文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京师大附中 2023—2024 学年（下）初三阶段性练习
数学试卷
2024.03
数学教学班：____________ 姓名：____________ 学号：____________
考生须知：
1．本试卷有三道大题，共8页．考试时长120分钟，满分100分．
2．考生务必将答案填写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效．
3．考试结束后，考生应将机读卡和答题纸交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项均只有一个．
1. 根据第七次全国人口普查结果显示，居住在我国大陆31个省、自治区、直辖市（以下简称省份）接受
普查登记人员合计约14.3亿人，将1430000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，确定 与
的值是解题的关键．
【详解】解： ，
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，提公因式进行因式分解，熟练掌握合并同
类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，提公因式进行因式分解是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，故该选项正确，符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足 ， ，则b的值可以是（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，不等式的基本性质，解决本题的关键是根据数轴上的
点确的范围．
【详解】解：由数轴可知， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
由此可知，满足题意的 的值可以是1，
故选：C．
4. 如图，直线 ， 相交于点O，若 ， ，则 的度数为（ ）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角相等可得 ，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解： ，
，
，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
5. 若n边形的每一个外角都等于 ，则n的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．利用 求出多边形的边数，即可求出n的值．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：A
6. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数之和为6的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件所
有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点．
【详解】列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表知，两枚骰子向上的点数之和所有等可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之和为6的结果数为
5，故两枚骰子向上的点数之和为6的概率是：
故选：D．
7. 关于x的方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程根的情况与判别式 的关系：①
△
方程有两个不相等的实数根；② 方程有两个相等的实数根；③ 方程没有实数根．根据
一元二次方程根的判别式，建立关于 的不等式组，求出 的取值范围．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
当 ，方程为 ，只有一个实数根，
∴
解得： 且 ．
故选：C．
8. 已知点 ， ， 在反比例函数 的图象上， ，有下面三个
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ．所有正确结
论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象的性质．根据题意可得该函数图象位于第一、三象限内，且在
每一象限内，y随x的增大而减小，再根据反比例函数的图象的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴该函数图象位于第一、三象限内，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵ ， ，
∴ ，
∴点 ， 位于第一象限内，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴点 位于第一象限内， ， 位于第三象限内，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ 或 ，
∵ ，
当 时， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ；
当 时， ，
∴ ；故③错误；
故选：A
第二部分 非选择题
二、填空题（共16题，每题2分）
9. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是____________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数是解题的关键．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
10. 分解因式： _______.
【答案】 ．
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，
之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式
后继续应用平方差公式分解即可
【详解】解： ，
故答案为： ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
11. 分式方程 的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．
【详解】解： ，
方程两边都乘以 约去分母得： ，
解这个整式方程得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解．
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．
12. 如图，在矩形 中，点M，N分别为 的中点，若 ，则 的长为__________．
【答案】10
【解析】
【分析】如图所示，连接 ，先证明 是 的中位线，得到 ，再根据矩形的
对角线相等即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵点M，N分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
为
故答案 ：10．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，熟知三角形中
位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键．
13. 如图， 为 的弦，C为 上一点， 于点D．若 ， ，则
____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，求正弦值，根据垂径定理得出 ，勾股定理求得 ，
根据正弦的定义即可求解．熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如图，菱形 的对角线交于点 ，点 为 的中点， ， ，则 的长为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，由菱形的性
质得 ， ， ，由勾股定理得
，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得解．根据勾股定
理求出 的长是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ．
故答案为： ．
15. 如图， 中， ， ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点
M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线 交 于点
D，若点D到 的距离为1，则 _______．
【答案】 ##
【解析】
【 分 析 】 作 ， 根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 到 ， 证 明 ， 可 得
，从而可得答案．
【详解】解：过点D作 于E，如图所示，
∵点D到 的距离为1， 平分 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，理解题意作出
合适的辅助线是解本题的关键．
16. 某工厂用甲、乙两种原料制作 ， ， 三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两
种原料的重量如下：
含甲种原料的重量
工艺品型号 含乙种原料的重量 工艺品的重量
A 3 4 7
B 3 2 5
C 2 3 5
现要用甲、乙两种原料共 ，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个．
（1）若 原料恰好全部用完，则制作 型工艺品的个数为__________个；
（2）若使用甲种原料不超过 ，同时使用乙种原料最多，则制作方案中 ， ， 三种型号的工艺品
的个数依次为__________．
【答案】 ①. 3 ②. 1，1，3
【解析】
【分析】（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为a个，b个，c个，根据题意推出 ，再由使用乙种原
料最多，则A、C的个数要尽可能的多，B的个数要尽可能的少，即可得到 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个，
由题意得， ，
解得 ，
∴制作 型工艺品的个数为3个，
故答案为：3；
（2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为a个，b个，c个，
由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵使用乙种原料最多，
∴A、B的个数要尽可能的少，B的个数要尽可能的多，
∴ ，
故答案为：1，1，3．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，不等式和方程相结合的问题，正确理解题意列出对
应的方程和不等式是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17~20题，每题5分，第21题6分，第22~23题，每题5分，第
24~26题每题6分，第27~28题每题7分）
17. 计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．根据特殊角三角函数值，零指数幂，
绝对值的代数意义，二次根式的化简分别计算即可得到答案．
【详解】解：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴原不等式组的解集为： .
