文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京师大附中 2023-2024 学年（上）初三期中考试数学试卷
考生须知：
1、本试卷有三道大题，共7页．考试时长120分钟，满分100 分．
2、考生务必将答案填写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效．
3、考试结束后，考生应将机读卡和答题纸交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项均只有一个．
1. 二次函数 的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键．
根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标．
【详解】 ，
∴二次函数 的图象的顶点坐标为 ，
故选：A．
2. 将抛物线 向左平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．
【详解】解：抛物线 向左平移1个单位长度后得到新抛物线的解析式为： ，
故选C．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
函数解析式．
3. 用配方法解方程 ，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把常数项移到等号的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，再依据完全平方公式将左边写
成完全平方式即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故选D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键．
4. 若点 ， 都在二次函数 的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线
，然后比较两个点离直线 的远近得到a、b的大小关系．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线 ，
∴点 离直线 远，点 离直线 较近，
∴ ，
故选：C．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
5. 如图，线段 是 的直径，弦 于 ，如果 ，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据垂径定理得到 ，然后根据圆周角定理得 ，据此求解即
可．
【详解】解：∵线段 是 的直径，弦 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理和垂弦定理，解题的关键是熟知垂径定理及圆周角定理的内容．
6. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．
设教育经费的年平均增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列出方程即可．
【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
则2021的教育经费为： 万元，
2022的教育经费为： 万元，
∴可得方程： ．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
7. 某同学将如图所示的三条水平直线 ， ， 的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直
线 ， ， 的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数
的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知求得顶点坐标为 ，再结合 ，即可确定坐标轴的位置．
【详解】解：∵ ，
∴顶点坐标为 ，
∵ ，
∴抛物线与 的交点为顶点，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ 为y轴，
∵二次函数 与y轴的交点为 ，且 ，
∴ 为x轴，
故答案为：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中坐标轴与
点的位置关系是解题的关键．
8. 已知抛物线 ，直线 ，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，
组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点 在G上，则a的取值范围是（
）
A. B. 或 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，轴对称的性质，本题先画出函数的简易图象，计算当
的函数值，对折后可得函数值取全体实数，从而可得 的范围．
【详解】解：如图，把 代入 ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
由图象可得直线 ，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，
如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点 在G上，
∴ ；
故选A
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 已知关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把 代入方程进行计算即可解答，理解方程解的定义是解题
的关键．
【详解】解：把 代入 中得：
，
解得 ，
故答案为： ．
10. 一个二次函数满足过点 ，且开口向上，该二次函数可以为______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，开口向上，要求 即可．
【详解】解：∵开口向上，
∴ ，
且与y轴的交点为 ，
∴函数解析式可以为： （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
的
11. 如图， 直径为10， 为弦， ，垂足为C，若 ，则弦 的长为_________．
【答案】8
【解析】
【分析】利用垂径定理得到 ， ，再利用勾股定理得到 ，即可得到答
案．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 的直径为10， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．
12. 如图， 是 的直径， 是 的弦，如果 ，那么 ______．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】 ##54度
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，直角所对的圆周角是 ，即 ，同弧所对的圆周角是相等的，
即 ，可得结论．解题的关键是熟练运用圆周角定理解决问题．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
故答案为： ．
13. 已知抛物线 与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是_____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、解一元二次方程，根据抛物线 ，可以求
得该抛物线与x轴的两个交点坐标，然后根据抛物线 与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于
2，即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴当 时， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴抛物线与x轴的交点坐标为 ，
∵抛物线 与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为 ， ，则方程
的解是___________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的的联系，能利用交点坐标求出一元二次方程的解是解题的关
键．
利用函数图象交点写出坐标即可．
【详解】解：∵抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为 ， ，
∴方程 的解是 ， ，
故答案为： ， ．
15. 已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
… …
… …
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
二次函数 可改写为 的形式；
二次函数 的图象开口向下；
关于 的一元二次方程 的两个根为 或 ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
若 ，则 ．
其中所有正确的结论为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，顶点式，抛物线与 轴的交点，由图象经过 ， ，
得到对称轴是直线 ，进而确定顶点坐标及开口，得到 正确，选项 错误；根据对称性得到一元
二次方程 的两个根为 或 ，故选项 正确；根据抛物线与 轴的交点，可判断 错
误；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵该函数的图象经过 ， ，
∴该函数图象的对称轴是直线 ，
∴该函数图象的顶点坐标是 ，有最小值，开口向上，
∴二次函数 可改写为 的形式，故选项 正确，选项 错误；
∵该函数的图象经过 ，其关于对称轴直线 的对称点为 ，
∴关于 的一元二次方程 的两个根为 或 ，故选项 正确；
∵该函数的图象经过 ， ，
∴若 ，则 或 ，故选项 错误；
综上，正确的结论为 ，
故答案为： ．
16. 某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团
到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住
满.
