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北京市朝阳区 2023~2024 学年度第一学期期末检测
八年级数学试卷（选用）
（考试时间90分钟，满分100分）
一、选择题（共24分，每题3分）下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够完全重合的图形．据此逐个判断即可．
【详解】解：A、B、C均能找到一条直线，使A、B、C沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重
合，故A、B、C是轴对称图形，不符合题意；
D不能找到一条直线，使D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故D不是轴对称图形，符
合题意；
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算和合并同类项，解题关键是熟练运用法则进行准确计算．根据幂的运算和合
并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A． ，正确，符合题意；
B． ，原选项错误，不符合题意；
C． ，原选项错误，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司D． ，不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
3. 2023年5月20日是第24个世界计量日，在湖北省武汉市举办了世界计量日中国主场活动，会上发布了
四个国际单位制新词头的中文名称：容、柔，昆、亏，容表示的数值为 ，柔表示的数值为 ，昆
表示的数值为 ，亏表示的数值为 ，一个电子的质量约为 克，可以表示为（ ）
A. 91柔克 B. 柔克 C. 91亏克 D. 亏克
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
【详解】解： 克 克 柔克 亏克．
故选：B．
4. 下列多项式中，完全平方式有（ ）个
， ， ，
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据完全平方式的性质： ，可得出答案．
【详解】解： ，是完全平方公式，
， ， ，不是完全平方公式，
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的形式，找出公式中的 和 是解题的关键．
5. 右图中的两个三角形全等，则 等于（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
先根据三角形内角和为 求出 的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出 的度数即可．
【详解】解：如下图，
由三角形内角和定理得 ，
由全等三角形的性质可得 ．
故选：D．
6. 如图，点P在 的内部，点C，D分别在 ， 上，且 ，只添加一个条件即可证明
和 全等，这个条件不可以是（ ）
A. B. 平分
C. 平分 D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A、 ，可根据 判定 ，故A不符合题意；
B、 平分 ，可根据 判定 ，故B不符合题意
C、 平分 ，不能判定 ，故C不符合题意；
D、 ，可根据 判定 ，故D不符合题意．
故选：C．
7. 在平面直角坐标系 中，点 经过某些运动得到点 ，对于点A的运动描述正确
的是（ ）
A. 向下平移7个单位长度
B. 向右平移5个单位长度
C. 先向上平移7个单位长度，再关于x轴作轴对称
D. 先关于x轴作轴对称，再向下平移5个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，轴对称，根据点A平移，轴对称后的点的坐标逐一判断即可．
【详解】解：A、 向下平移7个单位长度的坐标为 ，不符合题意；
B、 向右平移5个单位长度的坐标为 ，不符合题意；
C、 先向上平移7个单位长度，再关于x轴作轴对称坐标 ，符合题意；
D、 先关于x轴作轴对称，再向下平移5个单位长度的坐标 ，不符合题意．
故选：C．
8. 已知 的三边长分别为a，b，c，且 ，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形
的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
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学科网（北京）股份有限公司C. ， ， D. ， ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，
即 ，
故A能形成三角形
B 、∵ ，
∴ ，
故B能形成三角形
C、∵
不确定，故不能确定 与 的关系．
故 ， ， 不一定能组成三角形．符合题意，
D、∵
∴ ， ，
∵
故D能形成三角形．
故选C．
二、填空题（共24分，每题3分）
9. 分解因式： =___________________________．
【答案】 ．
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【详解】原式= = ．
故答案为 ．
10. 当 ______时，分式 的值为0.
【答案】=-1
【解析】
【分析】令分子=0，且分母≠0求解即可.
【详解】由题意得
x+1=0，且x-1≠0，
解之得
x=-1.
故答案为=-1.
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②
分母的值不为0，这两个条件缺一不可.
11. 下图中x的值是______．
【答案】60
【解析】
【分析】利用三角形的外角的性质，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由图可知： ，
解得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解题的
关键．
12. 如图，在四边形 中， ， ， ，若 平分 ，则四边形
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学科网（北京）股份有限公司的面积为_______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，理解并掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点 作
，交 延长线于点 ，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得 ，
然后由四边形 的面积 求解，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点 作 ，交 延长线于点 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴四边形 的面积
．
故答案为：20．
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学科网（北京）股份有限公司13. 如图，在平面直角坐标系 中， 的斜边 在x轴上， ，若点A的横坐标为
1，则点B的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度
角所对的边是斜边的一半．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，先得出 ，则 ，
进而得出 ，即可解答．
【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为点C，
∵ 中 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点A的横坐标为1，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点B的坐标为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
14. 若分式 的值为整数，则 的整数值为_______．
【答案】0或 ## 或0
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定 的值是解题关键．根据
题意，若分式 的值为整数，则 或 或 ，
然后分别求解，即可确定 的整数值．
【详解】解：若分式 的值为整数，
则 或 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司若 取整数，
则 的整数值为0或 ．
故答案为：0或 ．
15. 在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为 的凸多边形纸片，则n的值为
______．
【答案】5或6或7
【解析】
【分析】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．
设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有 ，解出方程就可以得
到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多
边形的边数．
【详解】解：设内角和为 的多边形的边数为n，则 ，
解得 ，
即得到的多边形是6边形，
当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形，
当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：
①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形；
②不过多边形的顶点，则原来的是5边形，
综上所述，原多边形的边数为5或6或7，
故答案为：5或6或7．
16. 在 中， ，D，E是 边上的两点，且 ，有下列四个推断：①若 是
的高，则 可能是 的中线；②若 是 的中线，则 不可能是 的高；③
若 是 的角平分线，则 可能是 的中线；④若 是 的高，则 不可能是
的角平分线．上述推断中，所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②③
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了三角形的高线，中线，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴①若 是 的高，则 可能是 的中线正确，
② 是 的中线，则 不可能是 的高正确，
③若 是 的角平分线，则 可能是 的中线正确，
④若 是 的高，则 可能是 的角平分线．
故答案为①②③
三、解答题（共52分，第17-23题，每题5分，第24题4分，第25题6分，第26题7分）
.