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】５
【解析】
【分析】先根据 ，得出 ，将 变形为 ，最后代入
求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将 变形为
，是解题的关键．
20. 下面是证明特殊直角三角形相关定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明：
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
已知：如图，直角 中， ， ．
求证： ．
方法一 方法二
证明：延长 至点D，使 ，连接 ． 证明：在 上截取 ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】方法一：易得 为 的中垂线，得到 ，证明 为等边三角形，即可得证；方
法二：证明 为等边三角形， 为等腰三角形，即可得证．
【详解】方法一：
证明：延长 至点D，使 ，连接 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 为 的中垂线，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ；
方法二：
证明：在 上截取 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造
特殊三角形．
21. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D 是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据菱形的判定定理及直角三角形斜边上的中线的性质证明即可；
（2）根据等边三角形的判定和性质得出△ABD是等边三角形，∠ADB=60°，AD=AB=6，利用平行线的哦
性质可得∠DCE=60°，结合图形得出 ，再由（1）中结论求解即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵AE∥DC，EC∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD=BD=CD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
【小问2详解】
解：∵∠B =60°，AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=AB=6，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵AD∥CE，
∴∠DCE=60°，
∴∠FDC=30°，
∵CD=AD=6，
∴ ，
∵四边形ADCE是菱形，
∴CE=CD=6，
∴EF=3．
【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质等，
理解题意，熟练掌握运用菱形的判定和性质是解题关键．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 和 ．
（1）求该函数的解析式；
（2）当 时，对于x的每一个值，一次函数 的值小于一次函数 的值，
直接写出n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式的关系，灵活运用所学知识是
解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出不等式 的解集，再根据当 时， ，即可得到 ，解
不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：把 ， 代入 中得： ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴函数的解析式为 ；
【小问2详解】
函数 的值小于函数的 值时，则 ，
解得 ，
∵当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，
∴ ，
∴ ．
23. 某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲和乙两单位的相关资料放到某网络平台
上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家单位体验过的游客参与调查，得到了这两家单位的“综合满
意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这两家单位“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分
数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两单位“综合满意度”评分的折线图：
b．甲、乙两家“综合满意度”评分的平均数、中位数：
甲 乙
平均数 m 4.5
中位数 n 4.7
根据以上信息，回答下列问题：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）表中m的值是____________，n的值是____________；
（2）设甲、乙两单位“综合满意度”评分的方差分別是 ， ，直接写出 、 之间的大小关系；
（3）记甲单位“综合满意度”评分（10个评分）的方差分别是 ，为更多了解甲单位“综合满意度”情
况，再随机抽取5个评分数据分别为4.4、4.6、4.5、4.5、4.5，再记甲单位家“综合满意度”评分（15个
评分）的方差分别是 ，直接写出 、 之间的大小关系．
【答案】（1）4.5，4.5
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，求一组数据的平均数，中位数，方差的意义，熟练掌握以上知识是解题
