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北京三帆中学 2025 届初二数学寒假学习反馈
注意：（1）考试时间60分钟；（2）请将答案填写在答题纸相应的位置上．
一、选择题（本题共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. “ ”表示此类型的口罩能过滤空气中 的粒径约为 的非油性颗粒．其中，
用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选B．
2. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的
因数是整数，因式是整式．由此逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、 的被开放数中含有分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、 的被开方数中在分母中，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. x+x2＝x3 B. x2•x3＝x6 C. x9÷x3＝x3 D. （x3）2＝x6
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则及幂运算等相关知识进行计算即可得解．
【详解】选项A， 与 不是同类项，不可以合并，A选项错误；
选项B， ，B选项错误；
选项C， ，C选项错误；
选项D， ，D选项正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项法则及幂运算的相关内容，熟练掌握幂运算的四种运算方法以及合并
同类项的相关知识是解决本题的关键．
4. 如图， ，点D，E分别在 上，补充下列一个条件后，不能判断 的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据三角形全等的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、∵ ， ， ，根据 即可证明 ．
B、∵ ， ， ，根据 即可证明 ．
C 、 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， 根 据 即 可 证 明
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学科网（北京）股份有限公司．
D、∵ ， ， ， 不能判定 ．
故选：D．
5. 以下列各组数为边长，不能组成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，3 B. 1，1， C. 1，2， D. 30，60，90
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理 的逆定理，根据勾股定理的逆定理，只要验证两较短边的平方和是否等
于最长边的平方，即可作出判断，从而得到答案．
【详解】解：A、 ， 该三角形符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，不符合题意；
B、 ， 该三角形符合勾股定理逆定理，故 直角三角形，不符合题意；
是
C、 ， 该三角形符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，不符合题意；
D、 ， 该三角形不符合勾股定理逆定理，故不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
6. 如图，将一张三角形纸片 的一角折叠，使点 落在 处的 处，折痕为 .如果 ，
， ，那么下列式子中正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
的
【分析】根据三角形 外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
【详解】
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
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学科网（北京）股份有限公司7. 寒风乍起，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好
同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注
意工作时间=工作总量÷工作效率．利用“两队同时开工且恰好同时完工”，可得等量关系为：甲队所用时
间=乙队所用时间．再列方程即可．
【详解】解：乙队每天安装x台，则甲队每天安装 台，
甲队用的天数为： 天，乙队用的天数为： 天，
则列方程为： ，
故选D．
8. 如图，点 是线段 上一点， ， ， ，
．给出下面四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④若 ，则 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. ②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用所给条件证明
， ， ，可得①②③，再利用等腰直
角三角形的性质，进行角度转换，判断④，根据选项作出正确的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，故①正确；
， ， ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，故②错误，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理，可得 ，故③正确；
同理可得 为等腰直角三角形，
，
，
，
即 ，
，故④正确，
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司二、填空题（本题共16分，每题2分）
9. 点 关于 轴的对称点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于 轴的对称点坐标的特征，根据关于 轴的对称的点，横坐标互为相反数，纵坐
