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数学练习 2024.2.29
一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 将数字0.0000005用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
【详解】 ．
故答案为：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂乘除法，积的乘方和合并同类项等计算法则进行求解判断即可．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 与 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算正确，符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
3. 如果二次根式 有意义，那么 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于零及分母不为零得到 ，进
而求解即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意得 ，
解得： ，
故选：A．
4. 如图，在 ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连结
AD，则∠CA△D=（ ）
A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°
【答案】B
【解析】
【分析】由D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点可得AD=BD,可得∠ABC=∠BAD=50°,可得∠CAD的
度数.
【详解】解：由题意得： D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，
AD=BD, ∠ABC=∠BAD=50°,
∠BAC=20°, ∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°,
故选B.
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键
5. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A.
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学科网（北京）股份有限公司B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查、多项式除以单项式、多项式乘以多项式、分式的加减运算法则及平方差公式．分
别根据多项式除以单项式、多项式乘以多项式、分式的加减运算法则及平方差公式逐一计算可得．
【详解】A、 ，此选项计算错误；
B、 ，此选项计算错误；
C、 ，此选项计算错误；
D、 ，此选项计算正确；
故选：D．
6. 下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（ ）
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类
二次根式．先把各二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念解答即可．
【详解】A、 与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、 与 被开方数相同，故是同类二次根式；
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学科网（北京）股份有限公司C、 与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
D、 与 被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：B．
7. 如图， ，点 是射线 上的定点，点 是直线 上的动点，要使 为等腰三角
形，则满足条件的点 共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当 为腰时，当 为底时，分别画出图形，即
可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
当 为腰时， ， ， 均是以 为腰的等腰三角形，
当 为底时， 为等腰三角形，
满足条件的点 共有 个，
故选：D．
8. 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的
一个锐角为 ，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知
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学科网（北京）股份有限公司，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，设小直角三角形的较长边长为 较小直角边长为 ，根据题意求出
的值，再根据图形表示出阴影部分的面积即可求解．
【详解】，设小直角三角形的较长边长为 较小直角边长为 ，
则 ，
∵直角三角形的一个锐角为 ，
∴
∴
∴ ，
由图②可知，阴影部分的面积 ，
故选：D．
二、填空题（共24分，每题3分）
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学科网（北京）股份有限公司9. 如图，在 中， ， ， 和 的平分线交于O点，过点O作 的平行
线交 于M点，交 于N点，则 的周长为________________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的
定义证明 ，从而得到 ，同理得到 是解题的关键．遇到平行线和角
平分线时，注意会构成等腰三角形．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ 的周长
，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：10．
10. 若 是完全平方式，则m的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
是
【详解】解：∵ 一个完全平方式，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11. 如图，在 中，AD为BC边上的中线， 于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平
分 ， ， ，则 的面积为________．
【答案】4
【解析】
【分析】过F作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质求得FG=EF=2，再根据三角形一边上的中线将三角
形面积平分求解即可．
【详解】解：过F作FG⊥BC于G，
∵BF平分 ，FG⊥BC， 即EF⊥AB，
∴FG=EF=2，
∵AD为△ABC的BC边上的中线，
的
∴FG为△BFC BC边上在中线，又BC=8，
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学科网（北京）股份有限公司∴S = S = BC·FG= ×8×2=4，
△CDF △BFC
故答案为：4．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性
质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键．
12. 在平面直角坐标系 中，点A，点 的坐标分别为 ， ．若 是以 为顶角
的等腰三角形，点 在 轴上，则点 的坐标为____________．
【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标和图形，等腰三角形的定义，解题的关键是数形结合，注意分类讨论，根据
点A，点 的坐标分别为 ， ，求出 ，根据 是以 为顶角的
等腰三角形，求出 ，然后分两种情况写点C的坐标即可．
【详解】解：∵点A，点 的坐标分别为 ， ，
∴ ，
∵ 是以 为顶角的等腰三角形，
∴ ，
∵点C在x轴上，
当点 在点A的左侧时，点C的坐标为： ，当点 在点A的右侧时，点C的坐标为： ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： 或 ．
13. __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简各项再计算即可．
【详解】原式
，
故答案为： ．
14. 若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，由 可得 ，平方后整理得 ，再
整体代入求值即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′
重合，AE为折痕，则 _______．
【答案】1.5
【解析】
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵将△ABC折叠得△AB′E
∴AB′＝AB，B′E＝BE
∴B′C＝5－3＝2
设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x
在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2
∴（4－x）2＝x2＋22
解得
故答案为：1.5
16. 已知CD是 ABC的边AB上的高，若CD= ，AD=1，AB=2AC，则BC的长为_____．
△
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 或
【解析】
【分析】分两种情况： ABC是锐角三角形， ABC是钝角三角形，分别画出符合条件的图形，然后分别
根据勾股定理计算AC和△BC即可． △
【详解】分两种情况：
当 是锐角三角形，如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵CD= ，AD=1，
∴AC=2，
∵AB=2AC，
∴AB=4，
∴BD=4-1=3，
∴BC ；
当 是钝角三角形，如图2，
同理得：AC=2，AB=4，
∴BC= ；
综上所述，BC的长为 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟
练掌握，运用分类讨论思想进行解答是关键.