的关键．
（1）根据平均数，中位数定义求解即可；
（2）根据甲、乙两单位“综合满意度”评分的折线图的波动情况判断方差大小即可；
（3）根据方差的计算公式计算即可．
【小问1详解】
解：甲的“综合满意度”评分的平均数 ，
甲的“综合满意度”10个评分从小到大排序为：3.2，4.2，4.3，4.5，4.5，4.5，4.8，5.0，5.0，5.0，
则其中位数 ，
故答案为：4.5，4.5；
【小问2详解】
由折线统计图可知，甲的数据波动比乙的数据波动大，
∴ ；
【小问3详解】
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
∴ ．
24. 如图，在 中， ，以 为直径作⊙ ，交 于点 ，过点 作 的垂线，垂足
为点 ，与 的延长线交于点 ．
（1）求证： 为⊙ 的切线；
（2）若⊙ 的直径为5， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先连接OD，证明OD∥BC，再根据 ，即可证明
（2）先根据 ，利用Rt△CBD，设BD=x,得出DB、DC的值，再证明△ ∽△ ．利用相
似比即可得到 ，从而得到EF的值
【详解】证明：连接 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ // ．
∵ ，
∴ ．
∵点 在⊙ 上，
∴ 是⊙ 的切线．
（2）解：连接 ．
∵ 是⊙ 的直径，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
在 △ 中，
设 ，则 ．
∴ ．
∴ ， ．
即 ， ．
由面积可得: DBDC= BCDE
∴ ．
在 △ 中，
．
∵ // ，
∴△ ∽△ ．
∴ ．
即 ．
∵ ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ．
【点睛】本题考查切线的证明、相似三角形的判定及性质、勾股定理、锐角三角函数、等面积法是计算边
长常用的方法，本题是中考的常考题型
25. 某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物
线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米） 0 0.7 2 3 4 …
h（米） 2.0 3.49 5.2 5.6 5.2 …
请解决以下问题：
（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 米（精确到
0.1）；
（3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下
方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
【答案】（1）作图见解析 （2）6.7
（3）游船有被喷泉淋到的危险
【解析】
【分析】（1）以左下角的点为原点，建立平面直角坐标系如图，然后描点，最后用平滑的曲线连接即可；
（2）根据图象中 米时，估算 值即可；
（3）由点坐标可知，该二次函数图象的顶点坐标为 ，设二次函数的解析式为 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
将 代入，解得 ，可得二次函数顶点式，由平顶游船宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米，可
将 代入二次函数解析式中求得 的值，然后与 比较大小，进而可得出结论．
【小问1详解】
解：建立如图坐标系，描点后用平滑的曲线连接即可，
【小问2详解】
解： 米时，由图象可估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米
故答案为：6.7．
【小问3详解】
解：由点坐标可知，该二次函数图象的顶点坐标为
设二次函数的解析式为
将 代入，解得
∵平顶游船宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米
∴将 代入二次函数解析式中得 米
∵
∴游船有被喷泉淋到 的危险．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用．解题的关键在于熟练
掌握二次函数的知识并灵活运用．
26. 已知抛物线 ， ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）若点 在抛物线上，求t的值；
（2）已知点 ， 都在抛物线上，
①若 ， ， ，求a的取值范围；
②若 ， ， ，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的基本性质，关键是根据抛物线上的点与抛物线顶点
的关系，结合图象求解．
（1）由题意可知 在抛物线上，根据抛物线的对称轴为 ，即可求解；
（2）当 ， ， ，根据题意可知， 要在 的下
方，即 ，求解即可；
②由 得 ，再由 得 ，再由
，得 ，从而得 ，所以 ．
【小问1详解】
解：当 时， ，即： 在抛物线上，
又∵点 在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为： ，
∴ ；
【小问2详解】
①当 ， ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵点 ， 都在抛物线上，且 ， ，
∴ 要在 的下方，即 ，
∴ ；
②∵ ， ，抛物线的对称轴为 ，
即： ， 在对称轴右侧， 随着 的增大而增大，
∴ ，即
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ 的取值范围是 ．
27. 如图，在 中， ， ，点E在射线 上（不与点B，点C
