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首都师大附中 2024—2025 学年第一学期十月阶段性练习
初三数学
一、单选题
1. 下列图案中，点 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点
对称的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则a的值为（ ）
A. 2 B. C. 2或 D.
3. 如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，若 ， ， ，则 的长为
（ ）
.
A 5 B. 4 C. 3 D. 2
4. 将一元二次方程 通过配方转化为 的形式，下列结果中正确的是（ ）
.
A B. C. D.
5. 如图， ， ， ， 是 上的点， ，下列结论中错误的是（ ）
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A. B. C. D.
6. 如图，在 正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么 所对的圆心角的大小是（ ）
.
A B. C. D.
7. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线．不考虑空气阻
力，足球距离地面的高度y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间x（单位：s）近似满足函数关系
．下表记录了3个时刻的数据，其中 ．
x 3 6 9
y 18 20 m
可推断出足球飞行到最高点时，下列数据中最接近的时刻x是（ ）
A. 4.4 B. 4.6 C. 7.4 D. 7.6
8. 如图， 中， ， ，将 绕 的中点O倾时针旋转 得到
交 于点 交 于点N，给出下面三个结论：
① ；
②点A，C，E，B四点共圆；
③连接 ，则 ．
上述结论中所有正确结论的序号是（ ）
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A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题
的
9. 点 关于原点对称 点的坐标为_______．
10. 将抛物线 向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为 __．
11. 如图，在平面直角坐标系 中， 过原点 ，交 轴， 轴分别于点 ．若点 的坐标为
，则点 的坐标为________．
12. 如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转，得到△ ，连接 ．若
，则 ______ ．
的
13. 如图，点 在圆上， ，点 为 中点， 的值为
________．
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14. 已知直角三角形的直角边为a，b，斜边为c．若 ，则c的最小值为________．
15. 已知 内接于半径为3的 ，若 ，则 ________．
16. 已知点 在抛物线 上．
（1）若 的取值范围是________；
（2）将抛物线上A，B两点之间（含A，B两点）的图象设为G，若直线 与图象G有两个交点，则k
的取值范围是________．
三、解答题
17. 解方程： ．
18. 如图，在边长为1的正方形网格中， 的顶点都在格点上，将 绕点O逆时针旋转一定角
度后，点 落在格点 处．
（1）旋转角为________°；
（2）在图中画出旋转后的 ，其中 分别是 的对应点．
19. 关于x的方程 ．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；
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（2）若该方程有两个实数根 ，且 ，求m的值．
20. 已知：如图， 为锐角三角形．
求作：以 为一边的 ，使 ．
作法：①作 边的垂直平分线 ；
②作 边的垂直平分线 ，与直线 交于点 ；
③以 为圆心， 为半径作 ；
④连接 并延长，交 于点 ，连接 ，
即为所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线， 与 交于点
∴点 ， ， 都在 上
为 的直径
①________°（②________）
（③________）
即为所求作的三角形．
注：②③请填写推理依据．
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21. 如图，点 在 上， ， 平分 ．判断 的形状，并证明
你的结论．
22. 如图， 中， ．点D在射线 上， ．连接 分别过点C，
B作 的垂线，交于点E，连接 ，求 的长．
23. 已知抛物线 （a，b是常数， ）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x 0 1 2 3 …
y 0 m 0 3 …
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出函数图象，直接写出当 时，y的取值范围．
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24. 如图，AB为 的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD， ， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求CD的长．
25. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）若点 在抛物线上，直接写出 的值；
（2）已知 和 是抛物线上的三点．当 时，都有 ，
求a的取值范围．
26. 在 中， 为线段 的中点． 为 外一点， ．
（1）如图1，当 时，求证： 三点共线；
（2）如图2，连接 ，将其绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
①补全图形；
②请用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
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27. 对于平面直角坐标系 中的图形 ，直线 和点 ，给出如下定义：先将图形 沿直线 对称后再
将其绕点 顺时针旋转 ，称该变换为 类变换；先将图形 绕点 顺时针旋转 再沿直线 对称，
称该变换为 类变换；其中，称直线 为“变换直线”，称点 为“变换点”．
（1）如图 ，若“变换直线”为 轴，“变换点”为(0,1)，已知点 ，则点
中，在线段 作 类变换后得到的图形上的点有________；
（2）若“变换直线”为 ，点 作 类变换后与自身重合，求“变换点”的坐标；
（3）若“变换直线”为 ，“变换点”为(2,0)，以点 为圆心作半径为 的 ，已知 轴
上存在点作 类变换和 变换后所得点都在 内，直接写出 的取值范围．
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