三、解答题（共52分，第17、18、19、20、21、22题每题6分，第23、24每题8分）解答
应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简算术平方根，运算求解；
（2）应用平方差公式简化运算求解．
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【点睛】本题考查实数的运算，灵活运用公式是解题的关键．
18. 因式分解：
（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解；
（1）先提公因式再用完全平方公式分解即可；
（2）先提公因式再用平方差公式分解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
19. 先化简 ，然后从 ， ，0，1，2中，选择一个合适的数代入求值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值
代入即可求出答案．
【详解】原式
，
由分式有意义的条件可知：a不能取 ，0，1， ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴原式 ．
20. 如图，四边形 中， ， 于点F，交 于点E，连接 ，
平分 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，运用 证得
是解题的关键．
（1）直接运用角平分线的性质定理即可证明结论；
（2）先证明 可得 ，即 ，最后根据线段的和差即可解答．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ．
∵ 于点F， 平分 ，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ 于点F，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
21. 如图,在等腰Rt△ABC中,∠CAB=90°,P是△ABC内一点,且PA=1,PB=3,PC= .求:∠CPA的大小
【答案】∠CPA=135°
【解析】
【分析】由于△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，则把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C，连
PP′，根据旋转的性质得到∠P′AP=90°，P′A=PA=1，P′C=PB=3，得到△PAP′为等腰直角三角形，根据等腰
直角三角形的性质得P′P= PA= ，∠APP′=45°，在△P′PC中，可得到PC2+P′P2=P′C2，根据勾股定理
的逆定理得到△P′PC为直角三角形，∠CPP′=90°，利用∠CPA=∠CPP′+∠APP′进行计算即可．
【详解】∵△ABC为等腰直角三角形,AB=AC,
∴把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C,连PP′，如图，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠P′AP=90°,P′A=PA=1,P′C=PB=3，
∴△PAP′为等腰直角三角形，
∴P′P= PA= ,∠APP′=45°，
在△P′PC中,P′C=3,P′P= ,PC= ，
∵ ，
∴PC2+P′P2=P′C2，
∴△P′PC为直角三角形,∠CPP′=90°，
∴∠CPA=∠CPP′+∠APP′=90°+45°=135°.
【点睛】本题考查旋转的性质, 勾股定理的逆定理, 等腰直角三角形.本题所给的三条线段的长度，要利用
已知线段求出角的度数找不到任何联系，所以本题通过旋转建立了它们之间的联系，从而问题迎刃而解.