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）要想使花费最少，需要___________间两人间；
（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要___________间三人间.
【答案】 ①. 1 ②. 8
【解析】
【分析】（1）要想使花费最少，则应尽可能多租三人间；
（2）两人间打八折优惠时，应尽可能多租两人间，注意所有租住房间必须住满．
【详解】解：（1）由题意知，两人间每间200元，平均每人100元，三人间每间250元，平均每人
元，
因此要想花费最少，则应尽可能多租三人间，
花费最少时，27个男生租9个三人间，23个女生可以租7个三人间和1个两个间，
故答案为：1；
（2）两人间打八折优惠，则160元，平均每人80元，
此时，要想花费最少，则应尽可能多租两人间，
设27个男生租x个两个间，y个三个间，23个女生租m个两个间，n个三个间，
则 ， ，
当 ， 时，满足 ，
因此27个男生租12个两个间，1个三个间，
此时还剩两人间： （个），
因此m可以取3，2，1，0，
当 时，女生需要租三人间 个，不合题意；
当 时，女生需要租三人间 个，不合题意；
当 时，女生需要租三人间 个，符合题意；
因此需要租三人间： （个），
故答案为：8．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程，注意“所有租住房间
必须住满”这一条件．
三、解答题（共68分，第17题8分，第18-19题每题4分，第20-22题每题5分，第23-24
题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
17. 解方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握解法的实质是解题的关键．
(1) 利用因式分解法法求解即可．
(2) 利用因式分解法法求解即可．
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，
解得 ．
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
解得 ．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中， 的三个顶点分别为 ， ， ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）画出 关于原点对称的 ，并写出点 的坐标；
（2）画出 绕原点逆时针旋转90°后的 ，并写出点 的坐标．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了原点对称，旋转性质计算
（1）根据横坐标、纵坐标都变成相反数，确定坐标后，画图即可．
（2）根据旋转的性质计算画图即可．
【
小问1详解】
根据题意，画图如下：
为所求，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
且点 的坐标为 ；
【小问2详解】
如上图，
则 为所作，
点 的坐标为 ；
19. 已知二次函数 ．
（1）将 化成 的形式；
（2）在右图中画出二次函数C的图象；
（3）当 时，利用图象直接写出y的取值范围；
（4）当 时，利用图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了把抛物线解析式化为顶点式，画抛物线函数图象，抛物线与不等式之间的关系，
利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）利用配方法把抛物线解析式化为顶点式即可；
（2）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可；
（3）（4）利用图象法求解即可．
【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
列表如下：
… 0 1 2 3 4 …
… 3 0 0 3 …
【小问3详解】
解：由函数图象可知，当 ， ；
【小问4详解】
解：由函数图象可知，当 时， ．
20. 已知关于x的一元二次方程 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．
【答案】（1）见解析 （2） ，
【解析】
【分析】（1）判断判别式的符号，即可得证；
（2）求出判别式 的值最小时的m的值，再解一元二次方程即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∵ ，
∴ ．
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：由题意可知，当 时， 的值最小．
将 代入 ，得
解得： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程．熟练掌握判别式与根
的个数的关系，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．
21. 如图， 为 的直径，弦 于点E，连接 ．
（1）求证： ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知
识．
（1）根据等弧对等角证明即可；
（2）连接 ，根据垂径定理得到 ，再利用勾股定理计算出 ，然后计算 即可．
【小问1详解】
∵ 是 的直径， ，
∴ ．
∴ ；
【小问2详解】
连接 ，
∵ ，
∴ ．
∵直径 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴ ．
22. 下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图， 及 外一点P．求作：过点P的 的切线．
作法：
①连接 ，分别以点O、点P为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线
