文档内容
北京市北京师范大学亚太实验学校 2021-2022 学年上学期初中七年级
期中考试数学试卷
本次考试满分100分，考试时间100分钟．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 5G 是第五代移动通信技术，5G 网络理论下载速度可以达到每1300000KB 以上，这意 味着下载一部
高清电影只需要 1 秒．将 1300000 用科学记数法表示应为（ ）
A. 13×105 B. 1.3×105 C. 1.3×106 D. 1.3×107
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大数时的形式为 ，其中 ，n为正整数，确定a的值时，把
小数点放在原数从左起第一个不是0的数字后面即可，确定n的值时，n比这个数的整数位数小1．
【详解】解： ，1300000整数位数是7位，所以
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的变化形式是解题的关键．
2. 已知代数式 与3x2y是同类项，则a+b的值为( )
A. 2 B. 4 C. 3 D. 1
【2题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】先根据同类项的定义得出关于a、b的方程，再解方程即可求出a、b的值，然后代入所求式子计
算即可.
【详解】解：∵ 与3x2y是同类项，∴b=2，a－1=1，解得：a=2，b=2，
∴a+b=2+2=4.
故选：B.【点睛】本题考查了同类项的概念，属于基础概念题，熟知同类项的定义是解题关键.
3. 若 ，则 的值为（ ）
A. 5 B. 1 C. 1 D. 5
【3题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值以及偶次方的非负性求出 的值即可得出结果．
详解】解：∵ ，
【
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及偶次方的非负性，有理数加法，根据题意得出 的值是解本题
的关键．
4. 如果关于 的方程 的解集是 ，那么 的值是（ ）
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
【4题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】把x=-1代入原方程，得到一个关于a的方程，再解一元一次方程即可.
【详解】解：把x=-1代入原方程得出：-1+2a-3=0
解关于a的方程得出：a=2.
故答案为：D.
【点睛】本题考查的知识点是解一元一次方程，熟记解方程的一般步骤是解题的关键.
5. 有理数－32，（－3）2，|－33|，－ 按从小到大的顺序排列是（ ）A.
B.
C.
D.
【5题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析： =－9； =9； =27；则 ．
故选：C．
考点：有理数的乘方计算，有理数的大小比较．
6. 下列说法中正确的是（ ）
A. 的系数是 B. 多项式 是三次三项式
C. 多项式 的常数项为4 D. 的次数是4
【6题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义可解决此题．
【详解】A．根据单项式系数的定义，得 的系数为 ，A不符合题意．
B．根据多项式的次数以及项数的定义，多项式5x2-2x+4为两次三项式， B不符合题意．C．根据多项式的定义，得 含 、2这两项，常数项为2，C不符合题意．
D．根据单项式次数的定义，得-5a3b的次数为4，那么D符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义，熟练掌握单项
式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义是解决本题的关键．
7. 点 ， ， 和原点 在数轴上的位置如图所示：点 ， ， 对应的有理数为 ， ， (对应
顺序暂不确定)．如果 ， ， ．那么表示数 的点为（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【7题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴和ab＜0，a＋b＞0，ac＞bc，可以判断a、b、c对应哪一个点，从而可以解答本题．
【详解】∵ab＜0，a＋b＞0，
∴数a表示点M，数b表示点P或数b表示点M，数a表示点P，则数c表示点N，
∴由数轴可得，c＞0，
又∵ac＞bc，
∴a＞b，
∴数b表示点M，数a表示点P，
即表示数b的点为M．
故选：A．
【点睛】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点能根据题目中的信息，判断各个数在数轴上对应哪
一个点．
8. 大家喜欢玩的幻方游戏，老师精加创新改成了“幻圆”游戏，现在将-1，2，-3，4，-5，6，- 7，8分别
填入如图所示的四圈内，使横、整以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部
分填空，则 的值为（ ）A. -8或1 B. -1或1
C. -1或4 D. -6或-3
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论．
【详解】设小圈上的数为c，大圈上的数为d，
−1＋2−3＋4−5＋6−7＋8＝4，
∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，
则−7＋6＋b＋8＝2，得b＝−5，
6＋4＋b＋c＝2，得c＝−3，
a＋c＋4＋d＝2，a＋d＝1，
∵当a＝−1时，d＝2，则a＋b＝−1−5＝−6，
当a＝2时，d＝−1，则a＋b＝2−5＝−3，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 用四舍五入法将0.0586精确到百分位，所得到的近似数为__________．
【9题答案】
【答案】0.06【解析】
【分析】根据精确到某一位，即对下一位的数字进行四舍五入直接进行判断．
【详解】0.0586精确到百分位为0.06
故答案为：0.06．
【点睛】本题考查了近似数的求法，精确到某一位，即对下一位的数字进行四舍五入，还要理解有效数字
的概念．
10. 绝对值大于2.4小于7.1的负整数有_____.
