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北师大实验中学 2023-2024 学年度第二学期期中试卷
初二年级数学
1．本试卷共12页，共四道大题，29道小题：答题纸共3页．满分120分．考试时间100分
考 钟．
生 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．
须
3．试卷答案一律填写 在答题卡上，在试卷上作答无效．
知
4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
A卷
一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意．每小
题3分，共24分）
1. 下列计算，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 1， ，3
3. 在平面直角坐标系 中，若一次函数 的图像由直线 向上平移4个单位长度得
到，则一次函数 的图像经过的象限是（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
4. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
5. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若 ，则菱形ABCD的周长为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
6. 如图，在离水面点A高度为 的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 的长为 ，此
人以 的速度收绳， 后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的）．
A. 9米 B. 8米 C. 7米 D. 6米
7. 直线 与直线 的交点P的横坐标为3，则下列说法错误的是（ ）
A.
B. 点P的纵坐标为
C. 关于x、y的方程组 的解为
D. 当 时， 的解集为
8. 如图，在等腰 中， ，D是 上一动点，以 为底，在 的右侧作等腰
，若 ，则 的最小值为（ ）．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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学科网（北京）股份有限公司二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）
9. 函数y= 的自变量x的取值范围是________ ．
10. 如图，在数轴上点A表示的实数是________________．
11. 已知菱形 的两条对角线 ， 交于点 ，若 ， ，则菱形 的面积为
______．
12. 已知一次函数 （k，b是常数）的图象上有两点 ， ，若当
时， ，则k的取值范围是______．
13. 如图，直线 与 交于点 ，则不等式 的解集为______．
14. 如图1，在 中， ， 是边 上一动点，设 ， 两点之间的距离为 ， ， 两点
之间的距离为 ，表示 与 的函数关系的图像如图2所示．则线段 的长为___________，线段 的
长为___________．
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学科网（北京）股份有限公司15. 将矩形 对折使 与 重合，得到折痕 ，再次折叠，使点A落在折痕 上，并使折痕
经过点D，得到折痕 和线段 ，记 与 的交点为H．若 ，则 ______．
16. 如图，在正方形 外取一点E，连接 ， ， ，过点A作 的垂线交 于P．若
， ，则下列结论：
① ；
②点D到直线 的距离为 ；
③ ；
的
④正方形 面积为 ；
以上结论中，正确的序号是______．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题（共10道小题，第17，18，20题每题5分，第19， 21，22，24题每题6分，第
23，25，26题每题7分，共60分）
17. 计算： ．
18. 计算： ．
19. 下面是小张同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过程．
已知：等腰 ， ．
求作：点C，使得四边形ABCD为菱形．
作法：①作 的角平分线 ，交线段 于点O；
②以点O为圆心， 长为半径圆弧，交 的延长线于点C；
③连接 ，所以四边形 为菱形，点C即为所求．
根据小张同学设计的作图过程．
（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ， 平分 ，
∴ ， ，（ ）（填推理的依据）
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形（ ）（填推理的依据）
∵ ，
∴四边形 为菱形（ ）（填推理的依据）
20. 如图，在 中， ，点 在 的延长线上，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司求证：四边形 是矩形．
21. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 和 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点C是x轴上一点，且 的面积为3，求点C的坐标．
22. 一辆电动车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路
线每小时行驶72千米匀速驶向B地，货车到达B地装填货物耗时15分钟，然后立即按原路返回A地．电
动车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发的时间x（时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答
下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是_________千米， _________；
（2）直接写出线段 的解析式，并指出自变量x的取值范围；
（3）求电动车与货车第二次相遇的时间．
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学科网（北京）股份有限公司23. 如图，在四边形 中， ，对角线 交于点 平分角 ，
的
过点 作 交 延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求 的长．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与直线 交于点 ．
（1）求k，m的值；
（2）已知点 ，过点P作垂直于y轴的直线与直线 交于点M，过点P作垂直于x轴的直线
与直线 交于点N（P与N不重合）．若 ，结合图象，求n的取值范围．
25. 把一次函数 （k、b为常数， ）．在y轴右侧的图象沿y轴向左翻折，与原来在y轴及右
侧的图象组合，得到一个新的函数图象，这个新函数的解析式为 （k、b为常数， ）．例
如： 的图象如图①所示．
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学科网（北京）股份有限公司（1）请在图②中画出函数 的图象，并直接写出该图象与y轴交点A的坐标_________；
（2）若函数 的图象与y轴交于点C，与函数 的图象交于B，D两点（点B在点D
的右侧），求四边形 的面积；
（3）已知函数 与函数 ，若对于 ，都有 ，直接写出k
的取值范围．
26. 如图1，在正方形 中，点 是直线 上一点，点 是直线 上一点（ 与 不重合），
，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ．
（1）如图，点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上，
①记 ，求 的度数（用含 的式子表示）；
②用等式表示 ， ， 之间的数量关系，并证明；
（2）当点 在射线 上，点 在直线 上时，直接用等式表示 ， ， 之间的数量关系．
B卷
四、解答题（第27题5分，第28题7分，第29题8分，共20分）
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学科网（北京）股份有限公司27. 先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
（1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想 的结果：
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
（3）对任何实数a可[a]表示不超过a的最大整数，如 ，计算：
的值．
28. 在查阅勾股定理证明方法的过程中，小明看到一种利用“等积变形一同底等高的两个平行四边形的面积
相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．
（1）根据信息将以下小明的证明思路补充完整：
①如图1，在 中， ，四边形 ，四边形 ，四边形 都是正方形．延
长 交 于点M，过点C作 交 的延长线于点N，可得四边形 的形状是
_________；
②在图1中利用“等积变形”可得 _________；
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学科网（北京）股份有限公司③如图2，将图1中的四边形 沿直线 向下平移 的长度，得到四边形 ，即四边形
；
④设 交 于点T，延长 交 于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得 _________，
则有 _________．
⑤同理可证 ，因此得到 ，进而证明了勾股定理．
（2）小芳阅读完小明的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小明对小芳的说明补充完整：
图1中 _________ _________，则有_________ ，由于平行四边形的对边相等，从而四边
形 沿直线 向下平移 的长度，得到四边形 ．
的
29. 在平面直角坐标系 中，对于正方形 和它边上 动点P，以 为斜边作等腰
且O，P，Q三点按顺时针排列，则称点Q是点P关于正方形 的“相关点”．已知
， ， ， ，这里 ．
（1）如图1，若 ，当点P在正方形的边 上运动时，设点P关于正方形 的“相关点”为点
Q．
①若点Q恰好也在正方形 的边上，这样的点P的个数是_________；
A．0个；B．1个；C．2个；D．4个
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学科网（北京）股份有限公司②设点P的横坐标为p，求点Q的坐标；
（2）当 时，对于正方形 和它边上的动点P，则所有点P关于正方形 的“相关点”
组成图形的面积为_________；
（3）如图2， ， ，当点P在正方形的四条边上运动时，若线段 上有且只有
一个P关于正方形 的“相关点”，直接写出a的取值范围．
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