22. 观 察 ， 思 考 ， 解 答 ： ， 反 之 ，
，即 ．所以 ．
（1）仿照上列，化简 ；
（2）已知 ，求 值．（结果需化为最简的二次根式）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的
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学科网（北京）股份有限公司例题解答问题．
（1）根据题目中的例题可以解答本题；
（2）根据题目中的例题，可以将 变形，然后再将分式进行化简，代入求值即可．
【小问1详解】
解： ；
故答案为： ．
【
小问2详解】
解： ，
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学科网（北京）股份有限公司．
23. 已知 ， ，直线 是过点 的一条动直线（不与直线 ， 重合），分别过
点 ， 作直线 的垂线，垂足为 ， ．
（1）如图1，当 时，
①求证： ；
②连接 ，过点 作 于 ，过点 作 交 的延长线于点 ．依题意补全图形，
用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并证明；
（2）在直线 运动的过程中，若 的最大值为3，直接写出 的长．
【答案】（1）①见解析，②
（2）当 最大值为3时， 的值为
的
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，二次函数性质的运用，勾股定理等；
（1）①先证明 ，可得： ， ，由 ，运用等量代
换即可得出答案；
②补全图形如图 2 所示，先证明 ，得出 ，再由勾股定理可得：
，运用等量代换即可得出答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由于 ，设 ，由勾股定理得 ，当 最大时， 最小，
的值最小，又 ，运用二次函数的最值即可得出答
案．
【小问1详解】
① ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，
， ，
，
；
②补全图形如图2所示， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
∵ ，
，
，
，
， ，
，
由①知： ，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
；
【小问2详解】
设 ，
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学科网（北京）股份有限公司的最大值为3，
，
，当 最大时， 最小， 的值最小，
，
，
有最小值 ，
当 的最大值为3时， 的值为 ．
24. 在平面直角坐标系 中，直线 过原点且经过第三、第一象限， 与 轴所夹锐角为 ．对于点
和 轴上的两点 ， ，给出如下定义：记点 关于直线 的对称点为 ，若点 的纵坐标为正数，且
为等边三角形，则称点 为 ， 的 点．
（1） 如图1，若点 ， ，点 为 ， 的 点，连接 ， ．
① °；
②求点 坐标．
（2）已知点 ， ．
①当 时，点 为 ， 的 点，且点 的横坐标为 ，则 ；
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学科网（北京）股份有限公司②当 时，点 为 ， 的 点，且点 的横坐标为2，则 ．
【答案】（1）①30；②
（2）①6；② 或
【解析】
【分析】（1）①设点 为第一象限内 上一点，得出 与 轴的夹角为 ,即 ，则
即可得出 ；
②过点 作 轴于A，过点 作 轴于 ，证明 ．根据 是等
边三角形，点 ，点 ，得出 ，即可求解；
（2）①延长 交 于点 ，连接 交 轴于 ，过点 作 轴于 ，根据定义得出 是
等边三角形，证明 轴，得出 ，分别求得 ，解方程，即可得出 ；
②当 时，点 在点 的右侧，如图所示，过点 作 轴于A，过点 作 轴于 ，设
关于 的对称点为 ，则 ，根据含 度角的直角三角形的性质得出 ；
当 时，点 在点 的左侧，根据 ，解方程，即可求解．
【小问1详解】
①解：如图所示， 设点 为第一象限内 上一点，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 为等边三角形， ， ，则 ，
, ，
∵点 为 ， 的 点，
的
∴ 与 轴 夹角为 ,即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：30；
②解：过点 作 轴于A，过点 作 轴于 ，
，
点 为线段 的 点，
， ， ．
．
在 和 中，
．
， ，
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学科网（北京）股份有限公司是等边三角形， ， ，
，
，
，
， ，
点坐标为 ．
【小问2详解】
解：①如图所示，延长 交 于点 ，连接 交 轴于A，过点 作 轴于 ，
∵点 为 ， 的 点，
∴ ，
则 是等边三角形，
过点 作 轴于点 ，则 ，
∴
∵ 关于 对称，
∴ ，则 ，
∴ 轴，
∵点 的横坐标为 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，则 ，
∵ ， ， 则
，
∴
解得：
故答案为： ．
②当 时，点 ，
当 时，点 在点 的右侧，如图所示，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，设A
关于 的对称点为 ，则 ，
∵ , ， ，则 ( )
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，点 在点 的左侧，
同理可得 ， ，则 ，
∴ ，
解得： ，
综上所述， 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角
和定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是
解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司