【10题答案】
【答案】-3，-4，-5，-6，-7；
【解析】
【分析】根据题意设出这个数位x，则有2.4＜|x|＜7.1，然后解出x．
【详解】∵绝对值大于2.5小于7.2，可设为x，
∴有2.4＜|x|＜7.1，
∴|x|=3，4，5，6，7，
∴绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为：-3，-4，-5，-6，-7；
故答案为-3，-4，-5，-6，-7；
【点睛】此题考查绝对值的性质，当a＞0时，|a|=a；当a≤0时，|a|=-a，解题的关键是如何根据已知条件，
去掉绝对值．
11. 若代数式 的值为5，则代数式 的值是_______．
【11题答案】
【答案】17
【解析】
【分析】把所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法求解．
【详解】∵ ，
∴ = ，
故答案为：17．
【点睛】此题考查了代数式求值以及代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形
的式子代入即可求出答案．
12. 如果代数式 中不含 项，则 ＝______________．
【12题答案】【答案】
【解析】
【分析】先将代数式化简，再由代数式中不含 项，可得到关于 的方程，即可求解．
【详解】解：
∵代数式 中不含 项，
∴ ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了整式加减的混合运算，以及无关项问题，根据题意得到 是解题的关键．
13. 数轴上点 A 表示的数为 3，距离 A 有 5 个单位的点 B 对应的数为_____．
【13题答案】
【答案】-2或8
【解析】
【分析】设点B对应的数为x，由AB=5可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结
论．
【详解】设点B对应的数为x，根据题意得：|x−3|=5，解得：x=−2,x =8.故答案为−2或8.
1 2
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离和绝对值，解题的关键是数轴上两点间的距离求法和求绝对值.
14. 已知一个长为 ，宽为 的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，按图2
的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是_______. ( 用含 的代数式表示)【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】阴影部分的正方形的边长=小矩形的长-小矩形的宽；
【详解】解：阴影部分的正方形的边长可表示为：3a-a=2a；
故答案为：2a
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减的法则是解题的关键
15. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简代数式： =_______ ．
【15题答案】
【答案】5c+b##b+5c
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即
可．
【详解】由图可知a＜b＜0＜c，
则a+b＜0，c-a＞0，b-c＜0，
∴
∴原式=
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的加减、数轴及绝对值的知识，掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解答本题
的关键．16. 对于正整数 ，定义 ，其中 表示 的首位数字、末位数字的平方和．例
如： ， ．规定 ， （ 为正整
数），例如， ， ．按此定义，则由
__________， ___________．
【16题答案】
【答案】 ①. 16 ②. 58
【解析】
【分析】根据题意分别求出 F （4）到 F （4），通过计算发现，F （4）＝F （4），只需确定
1 8 1 8
即可求解．
【详解】F（4）＝16，F（4）＝F（16）＝12+62=37，
1 2
F（4）＝F（37）＝32+72=58，F（4）＝F（58）＝52+82=89，
3 4
F（4）＝F（89）＝82+92=145，F（4）＝F（145）＝12+52=26，
5 6
F（4）＝F（26）＝22+62=40，F（4）＝F（40）＝42+0=16，…
7 8
通过计算发现，F（4）＝F（4），
1 8
∵2019÷7＝288…3，
∴F （4）＝F（4）＝58；
2019 3
故答案为16，58．
【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
三、计算题(本题共16分，每小题8分)
17. 计算：
（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）-44；（2）-12
