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初二下数学开学适应性练习
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. 5，12，14 D. 1，1，2
【答案】B
【解析】
【分析】先求出较小两边的平方和，再求出最长边的平方，判断是否相等即可．
【详解】解：A．∵22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵62+82＝102，∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵52+122≠142，∴5，12，14为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵12+12≠22，∴以1，1，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理 的逆定理，能熟记勾股定理逆定理的内容是解题关键，注意：如果一个
三角形的两边 的平方和等于第三边的平方，即 ，那么这个三角形是直角三角形．
2. 下列化简正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可逐一判断结论．
【详解】解：A． ，选项的运算结果不正确，不符合题意；
B． ，选项的运算结果正确，符合题意；
C． ，选项的运算结果不正确，不符合题意；
D． ，选项的运算结果不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质及化简，合并同类二次根式，解题的关键是掌握相应的运算法则．
3. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 6 B. 5 C. 11 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面积＝a的面积＋c的面积．
【详解】解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CE，∠ACD=90°；
∴∠ACB＋∠ECD＝90°，
∵∠DEC＋∠ECD＝90°，
∴∠ACB＝∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
∵
∴△ABC≌△CDE
∴BC＝DE
∵
∴
∴b的面积为 ，a的面积为 ，c的面积为
∴b的面积＝a的面积＋c的面积=11+5=16
故选D．
【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
4. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可
能是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长.
【详解】根据题意可得图形：
AB=12cm，BC=9cm，
在Rt△ABC中：AC= =15（cm），
则这只铅笔的长度大于15cm．
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键．
5. 下列命题的逆命题是真命题的为（ ）
A. 若 ，则 B. 如果 ，那么
C. 对顶角相等 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题；分别写出原命题的
逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：A、若 ，则 ，则的逆命题是若 ，则 ，逆命题是假命题，不符合题
意；
B、如果 ，那么 ，逆命题是如果 ，那么 ，逆命题是真命题，符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
D、若 ， ，则 的逆命题是若 ，则 ， ，逆命题是假命题，不符合题
意；
故选：B．
6. 若 是整数，则满足条件的自然数n共有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了对二次根式的定义的应用，关键是能根据已知求出 n．根据二次根式的意义求出
，在此范围内要使 是整数，n只能是3或8或11或12，求出即可．
【
详解】解：∵要使 有意义；
必须 ，解得 ；
∵ 是整数；
∴n只能是3或8或11或12；
∴满足条件的n有4个
故选：D．
7. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min
到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可
能是( )
A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60°
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图，根据题意得OA=40×15=600，OB=40×20=800，
因为6002=360000，8002=640000，10002=1000000，360000+640000=1000000.
所以6002+8002=10002.
所以∠AOB=∠AOB=90°，所以∠BOS=∠B′ON=60°，所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°.
故选C.
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学科网（北京）股份有限公司8. 船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到
两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点
是网格线交点，当船航行到点 的位置时，此时与两个灯塔 间的角度（
的大小）一定无触礁危险.那么，对于 四个位置，船处于___________时，也一定无触
礁危险.（ ）
A. 位置 B. 位置 C. 位置 D. 位置
【答案】B
【解析】
【分析】先利用格点找出 的外接圆的圆心，再判断哪个点在 的外接圆上即可．
【详解】解：如图，
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学科网（北京）股份有限公司由网格可知，点O是 和 垂直平分线的交点，
即点O是 的外接圆的圆心，
，
点M在 的外接圆上，
，
船处于位置B时，也一定无触礁危险，
故选B．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出
的外接圆的圆心，二是掌握同弧所对的圆周角相等．
二、填空题（每小题4分，共32分）
9. 已知二次根式满足条件“只含有字母x，且当 时有意义”，请写出一个这样的二次根式______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，满足 构造被开方数为非负数的二次根式即可．
【详解】解：∵二次根式满足条件“只含有字母x，且当 时有意义”，
∴这个二次根式可以为 ；
故答案为：
10. 如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是 时，有人为了抄近道而避开路的拐角
，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路 .某学习实践小组通过测量可知， 的长
约为6米， 的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A， 处设立“踏破青白可惜，多行数
步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行______米．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】4
【解析】
【分析】根据题意利用勾股定理得出 ，再由线段的和差求解即可．
【详解】解： ， 的长约为6米， 的长约为8米，
∵
米，
∴
米，
∴
多行4米，
∴故答案为：4．
【点睛】本题主要考查勾股定理 的应用，理解题意是解题关键．
11. 已知 ，则 的平方根是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，利用二次根式的意义解题是解题的关键．
根据二次根式的意义得 ，解得 ，进一步得到 ，再利用平方根的定义，即得答案．
【详解】由题意，得 ，
解得 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司即 的平方根是 ．
故答案为: ．
12. 计算： ______； ______； ______．
【答案】 ①. ②. ③. 6
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和除法法则是解决问题的关键；①先
把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；②根据二次根式的除法法则运算；③根据平方差公式运
算即可．
【详解】解： ；
；
；
故答案为： ， ，6．
13. 如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走 ，又往北走 ，遇到障碍后又往西走
