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，则 ．
答： 的长为17米， 的长为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，设未知数、运用方程解题是本题的关键所在．
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学科网（北京）股份有限公司22. 阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点M（ ），N（ ），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN=
．例如，M（3，1），N（1，－2），则MN=
【直接应用】
（1）已知P（2，－3），Q（－1，3），求P、Q两点间的距离；
（2）如图，在平面直角坐标系中，A（－1，－3），OB= ，OB与 轴正半轴的夹角是45°．
①求点B的坐标；
②试判断△ABO的形状．
【答案】（1）
（2）①B（1，−1）；△ABO是直角三角形．
【解析】
【分析】（1）由两点间的距离公式可求出答案；
（2）①过点B作BF⊥y轴于点F，求出OF＝BF＝1，则可求出答案；
②求出OA和AB的长，由勾股定理的逆定理可得出结论．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：∵P（2，−3），Q（−1，3），
∴PQ＝ ；
【小问2详解】
①过点B作BF⊥y轴于点F，
∵OB与x轴正半轴的夹角是45°，
∴∠FOB＝∠OBF＝45°，
∵OB＝ ，
∴OF＝BF＝1，
∴B（1，−1）；
②∵A（−1，−3），B（1，−1），
∴OA＝
，AB＝ ，
∵AB2＋OB2＝8＋2＝10，OA2＝10，
∴AB2＋OB2＝OA2，
∴△ABO是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握勾
股定理是解题的关键．
23. 先化简，再求值： ，其中 ， .
【答案】 ，4
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用二次根式的性质将原式化简，然后由平方差公式得出 ，代入求解即可．
【详解】解：
，
∵ ， ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简及求代数式的值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键．
24. 如图，在 中， ，D为 边上一点，连接 ，E为 中点，过点C作
交BE的延长线于F，连接 交 于点G，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ， ，求四边形 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据“ ”证明 ，得出 ，根据一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形，即可证明结论；
（2）过点C作 于点H，根据直角三角形中 角作对的直角边等于斜边的一半，求出 ，
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学科网（北京）股份有限公司根据勾股定理求出 ，再求出 ，最后根据平行四边形面积公式求出结果即可．
【小问1详解】
证明：∵E为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
【小问2详解】
解：过点C作 于点H，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和
性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，证明 ．
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学科网（北京）股份有限公司25. 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么 ．如
何将双重二次根式 化简？我们可以把 转化为 完全平
方的形式，因此双重二次根式 得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 ，则称
点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负
纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点 的“横负纵变点”为______，点 的“横负纵变点”为______；
（2）化简： ；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（ ，m）且 ，点 是
的
点M “横负纵变点”，求点 '的坐标．
【答案】（1）（ ， ）；（ ， ）
（2） +
（3）（﹣ ，﹣ ）
【解析】
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义， ，即可；
（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将 化为 ，再根据
，即可化简；
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学科网（北京）股份有限公司（3）根据 ，得 ；将 化简得
；根据 ，得
，求出 的值，求出 的坐标，根据横负纵变点”的定义，
，即可求出 的坐标．
【小问1详解】
∵
∴点（ ， ）的“横负纵变点”为（ ， ）
∵
∴点（ ， ）的“横负纵变点”为（ ， ）
故答案为：（ ， ）；（ ， ）．
【小问2详解】
∴ 化简得： ．
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴点 （ ， ）
∵
∴ （ ， ）
故 的坐标为：（ ， ）．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．
26. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形 N上
任意一点，如果 P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N 间的“近距离”，记作
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学科网（北京）股份有限公司．在 中，点 ， ， ， ，如图 1．
（1）直接写出 d(点O , )= ；
（2）若点P在y轴正半轴上，d（点 P， ）=4，求点P坐标；
（3）已知点 ，顺次连接点 E、F、H、
G，将得到的四边形记为图形 W（包括边界）．
①当 时，在图 2 中画出图形 W，直接写出 的值；
②若 ，直接写出 a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）①作图见解析， ；② 或
【解析】
【分析】（1）由 的点坐标可知 为 对角线的交点，可知点 到 ， 的距离相
等且为4；点 到 ， 的距离相等；如图1，记 与 轴的交点为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，由勾股定理得 ，设 到 的距离为 ，根据
，求出 的值，然后与4比较取最小值即可；
（2）如图1，作 于 ，由d（点 P， ）=4，可知 ，且
，在 中，由勾股定理得 ，求出 的值，进而
可得 点坐标；
（3）①由 ，可得 ，在坐标系中描点，依次连接如图2所示，
即为图形 ；延长 交 于 ，交 于 ，延长 ，交 于 ，由
点坐标可知 ， ，可知 ， ，
，根据勾股定理求解 ， 的值，根据 ，求出 的值即可；
②由 的点坐标可知， ， ，四边形 是一个大小不变的平
行四边形，且 点沿着直线 运动，如图2，作 的延长线于 ， ，
， ，分情况求解：当 时， 与 有交点，满足要求；当 ，
时， ，可得 点坐标与 的值，此时有 ，满足要求；当
， 时， ，可得 点坐标与 的值，此时有 ，
满足要求；当 在 右侧且 时， ，可得 点坐标与 的值，当 在 的左侧且
第26页/共31页
学科网（北京）股份有限公司时， ，可得 点坐标与 的值，此时有 ，
满足要求．
【小问1详解】
的
解：由 点坐标可知 为 对角线的交点，
∴点 到 ， 的距离相等且为4；点 到 ， 的距离相等；
如图1，记 与 轴的交点为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
设 到 的距离为 ，
∴ ，
第27页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ d(点O ， ) 的值为 ，
故答案为： ．
【
小问2详解】
解：如图1，作 于 ，
∵d（点 P， ）=4，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴点P坐标为 ．
【小问3详解】
解：①∵ ，
∴ ，
在坐标系中描点，依次连接如图2所示， 即为图形 ，
第28页/共31页
学科网（北京）股份有限公司延长 交 于 ，交 于 ，延长 ，交 于 ，由 ， ， ，
可知 ，
∴ ，
∴ ， ，
由题意知， ，
∵ ， ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
②由 的坐标可知， ， ，四边形 是一个大小不变的平行
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学科网（北京）股份有限公司四边形，且 点沿着直线 运动，如图2，作 的延长线于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 与 有交点， ，
当 ， 时， ，
∴ ，
∴可知 时， ；
当 ， 时， ，
∴ ，
∴可知 时， ；
当 在 右侧且 时， ，
∴ ，
当 在 的左侧且 时， ，
∴ ，
∴可知 时， ；
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学科网（北京）股份有限公司综上所述， 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，两平
行线间距离相等，新定义下的实数运算等知识．解题的关键在于理解题意，分情况求解．
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