【解析】【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可；
（2）先算乘方再算乘除即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查含乘方 的有理数的混合运算，按照混合运算的顺序依次计算是解题的关键．
18. 计算：
（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）26；（2）
【解析】
【分析】（1）先除法变乘法，再用乘法分配律计算即可；
（2）先算括号和绝对值，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式【点睛】本题考查有理数的混合运算，按照混合运算的运算顺序计算是解题的关键，运用乘法分配律可以
让计算更加简单．
四、解答题(本题共52分，第19题8分，第20题10分，第21题12分，第22题、第24-25
题，每小题6分，第23题4分)
19. 化简：
（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）直接合并同类项即可；
（2）先去括号再合并同类项即可．
【详解】（1）
=
=
（2）
=
=
=
【点睛】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键．
20. 解方程（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的顺序计算即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的顺序计算即可．
【详解】（1）
解：
（2）
解：
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟记方程得步骤是解题的关键．解一元一次方程的步骤：去分母、去
括号、移项、合并同类项、系数化1；
21. 化简求值
（1） ，其中 ．（2）已知 ，求 的值．
【21题答案】
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据整式的加减运算法则将原式化简，代入求值即可；
（2）根据 得出 的值，代入求值即可．
【详解】（1） 解：原式=
=
当 ， 时
原式= ；
（2） ，
，
又 ＜0，
∴ ,
，
＞0，
．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
22. 2021年国庆节，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中，某著名
景点，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
人数变化（万人） +3.1 +1.78 -0.58 -0.8 -1 -1.6 -1.15
（1）10月3日的人数为______万人；
（2）七天假期里游客最多的是10月______日，达到______万人；游客人数最少的是10月________日，达
到______万人．
（3）请问此风景区在这八天内一共接待了多少游客?_________；
（4）如果你也打算在下一个国庆节出游此景点，对出行的日期有何建议?
【22题答案】
【答案】（1）5.2，（2）2，5.78，7，0.65；（3）26.13万，（4）最好在十一后几天出行，人数较少．
【解析】
【分析】（1）用9月30日的游客人数加上变化人数即可；
（2）分别求出每天的人数：4，5.78，5.2，4.4，3.4，1.8，0.65，即可求解；
（3）求出每天人数，再求和得：0.9+4+5.78+5.2+4.4+3.4+1.8+0.65＝26.13万人；
（4）最好在十一后几天出行，人数较少．
【详解】解：（1）由题意可知：0.9+3.1+1.78﹣0.58＝5.2万人，
故答案5.2．
（2）10月1日游客：0.9+3.1=4（万人），
10月2日游客：4+1.78=5.78（万人），
10月3日游客：5.78-0.58=5.2（万人），
10月4日游客：5.2-0. 8=4.4（万人），
10月5日游客：4.4-1=3.4（万人），
10月6日游客：3.4-1.6=1.8（万人），
10月7日游客：1.8-1.15=0.65（万人），
由此可知人数最多的是2号，5.78万人，
人数最少的是7号，0.65万人，
故答案为2，5.78，7，0.65；
（3）0.9+4+5.78+5.2+4.4+3.4+1.8+0.65＝26.13万人，
∴此风景区在这八天内一共接待了26.13万游客；
（4）最好在十一后几天出行，人数较少．
【点睛】本题考查正数与负数，有理数的加减；准确理解题意，利用正数负数求出每天的人数是解题的关
键．23. 在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．
（1）仿照图1，在图2中补全672的“竖式”；