标相同，即可得出答案．
【详解】解：点 关于 轴的对称点坐标为 ，
故答案为： ．
10. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开
方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案为： ．
11. 分解因式： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．原式利用完全平方公
式分解即可．
【详解】解：原式 ．
故答案为：
12. 计算： ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，根据同底数幂
乘法的逆运算，积的乘方的逆运算法则把所求式子变形为 ，据此计算
求解即可．
【详解】解：
，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
13. 如图，锐角三角形 中，直线 为 的中垂线，直线 为 的角平分线， 与 相交于点
．若 ， ，则 的度数为________．
【答案】 ##64度
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等角对等边、角平分线的定义、三角形内角和定理，由线段
垂直平分线的性质得出 ，由等角对等边得出 ，由角平分线的定义得出
，从而得出 ，由三角形内角和定理求出 ，即可得解．
【详解】解： 直线 为 的中垂线，
，
，
直线 为 的角平分线，
，
，
， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
14. 直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为________．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积公式，根据勾股定理得出斜边长为 ，再根据面积相等，
即可得出斜边上的高．
【详解】解：根据勾股定理可得：斜边长为 ，
根据面积相等，设斜边上的高为 ，则 ，
解得： ，
故答案为： ．
15. 已知分式方程 ＝1的解为非负数，则a的取值范围是_____．
【答案】a≤﹣1且a≠﹣2
【解析】
【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围．
【详解】解：分式方程转化为整式方程得，2x+a＝x﹣1
移项得，x＝﹣a﹣1，
解为非负数则﹣a﹣1≥0，
又∵x≠1，
∴a≠﹣2
∴a≤﹣1且a≠﹣2，
故答案为：a≤﹣1且a≠﹣2．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解答本题的关键是先把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再
按要求列不等式，解不等式．
16. 我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比
欧洲早五百年左右．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这
个三角形给出了 （ ，2，3，4，5，6）的展开式（按 的次数由大到小的顺序排列）的系数
规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着 展开式中各项的
系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中各项的系数，
等等．人们发现，当 是大于6的自然数时，这个规律依然成立．
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学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，按以上规律 的展开式中第5项的系数是________；
（2） 的展开式中各项的系数的和为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类规律探索，得出规律当 时， 展开式中各项的系数的和为
是解此题的关键．
（1）由图可得：当 时， 的展开式对应的系数为 ， ， ， ， ， ， ，即可得出答
案；
（2）分别计算出当 、 、 、 时，展开式中各项的系数的和，从而得出当 时，
展开式中各项的系数的和为 ，由此即可得出答案．
【详解】解：（1）由图可得：当 时， 的展开式对应的系数为 ， ， ， ， ， ， ，
故 的展开式中第 项的系数为 ，
故答案为： ；
（2）由图可得：
当 时， 的展开式对应的系数为 ， ，故展开式中各项的系数的和为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 的展开式对应的系数为 ， ， ，故展开式中各项的系数的和为 ，
当 时， 的展开式对应的系数为 ， ， ， ，故展开式中各项的系数的和为
，
当 时， 的展开式对应的系数为 ， ， ， ， ，故展开式中各项的系数的和为
，
…，
当 时， 展开式中各项的系数的和为 ，
当 ， 的展开式中各项的系数的和为 ，
故答案为： ．
三、解答题（本题共60分，第17题16分，第18-22题，每题7分，第23题9分）
17. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，异分母分式加法计算，多项式乘以多项式和整式的加减等
计算：
（1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（3）根据异分母分式加法计算法则求解即可；
（4）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
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学科网（北京）股份有限公司．
18. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】先利用分式的减法计算括号内的减法运算，再计算分式的乘法即可得到化简结果，再求出 ，
整体代入化简结果即可得到答案，此题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式