交 于点T：
②以点T为圆心， 的长为半径作圆，交 于点A、点B；
③作直线 ， ．
所以直线 ， 就是所求作的 的切线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）：
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ．
是 的直径，
°（ ）（填推理的依据）．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
．
又 OA为 的半径，
直线 是 的切线（ ）（填推理的依据）．
同理可证，直线 也是 的切线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质．
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）连接 ，先根据圆周角定理的推论得到 ， ，然后根据切线的判定定理得到
直线 为切线，同理可证，直线 也是 的切线．
【小问1详解】
解：如图， 、 为所作；
【小问2详解】
证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ （直径所对的圆周角为直角），
∴ ．
又∵ 为 的半径，
∴直线 是 的切线（过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线），
同理可证，直线 也是 的切线．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
23. 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，其中 ，
．直线 经过B，C两点．
（1）求直线 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点M，使 最小，直接写出点M的坐标；
（3）连接 ，求 的面积．
【答案】（1） ，
（2）
（3）3
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、最短路径问题、三角形的面积．
（1）根据抛物线 与x轴交于 ，与y轴交于C点 ，可以求得该抛物线的解析
式，然后即可求得点B的坐标，再根据点B和点C的坐标，即可求得直线 的解析式；
（2）根据两点之间线段最短和二次函数图象具有对称性，可以找到点M所在的位置，然后求出点M的坐
标即可；
（3）根据点D和点M的坐标，可以求得 的长，再根据三角形的面积公式，即可求得 的面积．
【小问1详解】
将点 ， 代入 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
得
解这个方程组，得
抛物线的解析式为 .
当 时， ，
解得 ，
∴点B 的坐标为 ，
∵直线 经过B，C两点，
∴ ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ；
【小问2详解】
∵点A和点B关于对称轴对称，
∴当点M是直线 和对称轴的交点时， 取得最小值，
∵抛物线 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴点D的坐标为 ，对称轴为直线 ，
将 代入直线 ，得： ，
∴点M的坐标为 ；
【小问3详解】
∵点 ，点 ，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，
∴ ．
24. 如图，在 ， ，点D在 边上，以 为直径的 与直线 相切于点E，
连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，等腰三角形的性质和勾股定理．
（1）先证明 为 的切线，则根据切线长定理得到 平分 ，则 ，再利用
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
得到 ，然后根据三角形内角和定理可得到 的度数；
（2）设 的半径为r，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到 ，然后在 中利
用勾股定理得到 ，于是解方程可得到 的半径．
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，
∴ 为 的切线，
∵ 为 的切线，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ；
【小问2详解】
如图，
设 的半径为r，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
由（1）知，
在 中，∵ ，
∴
在 中， ，
解得 ，
即 的半径为 ．
25. 野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系．
对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据：
水平距离x 0 1 2
竖直高度y 0
根据上述数据，回答下列问题：
①野兔本次跳跃的最大竖直高度为 m；
②求满足条件的抛物线的解析式．
（2）在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方 处有宽为 的小溪，则野兔此次跳跃 （填
“能”或“不能”）跃过小溪．
【答案】（1）① ；②
（2）能
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）①根据表中数据得出结论；
②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）令 ，解方程求出x的值，即求出野兔的落地点与 比较即可．
【小问1详解】
解：
①由 ， 和 ， 可知，
抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时，y有最大值 ，
∴野兔本次跳跃的最大竖直高度为 米，
故答案为： ；
②由题意可知，抛物线的顶点为 .