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
重合），点D为线段 的中点，连接 ．将射线 绕点A逆时针旋转 得到射线 ，过点D作
交射线 于点F．
在
（1）如图1，点E 线段 上，求证： ．
（2）如图2， ，点E在线段 的延长线上，点D在线段 上，连接 ， ．
①依题意补全图形；
②写出线段 与 之间是数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由等边对等角可得 ，由旋转可知 ，结合直角三角形两锐角互余
可得 ，即可证明结论；
（2）①根据题意画出图形即可求解；
② 过 点 作 ， ， 先 证 明 ， 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 再 证 明
，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质，结合 是 的中点，证明
，再根据勾股定理可得 ，由 即可证明结论
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
由旋转可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
①如图所示，
② ，证明如下：
过点 作 于点G，过点F作 于点H，则 ，
∴ ，
∵ ，则 ， ，
∴ ，即： 是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ ，则 ，
∴ 是等腰直角三角形，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，则
∵ 是 的中点，
∴ ，则 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
又∵ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理可得： ，即： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练
掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，已知 的半径为1，点 在 上．对于点P给出如下定义：将
点P向右（ ）或向左（ ）平移 个单位长度，再向上（ ）或向下（ ）平移 个
单位长度（ ），得到 ，再将点P关于直线 对称得到点Q，则称点Q为点P的k倍“对应点”．
特别地，当M与 重合时，点Q为点P关于点M的中心对称点．
（1）已知点 ， ．
①若点M 坐的标为 ，直接写出点 的坐标，并画出点P的2倍“对应点”Q；
②求线段 长的取值范围；
（2）当 时，若 ，点Q为点P的k倍“对应点”，连接 ，当点M在 上运动时，直接
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
写出 长的最大值与最小值的和（用含k的式子表示）．
【答案】（1）① ，画点 见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据定义可知点 由点 向上平移2个单位得到，再作点 关于直线 的对称点即可
得点 ；
②由题意可知， 在半径为1的 上，则 ，由定义可知，点 ，则
，作 轴于 ， 轴于 ，连接 交 于 ，可证得 ，则
，可知 ，可得 ，易知 ，则 ，即：
直线 过定点 ，由对称可知，点 在以点 为圆心，6为半径的圆弧上，当直线 与
相切时离点 最远，当 在 轴上时，直线 为 轴，点 与点 重合，此时 ，即可求得线段
的长的取值范围；
（2）类比（1）作 轴于 ， 轴于 ， ，连接 交直线 于 ，可证
，再证 ，可知 ，
易知 ，可得 ， ，由对称可知 ，即：点 在以点
为圆心， 为半径的圆上，进而可知 ，即 ，即可求得
长的最大值与最小值的和为 ．
【小问1详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解：①∵点 的坐标为 ， ，
∴点 由点 向上平移2个单位得到，即： ；
作点 关于直线 的对称点 ，如图，
点 即为所求；
②由题意可知， 在半径为1的 上，则 ，
由定义可知，点 ，则 ，
作 轴于 ， 轴于 ，连接 交 于 ，则 ， ， ，
，
∴ ，
∴ ，则
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，即：直线 过定点 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ ，即：点 在以点 为圆心，6为半径的圆弧上，
当直线 与 相切时离点 最远，此时 ，则 ，即 ，
由轴对称可知， ， ，
∴此时点 、 、 在同直线上，此时 ，
当 在 轴上时，直线 为 轴，点 与点 重合，此时 ，
∴线段 的长的取值范围为： ；
【小问2详解】
由题意可知， 在半径为1的 上，则 ，
设 ，由定义可知，点 ，则 ，
作 轴于 ， 轴于 ， ，连接 交直线 于 ，
则 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
又∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，即
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ ，即：点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
∴ ，即
∴ 长的最大值与最小值的和为 ．
【点睛】本题属于几何综合，主要考查了坐标与图形变化——平移，切线的性质，相似三角形的判定及性
质等知识，正确理解题意得到点 在以点 为圆心， 为半径的圆上是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