（2）仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图3所示．若这个两位数的个位
数字为a，则这个两位数为______________（用含a的代数式表示）．
【23题答案】
【答案】（1）见解析；（2）a +50
【解析】
【分析】（1）观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，
平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2
倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解即可；
（2）设这个两位数的十位数字为b，根据图3，利用十位数字与个位数字的乘积的2倍的关系列出方程用
a表示出b，然后写出即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）设这个两位数的十位数字为b，
由题意得，2ab=10a，
解得b=5，
所以，这个两位数是10×5+a=a+50．
故答案为a+50．
24. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定 ☆ ＝ ．如： ☆ ＝
＝ ．（1）求 ☆ 的值；
（2）若 ☆ ＝ ，求 的值；
（3）若 ☆ ＝ ， ☆ ＝ （其中 为有理数），试比较 的大小．
【24题答案】
【答案】（1）－32 ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据新运算列出算式计算即可；
（2）根据新运算列出方程，解一元一次方程即可；
（3）根据新运算列出算式，合并同类项，把 化为最简的式子，求出它们的差，进而大小可得．
【详解】解：（1） ☆
＝
＝
＝ ；
（2）∵ ☆ ＝ ，
∴ ，
即 ，
解得： ；
（3）∵ ☆ ＝ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ☆ ＝ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则
是解本题的关键．
25. 阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x，x，x，称为数列
1 2 3
x，x，x，计算 ， ， ，将这三个数的最小值称为数列x，x，x 的价值.例如，
1 2 3 1 2 3
对于数列2，-1，3，因为 ， ， ，所以数列2，-1，3的价值为 .
小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数
列-1，2，3的价值为 ；数列3，-1，2的价值为1：…经过研究，小丁发现，对于“2，-1，3”这三个数，
按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为 .根据以上材料，回答下列问题：
(1)数列4，3，-2的价值为______.
(2)将“4，3，-2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，求这些数列的价值的最小值(请写出过
程并作答).
(3)将3，-8，a(a>1)这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列.若这些数列的价值的最小值为1，则
a的值为_______ (直接写出答案).
【25题答案】
【答案】（1） ；（2） ；（3）2或10.
【解析】
【分析】（1）根据题中给出的材料的方法计算出相应的价值即可；（2）按照三个数不同的顺序排列出6
种数列，分别求出数列的价值，确定最小价值；（3）按照三个数不同的顺序排列出6种数列，求出对应的
数值，根据最小价值为1，分情况列出方程求出a值，确定符合题意进行解答.【详解】解：（1）根据题意，
∵ ， ，
∴数列“4，3，-2”的价值为 ；
（2）①数列“4，3，-2”： ∵ ， ，
∴数列“4，3，-2” 的价值为 ；
②数列“4，-2，3”： ∵ ， ，
∴数列“4，-2，3”的价值为1；
③数列“3，4，-2”： ∵ ， ，
∴数列“3，4，-2”的价值为 ；
④数列“3，-2，4”： ∵ ， ，
∴数列“3，-2，4”的价值为 ；
⑤数列“-2，4，3”： ∵ ， ，
∴数列“-2，4，3”的价值为1；
⑥数列“-2，3，4”： ∵ ， ，
∴数列“-2，3，4” 价值为 ；
的
∴这些数列的价值的最小值为 .（3）①数列“3，-8，a”： ， ，
②数列“3，a，-8”： ， ，
③数列“-8，3，a”： ， ，
④数列“-8，a，3”： ， ，
⑤数列“a，3，-8”： ， ，
⑥数列“a，-8，3”： ， ，
∵这些数列的价值的最小值为1，
∴当 时，a=8或2，当a=8时，数列⑥中 =0<1.不符合题意，a=8舍去；
当 时，a=-1或-5，均不符合题意，舍去；
当 时，a=10或6，当a=6时， <1.不符合题意，a=6舍去；
∴a的值为2或10.
【点睛】本题考查数学阅读材料题目，读懂题意熟练掌握新定义式是解题的关键.
