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21.1 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的定义
1．（2025春•浙江期中）下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．x+2y＝4 B．3x＝4 C．x＝2x3+6 D．x2﹣2＝9
2．（2024秋•西安期末）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．±❑√3
3．（2025春•高新区校级月考）（m﹣3）x2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．m≠3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1
知识点2 一元二次方程的一般形式
4．（2025春•莱西市期中）将一元二次方程x2﹣2x＝6化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常
数项分别是（ ）
A．1，2，6 B．1，﹣2，6 C．1，﹣2，﹣6 D．1，2，﹣6
5．（2025春•淄川区期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值为（
）
A．1 B．﹣1 C．2 D．±1
6．（2024秋•临高县期末）把一元二次方程（x+3）（x﹣5）＝2化成一般形式，得（ ）
A．x2+2x﹣17＝0 B．x2﹣8x﹣17＝0
C．x2﹣2x＝17 D．x2﹣2x﹣17＝0
7．（2024秋•扎兰屯市期末）将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一
次项系数为 ．
8．（2024秋•新会区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣2a+1＝0，若一次项系数与常数项相
等，则a的值为 ．
知识点3 一元二次方程的根（解）
9．（2025春•浙江期中）若m是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则代数式2025+2m2﹣4m的值为 ．
10．（2025•鹤山市一模）若x＝1是方程2x2﹣3x+5﹣a＝0的根，则a的值是 ．
11．（2025春•蓬莱区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2025，则关于y
的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）1 1
A．2025 B．﹣2025 C． D．−
2025 2025
12．（2024秋•凤城市期中）已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程
﹣ax2+bx+2＝0的解是（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 …
A．x ＝0，x ＝1 B．x ＝﹣1，x ＝2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2，x ＝2 D．x ＝﹣1，x ＝﹣2
1 2 1 2
知识点4 建立一元二次方程模型
13．（2024秋•江宁区校级月考）如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子
路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为x m，则下面所列方程正确的是（
）
A．（16﹣x）（8﹣x）+x2＝105 B．（16﹣x）（8﹣x）＝105
C．（16﹣2x）（8﹣x）+x2＝105 D．（16﹣2x）（8﹣x）＝105
14．（2023秋•平山县期末）10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的 6块
金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），
比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
1
A． x(x−1)=380 B．x（x﹣1）＝380
2
C．2x（x﹣1）＝380 D．x2＝380
【易错警示】
易错点：忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错。
15．（2021秋•湖口县期中）如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，有一个解是0，那么m
的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3{ a+b+c=0 )
16．（2024春•乳山市期末）若a，b，c满足 ，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的
4a−2b+c=0
两个根的平方和是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
17．（2022春•丰泽区校级期末）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如 x（x+5）＝24的方程的
正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于
11−5
是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x= =3．小明
2
按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的
面积为4，则方程的正数解为（ ）
3
A．❑√3−1 B．❑√3+1 C． D．❑√5−1
2
18．（2023春•瑶海区期中）关于x的方程a（x+k）2+2023＝0的解是x ＝﹣2，x ＝1（a、k、b均为常数，
1 2
a≠0）．
问题：
（1）关于x的方程a（x+k+2）2+2023＝0的根是 ；
（2）关于x的方程a（x﹣k+2）2+2023＝0的根为 ．
19．（2024秋•鼓楼区期中）若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是 ﹣ 2 ．
20．（2023•拱墅区三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作
Rt△ABC，BC＝1，再以A为圆心，AB为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别
表示m和n，我发现x＝m是一元二次方程x2+bx﹣4＝0的一个根，琮琮说x＝n一定不是此方程的根．
（1）写出m与n表示的数
（2）求出b的值
（3）你认为琮琮说得对吗？为什么？21．（2021秋•镇江期末）【阅读】
小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x ＝
1
﹣3，x ＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明
2
同学的具体做法．
解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，则方程可变形为a（y+m）2+b＝0，
根据关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x ＝﹣3，x ＝2，
1 2
可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y ＝﹣3，y ＝2．
1 2
把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，
所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x ＝﹣4，x ＝1．
1 2
【理解】
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n．
（1）关于x的方程ax+b❑√x+c＝0（a≠0）的两根分别是 （用含有m、n的代数式表示）；
（2）方程 的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
【猜想与证明】
观察下表中每个方程的解的特点：
方程 方程的解 方程 方程的解
x2+4x+3＝0 x ＝﹣3，x ＝﹣1 3x2+4x+1＝0 1
1 2 x =− ，x =−1
1 3 2
2x2﹣7x+3＝0 1 3x2﹣7x+2＝0 1
x = ，x =3 x ＝2，x =
1 2 2 1 2 3
x2﹣2x﹣8＝0 x ＝4，x ＝﹣2 8x2+2x﹣1＝0 1 1
1 2 x = ，x =−
1 4 2 2
… … … …
（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 的两个根互为倒
数；
（2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．