，再折回向北走到 处往东一拐，仅走 就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的
距离是_________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先求得 点到 点的水平距离，再求得垂直距离，进而根据勾股定理即可求解．
【详解】根据题意， 点到 点的水平距离为 ，
点到 点的垂直距离为 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意分别求得水平距离和垂直距离是解题的关键．
的
14. 如图，小正方形边长为1，连接小正方形 三个顶点，可得 ，则 边上的高是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出 ，根据三角形面积公式和网格的特点求出
的面积，利用面积相等，即可得到答案．此题考查了勾股定理、网格中求三角形的面积等知识，熟练掌握
等积法是解题的关键．
【详解】由图形，根据勾股定理可得 ，
设 边上的高是h，
则 ， ，
∴ ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
15. 我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．“赵爽弦
图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角
边分别是2和4，则中间小正方形的面积占大正方形面积的________．
【答案】
【解析】
【分析】设直角边分别为 ， ，根据勾股定理得到斜边平方，即可得到大正方形的面积，减去4
个三角形的面积即可得到小正方形面积，即可得到答案；
【详解】解：如图， ，
由勾股定理知， ，
所以大正方形的面积为 ，
所以中间小正方形的面积为： ，
所以 ，
所以中间小正方形的面积占大正方形面积的 ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理得到大正方形的面积．
16. 已知 中， ，若 ， ，则 的面积为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式变形、三角形面积等，解题的关键是对代数式作恰当的变形，
使其能够求得三角形的面积．
根据勾股定理及已知条件列出三角形三边之间的关系，然后作适当的恒等变换求得三角形的面积．
【详解】如图．
根据勾股定理得： ．
∵ ，
∴
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为：8．
三、解答题（共36分）
17. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋
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学科网（北京）股份有限公司千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千 静止的时
候，踏板离地高一尺（ 尺），将它往前推进两步（ 尺， 于 ），此时踏板升高
离地五尺（ 尺），求秋千绳索（ 或 ）的长度．
【答案】秋千绳索的长度为14.5尺．
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设 尺，用 表示
出 的长，在直角三角形 中，利用勾股定理列出关于 的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设 尺，
尺， 尺，
（尺 ， 尺，
在 中， 尺， 尺， 尺，
根据勾股定理得： ，
整理得： ，
即 ，
解得： ，
则秋千绳索的长度为14.5尺．
18. 如图，四边形 中， ，过点A作 于点E，点E恰好是 的中点，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ．
（1）直接写出 的长为______；
（2）求 的长．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解
题的关键；
（1）由含30度角直角三角形的性质及勾股定理即可求出答案；
（2）过点D作 ，交 的延长线于点F，连接 ，求出 ，证明
，求出 ，由勾股定理可得出答案．
【小问1详解】
解：∵ ；
∴ ；
∵ ；
∴ ；
∴ ；
故答案为：3．
【小问2详解】
过点D作 ，交 的延长线于点F，连接 ；
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，E为 的中点；
∴ ；
∴ ；
∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ．
19. 定义：在 ，若 ， ， ，a，b，c满足 则称这个三角形为“和
谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题；
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图1，若等腰 是“和谐勾股三角形”，其中 ， ，求 的度数；
（3）如图2，在三角形 中， ，且 ．
①当 时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被
分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由；
②请证明 为“和谐勾股三角形”
【答案】（1）假； （2） ；
（3）①见解析；②见解析．
【解析】
【分析】（1）先假设 是和谐勾股三角形，得出 ，再由勾股定理得 ，
即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；
（2）由“和谐勾股三角形”定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；
②先求出 ， ， ， ，
，在 与 利用勾股定理分别求 ，建立方程即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图1，假设 是和谐勾股三角形，
∴ ，
在 中， ，根据勾股定理，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴等腰直角三角形是和谐勾股三角形，
即原命题 是假命题，
故答案为：假；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ， ，
∵ 是和谐勾股三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
【小问3详解】
①在 中， ， ，
∴ ，
根据三角形的内角和定理得， ，
∵把这个三角形分成两个等腰三角形，
当射线经过点C，
（Ⅰ）当 时，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
，
∴ 不是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅱ）当 时，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 不是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅲ）当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
即：分割线和顶角标注如图2所示，
当射线经过点B，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；
当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②如图3，在 边上取点D，连接 ，使 ，
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学科网（北京）股份有限公司作 于G，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为“和谐勾股三角形”．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“和谐勾股三角形”，
分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．
20. 如图，在 中， ，过点A作 且 ，点D与点B在 的两侧，连
接 ．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）答案见解析
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质：
（1）根据题意补全图形，即可；
（2）过D作 于点A，交 的延长线于点M，连接 ，则 ，可得 是
等腰直角三角形，从而得到 ， ， ，再证明
，可得 ， ，从而得到 ，然后根据勾股
定理，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，补全图形如下：
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解： ，证明如下：
过D作 于点A，交 的延长线于点M，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司
