文档内容
2021-2022 学年北京师大附属实验中学九年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意.每小题2分，
共16分）
1. 二次函数 图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋
线
3. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是
（ ）
A. 点B在⊙A内 B. 点C在⊙A上
C. 直线BC与⊙A相切 D. 直线BC与⊙A相离4. 若将抛物线 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠COD＝30°，则∠BOC的度数是（ ）
A. 30° B. 35° C. 45° D. 60°
6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，
问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）
长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是
（ ）
A. 5步 B. 6步 C. 8步 D. 10步
7. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小
的圆形镜子的碎片是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. 均不可能
8. 如图，抛物线y＝﹣ x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，
E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（ ）A. 2 B. C. 3 D.
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）
9. 若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为2，则k的值为 _____．
10. 已知，点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则2a+b＝_____．
11. 如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB=10，AC=7，则BD的长为 ___．
12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠AOC＝142°，则∠CDM＝_____．
13. 如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)， ，则方程的解是______．
14. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽
车近几年销售量全球第一，2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为
21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程
__________________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一
点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正
方形时，线段CD的长为_________．
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的
一动点P，给出如下定义:若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点.”
的
①若点P为线段AB在第一象限 “等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 __________________；
②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为 __________________．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每
题6分，第27-28题，每题7分）
17. 下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．
已知：直线 及直线 外一点P（如图1）．
求作：⊙P，使它与直线 相切．
作法：如图2，
①在直线 上任取两点A，B；
的
②分别以点A，点B为圆心，AP，BP 长为半径画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ，交直线 于点C；
④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．
所以⊙P即为所求．
根据小融设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
∵AP＝ ，BP＝ ，
∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．∵PQ⊥ ，PC是⊙P的半径，
∴⊙P与直线 相切（ ）（填推理的依据）．
18. 解方程:x2+6x﹣5＝0．
19. 已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△ABC ，点A，B，C分别对应点A，
1 1 1 1
B，C ．
1 1
的
（1）根据点A 和B 位置确定旋转中心是点 ．
1 1
（2）请在图中画出△ABC ；
1 1 1
（3）请具体描述一下这个旋转： ．
20. 关于x的一元二次方程x2-4x+n=0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
21. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证:∠BCO＝∠D；
（2）若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
22. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示:x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 ……
y …… 0 3 4 3 0 ……
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣2≤x＜2时，直接写出y的取值范围．
23. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将
线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当∠BDE=25°时，求∠BEF的度数．
24. 某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的
销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）．
（1）当x＝50时，总利润为 元；
（2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ；
（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
25. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OB
为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证:AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．
在
26. 平面直角坐标系xOy中，点A（x，y），B（x，y）在抛物线y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中
1 1 2 2
x＜x．
1 2
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若A（﹣2，y），B（0，y），直接写出y，y 的大小关系；
1 2 1 2
（3）若x+x＝1﹣a，比较y，y 的大小，并说明理由．
1 2 1 2
27. 在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点E是△ABC外一动点（点B，点E位于AC异侧），连接
CE，AE．
的
（1）如图1，点D是AB 中点，连接DC，DE，当△ADE为等边三角形时，求∠AEC的度数；
（2）当∠AEC=135°时，
①如图2，连接BE，用等式表示线段BE，CE，EA之间的数量关系，并证明；
②如图3，点F为线段AB上一点，AF=1，BF=7，连接CF，EF，直接写出△CEF面积的最大值．
28. 在平面直角坐标系xOy中，给定⊙C，若将线段AB绕原点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°），使得旋转
后对应的线段A′B′所在直线与⊙C相切，并且切点P在线段A′B′上，则称线段AB是⊙C的旋转切线段，其
中满足题意的最小的α称为关于⊙C和线段AB的最小旋转角．
已知C（0，2），⊙C的半径为1．（1）如图1，A（2，0），线段OA是⊙C的旋转切线段，写出关于⊙C和线段OA的最小旋转角为
°；
（2）如图2，点A，B，A，B，A，B 的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AB，AB 中，⊙C的旋
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
转切线段是 ；
（3）已知B（1，0），D（t，0），若线段BD是⊙C的旋转切线段，求t的取值范围；
（4）已知点M的横坐标为m，存在以M为端点，长度为 的线段是⊙C的旋转切线段，直接写出m的
取值范围．
