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北京三帆中学 2025 届初二数学寒假学习反馈
注意：（1）考试时间60分钟；（2）请将答案填写在答题纸相应的位置上．
一、选择题（本题共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. “ ”表示此类型的口罩能过滤空气中 的粒径约为 的非油性颗粒．其中，
用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
.
A B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. x+x2＝x3 B. x2•x3＝x6 C. x9÷x3＝x3 D. （x3）2＝x6
4. 如图， ，点D，E分别在 上，补充下列一个条件后，不能判断 的是
（ ）
A. B. C. D.
5. 以下列各组数为边长，不能组成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，3 B. 1，1， C. 1，2， D. 30，60，90
6. 如图，将一张三角形纸片 的一角折叠，使点 落在 处的 处，折痕为 .如果 ，
， ，那么下列式子中正确的是（ ）
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A B. C. D.
7. 寒风乍起，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好
同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（
）
A. B. C. D.
8. 如图，点 是线段 上一点， ， ， ，
．给出下面四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④若 ，则 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. ②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①④
二、填空题（本题共16分，每题2分）
9. 点 关于 轴的对称点坐标为________．
10. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是________．
11. 分解因式： ___________．
12. 计算： ________．
13. 如图，锐角三角形 中，直线 为 的中垂线，直线 为 的角平分线， 与 相交于点
．若 ， ，则 的度数为________．
14. 直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为________．
15. 已知分式方程 ＝1的解为非负数，则a的取值范围是_____．
16. 我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比
欧洲早五百年左右．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这
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学科网（北京）股份有限公司个三角形给出了 （ ，2，3，4，5，6）的展开式（按 的次数由大到小的顺序排列）的系数
规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着 展开式中各项的
系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中各项的系数，
等等．人们发现，当 是大于6的自然数时，这个规律依然成立．
（1）当 时，按以上规律 的展开式中第5项的系数是________；
（2） 的展开式中各项的系数的和为________．
三、解答题（本题共60分，第17题16分，第18-22题，每题7分，第23题9分）
17. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
18. 已知 ，求代数式 的值．
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学科网（北京）股份有限公司19. 如图，电信部门要在公路 ， 之间的 区域修建一座信号发射塔 ，按照设计要求，发射塔 到区
域 内的两个城镇 ， 的距离必须相等，到两条公路 ， 的距离也必须相等，在图中标出发射塔 的
位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
20. 如图， ， 于 ， 于 ， 、 交于 ，连接 ，求证：
．
21. 解方程： ．
22. 已知 ， ， 是 的三边长， 是整数且满足 ，求 的值．
23. 已知等腰 中， ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，过
点 作 于 ，连接 ．
（1）如图1，当 时，连接 ，判断 的形状为 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图2，当 时，求 的度数；
（3）当 时，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，直接用等式表示线段
， ， 之间的数量关系．
四、附加题（本题共20分，第24题6分，第25题8分，第26题6分）
24. 阅读材料1：对于两个正实数 ， ，由于 ，所以 ，即
，所以得到 ，并且当 时， ．
阅读材料2：若 ，则 ，因为 ， ，所以由阅读材料1可得，
，即 最小值是2，只有 时，即 时取得最小值．
的
根据以上阅读材料，请回答以下问题：
（1）比较大小： （其中 ）； （其中 ）．
（2）求代数式 的最小值，并指出此时的 值为多少．
25. 为等腰直角三角形， ，点 是直线 上一动点（不与点 重合），连接 ，
过点 作直线 的垂线段，垂足为点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，当点 在线段 上时．
①求证： ；
②延长 交 于点 ，求证： 为 的中点．
（2）若 ，直接写出 的最大值和最小值．
26. 在平面直角坐标系 中，直线 过原点且经过第三、第一象限， 与 轴所夹锐角为 ．对于点
和 轴上的两点 ， ，给出如下定义：记点 关于直线 的对称点为 ，若 为等边三角形，则
称点 为 ， 的 点．
（1）如图1，若点 ， ，点 为 ， 的 点，连接 ， ．
① ；
② 点的坐标为 ．
（2）已知点 ， ，且点 的横坐标为2．
①当 时，点 为 ， 的 点，则 ；
的
②当 时，点 为 ， 点，则 ．
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