19. 如图，电信部门要在公路 ， 之间的 区域修建一座信号发射塔 ，按照设计要求，发射塔 到区
域 内的两个城镇 ， 的距离必须相等，到两条公路 ， 的距离也必须相等，在图中标出发射塔 的
位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的实际应用，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，
发射塔 到区域 内的两个城镇 ， 的距离必须相等，则点P在线段 的垂直平分线上，到两条公路
， 的距离也必须相等，则点P在直线m和直线n所夹的锐角的角平分线，据此作图即可．
【详解】解：如图所示，作线段 的垂直平分线，作直线m和直线n所夹的锐角的角平分线，二者的交
点P即为所求．
20. 如图， ， 于 ， 于 ， 、 交于 ，连接 ，求证：
．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】先根据三角形全等的判定定理（ 定理）证出 ，再根据全等三角形的性质可
得 ，然后根据线段的和差即可得证．
【详解】证明： 于 ， 于 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司在 和 中， ，
，
，
，
，
即 ．
【点睛】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是
解题关键．
21. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】去分母化为整式方程，然后求解方程并检验即可．
【详解】解：分式两边同乘得： ，
整理化简得： ，
解得： ，
检验，当 ， ．
是原分式方程的解．
【点睛】本题主要是考查了解分式方程，正确地去分母，把分式方程化成整式方程，是求解的关键．
22. 已知 ， ， 是 的三边长， 是整数且满足 ，求 的值．
【答案】5或6或7
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，因式分解的应用，非负数的性质，利用完全平方公式把已知
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学科网（北京）股份有限公司条件式变形为 ，则由非负数的性质可得 ，再由三角形中任意两边之和
大于第三边，任意两边之差小于第三边求出c的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， 是 的三边长，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是整数，
∴ 的值为5或6或7．
23. 已知等腰 中， ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，过
点 作 于 ，连接 ．
（1）如图1，当 时，连接 ，判断 的形状为 ；
（2）如图2，当 时，求 的度数；
（3）当 时，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，直接用等式表示线段
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学科网（北京）股份有限公司， ， 之间的数量关系．
【答案】（1）等边三角形
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到 的度数，和 ，结合 的度数，根据有一个角
是 的等腰三角形是等边三角形，即可求解，
（2）在 和 中，根据三角形内角和是 ，得到 ，进而确定 是等腰直
角三角形，由 ，得到 ，即可求解，
（3）当 时，作 ，通过证明 等腰直角三角形，得到 ，
通过证明 ，得到 ，即可求解，当 时，过点 作 ，
通过证明 是等腰直角三角形，得到 ，由 ，得到 ，
由 是等腰直角三角形，得到 ， ，由 ，得
到 ，即可求解；
本题考查了等边三角形的判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，
梯形的中位线，解题的关键是：通过几何变换，将所求线段拼接成一条线段．
【小问1详解】
解：由旋转可知， ， ，
是等腰三角形，
又 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司是等边三角形，
故答案为：等边三角形，
【小问2详解】
解：连接 ，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为： ，
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
当 时，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，
， ，
，
，
等腰直角三角形，
， ，
， ，
是正方形，
， ，
，即： ，
，
，
，
当 时，连接 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
， ，
， ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司是正方形，
， ，
，即： ，
，
，
，
故答案为： 或 ．
四、附加题（本题共20分，第24题6分，第25题8分，第26题6分）
24. 阅读材料1：对于两个正实数 ， ，由于 ，所以 ，即
，所以得到 ，并且当 时， ．
阅读材料2：若 ，则 ，因为 ， ，所以由阅读材料1可得，
，即 的最小值是2，只有 时，即 时取得最小值．
根据以上阅读材料，请回答以下问题：
（1）比较大小： （其中 ）； （其中 ）．
（2）求代数式 的最小值，并指出此时的 值为多少．
【答案】（1） ，
（2）当 时， 有最小值为
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算、配方法的应用，读懂材料并加以运用是解此题的关键．
（1）根据求出法比较大小，由材料1进行比较即可得出答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先将 变形为 ，由阅读材料2可得当 时，
有最小值，即可得解．