设抛物线解析式为 .
当 时， ，
，解得 .
抛物线的解析式为 .
【小问2详解】
能.
理由：令 ，则 ，
解得 ， （舍去），
∴野兔落地点距离起跳点 米，
，
∴野兔此次跳跃能跃过小溪．
故答案为：能．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
26. 已知关于x的二次函数 ，点 ， 在二次函数图象上．
（1）①若 ，求二次函数的对称轴；②若 ，比较m，n的大小，并说明理由．
（2）当 时，函数的最小值为9，求a的值．
【答案】（1）① ；② ，理由见解析
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质、二次函数的最值等，熟练掌握
二次函数及图象特点是解答有关二次函数问题的关键．
（1）①利用二次函数的对称性求得即可；
②求得抛物线的对称轴，然后根据两点到对称轴的距离的大小即可判断 ， 的大小；
（2）由二次函数 ，可知抛物线开口向上，对称轴为直线 ，函数有最小
值0，由题意可知 或 时，函数的最小值为9，据此即可求得 的值．
【小问1详解】
①若 ，则点 ， 关于对称轴对称，
二次函数的对称轴为直线 ；
② 二次函数 ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
，
，
点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问2详解】
二次函数 ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，函数有最小值0，
当 时，函数的最小值为9，
当 ，即 时，当 时， 有最小值9，
即 ，解得 （负数舍去）．
当 ，即 时， 时， 有最小值9，
即 ，解得 （正数舍去）．
综上，当 时，函数的最小值为9， 的值为2或 ．
27. 在 中， ， ，P是线段 上的动点（不与点B，C重合），
将线段 绕点P顺时针旋转 得到线段 ．
（1）如图1，当 ，且点D在线段 上时，求证 ；
（2）如图2，点D在 内部，过点D作 的垂线，与直线 交于点Q．
①请根据题意，将图形补充完整；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
②判断 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② ，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一
半，全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识．
（1）先根据三角形外角的性质得出 ，再由等角对等边可得结论；
（2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明 ，再根据
证明 得 ，得到 ，再根据平行线分线段成比例定理可
得结论
【小问1详解】
， ，
.
.
【小问2详解】
①如图所示.
② .
证明：连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD.
∵ ， ，
.
又 ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
.
，
，
∴
，
.
28. 已知 的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，点P关于 的反演点的定义如下：若点 在射
线 上，满足 ，则称点 是点P关于 的反演点．图1为点P及其关于 的反演点
的示意图．在平面直角坐标系 中， 的半径为6， 与x轴的正半轴交于点A．
（1）如图2， ， ．若点 ， 分别是点A，B关于 的反演点．则点 的坐标
是 ，点 的坐标是 ；
（2）已知点Q在x轴下方，且 ，直线 上存在点Q关于 的反演点 ，求
m的取值范围；
（3）如图3，已知直线 ，点K是直线l上的动点，点 是点K关于 的反演点．请直接写出
线段 的长度k的取值范围．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据反演点定义，求出坐标即可；
（2）设 ，分情况当 或9时，求出 的取值范围即可；
（3）设点 的坐标为 坐标，列方程，根据根的情况列解不等式即可．
【小问1详解】
解： ， ， ，
，
在 轴上，
，
， ， ，
，
，
，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
直线 上存在点Q关于 的反演点 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
设 ，
即 ，
，
当 时， ， ，
，
当 时， ， ，
，
当 时， 的取值范围： ；
【小问3详解】
设 的坐标为 ，
，
，即 ，
，
，
，
，
k的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，一元二次方程的应用，圆的新定义，解不等式，两点间距离公式，对反
演点定义的理解和应用是解答本题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