四、附加题（共10分，每小题5分）
26. 观察下列两个等式： ， ，给出定义如下：
我们称使等式 成立的一对有理数 ， 为“同生数对”，记为 ，如：数对 ，，都是“同生数对”．
（1）判断数对 ， 是不是“同生数对”，写出过程；
（2）若 是“同生数对”，求 的值；
（3）若 是“同生数对”，则 ______“同生数对”（填“是”或“不是”）；说明理由；
【26题答案】
【答案】（1） 不是同生数对； 是同生数对；见解析；（2） ；（3）是，见解析
【解析】
【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义进行计算即可；
（2）根据“共生有理数对”的定义列出方程，解之即可；
（3）只需要证明 与 是否相等即可判断得到答案.
【详解】解：（1）∵ ， ， ，
∴（-2，1）不是同生数对；
∵ ， ，
故（3， ）是同生数对；
（2）∵（a，3）是同生数对
∴
∴
（3）是．
理由： ， ，
∵ 是“同生数对；”
∴ ，∴ ，
∴ 是“同生数对”．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，掌握“共生有理数对”的定义是解题的关键
27. 阅读下面信息：
①数轴上两点M、N表示数分别为x，x，那么点M与点N之间的距记为|MN|且|MN|＝|x﹣x|．
1 2 1 2
②当数轴上三点A、B、C满足|CA|＝k|CB|（k＞1）时，则称点C是“A对B的k相关点”．例如，当点
A、B、C表示的数分别为0，1，2时，|CA|＝2|CB|，所以C是“A对B的2相关点”．
根据以上信息，回答下列问题：
已知点A、B在数轴上表示的数分别为6和﹣3，动点P在数轴上表示的数为x：
（1）若点P是“A对B的2相关点”，则x＝ ；
（2）若x满足|x+2|+|x﹣1|＝3，且点P是“A对B的k相关点”，则k的取值范围是 ；
（3）若动点P从A点出发以每秒1个单位的速度向左运动，同时动点Q从B点出发以每秒2个单位的速
度向右运动，运动t秒时，点Q恰好是“P对A的2相关点”，求t的值．
【27题答案】
【答案】（1）﹣12或0；（2） ；（3）9或
【解析】
【分析】（1）根据“A对B的k相关点”的定义，分点P在点B左边和点P在A，B之间列方程求解即可；
（2）首先求出|x+2|+|x﹣1|＝3时x的取值范围，再根据点P是“A对B的k相关点”列出相应方程，求出得到
x的不等式组，解出不等式组即可得到k的取值范围；
（3）分别表示出P、Q，根据题意分两种情况列出方程求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得，|PA|＝2|PB|，
情形①：当点P在点B的左边时，则有，6﹣x＝2（﹣3﹣x），解得，x＝﹣12；
情形②：点P在点A，B间，则有，6﹣x＝2（x+3），解得，x＝0；
故答案为：﹣12或0；
（2）∵|x+2|+|x﹣1|＝3，
∴﹣2≤x≤1，
∵点P是“A对B的k相关点”，
∴|6﹣x|＝k|﹣3﹣x|，
∴6﹣x＝k（3+x），∴x＝ ，
∴﹣2≤ ≤1，即：﹣2≤ ≤1，
∴1≤ ≤4，
∵k＞1，
∴k+1≤9，
解得，k≤8，
又4（k+1）≥9，
解得，k≥ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）∵运动t秒后，P表示的数为6﹣t，Q表示的数为﹣3+2t，点Q恰好是“P对A的2相关点”，
∴|QP|＝2|QA|，
∴|﹣3+2t﹣6+t|＝2|﹣3+2t﹣6|，
∴|﹣9+3t|＝2|﹣9+2t|，
∴﹣9+3t＝2（﹣9+2t），或﹣9+3t＝﹣2（﹣9+2t），
解得：t＝9或t＝ ．
【点睛】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题
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