17 计算： ．
【答案】0
【解析】
【分析】先计算同底数幂的乘法、积的乘方，再计算同底数幂的除法，最后进行合并同类项即可，此题考
查了同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，多项式与多项式相乘．根据完全平方公式，多项式与多项式相乘的法
则计算即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司．
19. 解分式方程：
【答案】
【解析】
【分析】首先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得出x的值，最后进一步经检验
得出答案即可．
【详解】解：将方程左右两边同时乘以： 得：
，
解得： ，
检验：当 时， ．
∴原方程的解是 ．
【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，熟练掌握相关方法是解题关键．
20. 化简： ，并选择一个适当的 的值代入求值．
【答案】 ，2（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值、分式有意义的条件、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌
握分式运算法则是解题关键．
首先根据分式的运算法则进行运算求解，然后根据分式有意义的条件可知 且 且 ，最后将
代入求值即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司，
∵ 且 且 ，
∴ 且 且 ，
∴可取 ，
此时，原式 ．
21. 已知：如图， 是等边三角形，D是 上一点， ， ，求证：
是等边三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，先由等边
三角形的性质得到 ， ，则由平行线的性质可得 ，
据此证明 得到 ，即可证明 是等边三角形．
【详解】证明： 是等边三角形，
， ．
，
．
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学科网（北京）股份有限公司．
，
．
．
是等边三角形．
为
22. 如图，在锐角三角形 中，D 边上一点， ，在 上求作一点P，
使得 ．
（1）通过尺规作图确定点P的位置（保留作图痕迹）；
（2）证明满足此作图的点P即为所求．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的尺
规作图．
（1）作线段 的垂直平分线，与 的交点即为点P．
（2）根据等腰三角形性质，求出 ，然后得出 即可．
【小问1详解】
解，如图所示，作线段 的垂直平分线，与 的交点即为点P
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：由作图可知 ．
．
，
．
， ，
．
点P即为所求．
23. 某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的 3
倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快 分钟，求测试者使用
语音输入平均每分钟输入多少个单词．
【答案】求测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词．
【解析】
【分析】考查了分式方程的应用，解题的关键是能够找到等量关系并依照等量关系列出方程求解．
【详解】解：设测试者使用键盘输入平均每分钟输入x个单词，则使用语音输入平均每分钟输入 个单词．
由题意，得 ．
解得 ．
经检验， 是原分式方程 的解，且符合题意．
所以 ．
答：测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词．
24. 下面是一些方程和它们的解．
的解为 ， ；
的解为 ， ；
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学科网（北京）股份有限公司的解为 ， ；
……
根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：
（1） 的解为_______；
（2）关于x的方程 的解为_______；
（3）关于x的方程 的解为_______．
【答案】24. ， ；
25. ， ；
26. ， ．
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程．
（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
【小问1详解】
解：猜想关于x的方程 的解是 ；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：猜想关于x的方程 的解是 ， ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ， ；
【小问3详解】
解：方程变形得： ，
∴ ，
可得 或 ，
解得： ， ．
25. 如图，在 中，D是 上一点（不与点B，C重合），将 沿直线 翻折得到 ，将
平移得到 （点B与点E为对应点），连接 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若在点D的运动过程中，始终有 ，写出 需要满足的条件，并证明．
【答案】（1）见解析；
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学科网（北京）股份有限公司（2）条件为 ，证明见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键．
（1）通过折叠和平移得到 ， ， ，然后证明 即可．
（2）根据（1）的证明，推断出 即可．
【小问1详解】
解： 将 沿直线 翻折得到 ，
， ．
将 平移得到 （点B与点E为对应点），
， ．
．
．
．
【小问2详解】
解： 需要满足的条件为 ．
证明：此时图形如图所示．
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学科网（北京）股份有限公司由（1）可知
， ．
，
， ．
，
．
．
．
．
26. 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水
进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，
请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用
一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称
重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，
拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ，在多次实验后，通过对收集的数据进
行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后
的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣
服中存有的污物是原来的______；
方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的
______．
实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．
推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留 斤污水，现用
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学科网（北京）股份有限公司斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论．
【答案】数据计算： ， ， ；实验结论：三；推广证明：见解析
【解析】
【分析】本题考查分式的实际应用：
数据计算：把一件存留1斤污水的衣服用x斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存
有的污物是原来的 ，由此可解；
实验结论：根据前一问结论，比较大小即可；
推广证明：用含x，a，m的式子表示出进行漂洗后衣服中存有污物与原有污物的比，利用分式的性质将分
子化为相同，比较分母的大小即可．
【详解】解：数据计算：
方案一，漂洗后衣服中存有 的污物是原来的 ，
方案二，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ，
方案三，漂洗后衣服中存有 污物是原来的 ，
的
故答案为： ， ， ；
实验结论：
，
方案三的漂洗效果最好，
故答案为：三；
推广证明：
依题意可得，
选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的 ，可化为 ；
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学科网（北京）股份有限公司选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的 ，整理得 ；
选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的 ，整理得 ；
因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同，
所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小，
因为 ，且 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即方案二比方案一的漂洗效果好，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即方案三比方案二的漂洗效果好，
综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好．
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学科网（北京）股份有限公司