【小问1详解】
解： ，
，
当 时，由阅读材料1可得： ，
，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解： ，
，
，即当 时， 有最小值，
当 时， 有最小值为 ．
25. 为等腰直角三角形， ，点 是直线 上一动点（不与点 重合），连接 ，
过点 作直线 的垂线段，垂足为点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，当点 在线段 上时．
①求证： ；
②延长 交 于点 ，求证： 为 的中点．
（2）若 ，直接写出 的最大值和最小值．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2） 的最小值为 ，最大值为
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、直角三
角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
的
（1）①由等腰直角三角形 性质可得 ，由旋转的性质可得： ， ，
证明 ，即可得出 ；②作 交 的延长线于 ，则 ，由
等腰直角三角形的性质结合 得出 ，再证明 ，得出 即
可得证；
（2）由题意得 ，由（1）②知 ，取 的中点 ，连接 、 ，
由直角三角形的性质可得 ，由勾股定理可得 ，由两点之
间线段最短可得： ， ，即可得出答案．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：①： 为等腰直角三角形， ，
，
由旋转的性质可得： ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
；
②如图，作 交 的延长线于 ，
，
则 ，
由旋转的性质可得： ， ，
，
，
，
，
，
由①得： ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
在 和 中，
，
，
，
为 的中点；
【小问2详解】
解： ， 为等腰直角三角形，
，
由（1）②知 ，
如图，取 的中点 ，连接 、 ，
，
，
，
，
第27页/共35页
学科网（北京）股份有限公司由两点之间线段最短可得： ， ，
即 ，
的最小值为 ，最大值为 ．
26. 在平面直角坐标系 中，直线 过原点且经过第三、第一象限， 与 轴所夹锐角为 ．对于点
和 轴上的两点 ， ，给出如下定义：记点 关于直线 的对称点为 ，若 为等边三角形，则
称点 为 ， 的 点．
（1）如图1，若点 ， ，点 为 ， 的 点，连接 ， ．
① ；
② 点的坐标为 ．
（2）已知点 ， ，且点 的横坐标为2．
①当 时，点 为 ， 的 点，则 ；
②当 时，点 为 ， 的 点，则 ．
【答案】（1）① ；②
（2）① ；② 或
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）①过点 作 轴于 ，过 作 轴于 ，由等边三角形的性质可得
， ， ，从而得出 ， ，由题意
得出 与 轴所夹锐角为 ，再由点 关于直线 的对称点为 即可得出答案；②证明
，得出 ， ，即可得出答案；
（2）①由题意得当 时， ，过点 作 于 ，过点 作 轴于 ，作 轴
交直线 于 ，交 轴于 ，连接 交 轴于 ，连接 交直线 于 ，由等边三角形的性质可得
， ， ，表示出 ， ，由题
中的定义得出 与 轴所夹锐角为 ，由直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的判定与性质得
出 ，表示出 ，再由直角三角形的性质，结合勾股定理求出 ，建立方
程，求解即可；②由题意得 ， ，从而得出 ，分两种情况：当 时，点 在
的左侧；当 时，点 在 的右侧；结合等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，
建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：①如图，过点 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
， ，
，
为等边三角形， ，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
的
点 为 ， 点，
与 轴所夹锐角为 ，
点 关于直线 的对称点为 ，
， ， ，
故答案为： ；
②在 和 中，
，
第30页/共35页
学科网（北京）股份有限公司，
， ，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：① ， ，
，
当 时， ，
如图，过点 作 于 ，过点 作 轴于 ，作 轴交直线 于 ，交 轴于 ，连接
交 轴于 ，连接 交直线 于 ，
，
为等边三角形， ，
， ， ，
，
， ，
第31页/共35页
学科网（北京）股份有限公司， ，
点 为 ， 的 点，
与 轴所夹锐角为 ，
， ，
点 的横坐标为2，
，
，
点 关于直线 的对称点为 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
解得： ，
故答案为： ；
② ，
第32页/共35页
学科网（北京）股份有限公司， ，
，
如图，令直线 交 于 ，交 轴于 ，令直线 关于 对称的直线交 轴于 ，则点 在直线
上，当 时，点 在 的左侧，
，
点 为 ， 的 点，
与 轴所夹锐角为 ，
直线 与直线 夹角为 ，即 ，
直线 关于 对称的直线与 的夹角也为 ，即 ，
，
，
，
，
，点 的横坐标为2，
，
为等边三角形，
， ，
，
第33页/共35页
学科网（北京）股份有限公司，
， ，
， ，
，
解得： ；
如图，当 时，点 在 的右侧，
，
同理可得 ，
， ，
， ，
，
综上所述，当 时，点 为 ， 的 点，则 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质、含 角
第34页/共35页
学科网（北京）股份有限公司的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点
并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
第35页/共35页
学科网（北京）股份有限公司
