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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北师大实验中学九上期中数学模拟试卷
（时间：60分钟 满分：100＋10分）
一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式的特征计算即可．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴顶点坐标为 ；
故选:B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象顶点式 的图象性质，准确分析计算是解题的关键．
2. 抛物线 与y轴的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把 代入抛物线表达式，求出y即可解决．
【详解】解：把 代入抛物线表达式，得 ，
抛物线 与y轴的交点坐标是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，从数与形两个方面来理解二次函数图象与y轴
交点是解题关键．
3. 若关于x的一元二次方程 的一个根为0，则k的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 1或
【答案】C
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【解析】
【分析】根据一元二次方程根 的定义以及一元二次方程的定义，将 代入方程，得 ，并使得
二次项系数不为0，可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有一个根为0，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根的定义是解题
的关键．
4. 已知二次函数 ，下列关于其图像的结论中，错误的是（ ）
A. 开口向上 B. 关于直线 对称
C. 当 时，y随x的增大而增大 D. 与x轴有交点
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质及 的取值判定物线与x轴的交点，逐一判断即可．
【详解】解：A、二次函数 ， ，
则图象开口向上，故本选项结论正确，不符合题意；
B、对称轴是直线 ，故本选项结论正确，不符合题意；
C、 ，对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，故本选项结论正确，不符合题意；
D、当 时，方程 的 ，方程无解，抛物线与x轴没有交点，故本选项
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结论错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5. 下列关于圆的论断中，错误的是（ ）
A. 顶点在圆上的角叫圆周角 B. 垂直于弦的直径一定平分这条弦
C. 同弧或等弧所对的圆周角相等 D. 圆心到切线的距离等于半径的长度
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理、垂径定理、三角形内心以及切线的性质判断即可．
【详解】解：A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原说法错误，本选项符合题意；
的
B、垂直于弦 直径一定平分这条弦，原说法正确，本选项不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆周角相等，原说法正确，本选项不符合题意；
D、圆心到切线的距离等于半径的长度，原说法正确，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理、切线的性质定理，解本题的关键在熟练掌握
相关的定义与定理．
6. 将抛物线 平移得到抛物线 ，则这个平移过程是（ ）
A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度
C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案．
【详解】解：将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+1）2，则这个平移过程正确的是向左平移了1个单位，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．
7. 如图， 是 的直径，C、D在 上， ，则 等于（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 是 的直径，可得 ，接着求出 ，由圆内接四边形对角互补求出即
可．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形对角互补是本题的解题关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，以 为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、
D两点，点E为 上一动点， 于F，则线段 的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ，作 ，连接 ，由 可知，点F在以 为直径的圆M上移动，
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当点F在 的延长线上时， 的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出 ，
即可解答．
【详解】解：连接 ，作 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为圆心，半径为2，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴点F在以 为直径的圆M上移动，
当点F在 的延长线上时， 的长最小，最小值为 ，
故选：B．
【点睛】此题考查了垂径定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用
的辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
9. 若 ＝ ＝ ，则 ＝_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据等式的性质，可用x表示y、z，根据分式的性质，可得答案．
【详解】解：由 ＝ ＝ ，得
y＝ ，z＝ ．
＝ ＝1．
故答案为1．
【点睛】本题考查比例的性质， 分式的值.
10. 请写出一个二次函数，其图像同时满足开口向下、对称轴为直线 且经过原点： ______．
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线开口方向可确定二次项系数，结合对称轴可确定一次项系数，经过原点可确定常数项，
则可求得答案．
【详解】解：设抛物线解析式为 ，
∵抛物线开口向下，
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∴可取 ，
∵对称轴为 ，
，
解得 ，
经过原点，
，
∴满足条件的函数解析式可以是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与a的符号与关、对称轴公式为
是解题的关键．
11. 二次函数 的部分图像如右图所示，对称轴为 ，与 轴的一个交点为 ，则方
程 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】由二次函数的对称轴为 ，与x轴的一个交点为 可求出另一个交点为 ，即可求
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出方程 的解．
【详解】解：由图像可得，
二次函数 的对称轴为 ，
∵与x轴的一个交点为 ，
∴二次函数 与x轴的另一个交点为 ，
∴方程 的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是根据图像得到二次函数的对称轴，进而求出二
次函数与x轴的另一个交点．
12. 若m、n是一元二次方程 的两根，则 ______．
【答案】11
【解析】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得 ，再代入，即可求解．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程 的两根，
∴ ，
∴ ．
故答案为：11
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若 ， 是一元二次方程
的两个实数根，则 ， 是解题的关键．
13. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半
圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为______cm.
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【答案】3
【解析】
【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，连结OE，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF
的长.
【详解】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，连结OE，
∵DE＝8cm，
∴EF＝ DE＝4cm，
∵OC＝5cm，
∴OE＝5cm，
∴OF＝ cm．
故答案为3.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再根据垂径定理及勾股定理
进行解答．
14. 如图， 是 的直径， 分别与 相切于点A、C，若 ， ，则
______．
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【答案】
【解析】
【分析】先根据条件证明 是等边三角形，推出 ，再证明
即可求解．
【详解】解：∵ 分别与 相切于点A、C，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是切线， 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15. 在点A到 上任意一点的距离中，最小距离为3，最大距离为5，则 ______．
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【答案】1或4
【解析】
【分析】由于点A与 的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：设 半径为r，分两种情况：
当点A在 外时， ；
当点A在 内时， ；
故答案为：1或4．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解答此题时要注意进行分类讨论，避免遗漏．
16. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示，则a+b+c的取值范围是 ．
【答案】﹣2＜a+b+c＜0
【解析】
【分析】根据函数的图象与两坐标轴的交点可以得到当x=1是a+b+c的取值范围即可．
【详解】解：∵函数y=ax2+bx+c，
∴当x=1时，y=a+b+c，
∵函数图象与两坐标轴交于点（﹣1，0）和（0，﹣1），
∴另一个交点位于点（1，0）的右侧，则当x=1是时，函数值一定小于0且a-b+c=0，c=-1
∴当x=1时的函数值一定小于0，
故a+b+c＜0，
∵a=b-c=b+1＞0
∴a+b+c=2b＞﹣2
故答案为﹣2＜a+b+c＜0．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象与两坐标轴的交点求得另
一个交点的位置．
三、解答题（共5小题，共36分）
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17. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解： ，
移项得： ，
配方得： ，
合并得： ，
开方得： ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】先整理成一般形式，再因式分解法解方程即可．
【详解】解： ，
整理得： ，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
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19. 下表是二次函数y=ax2+bx+c（ a≠0）图象上部分点的横坐标（x）和纵坐标（y）．
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 3 0 ﹣1 0 m 8 …
（1）观察表格，直接写出m= ；
（2）其中A（x，y）、B（x，y）在函数的图象上，且﹣1＜x＜0，2＜x＜3，则y y（用“＞”或
1 1 2 2 1 2 1 2
“＜”填空）；
（3）求这个二次函数的表达式．
【答案】（1）3（2）＞（3）y=x2﹣4x+3．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据二次函数的对称性即可求出m；
（2）根据﹣1＜x＜0，2＜x＜3，它们y的范围解答；
1 2
（3）设二次函数顶点式解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，然后把点（1，0）代入求出a的值，即可得解．
试题解析：（1）观察表格，可知m=3．故答案为3；
（2）∵A（x，y）、B（x，y）在函数的图象上，且﹣1＜x＜0，2＜x＜3，
1 1 2 2 1 2
∴y＞y．故答案为＞；
1 2
（3）∵顶点是（2，﹣1），
∴设二次函数顶点式解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，
由图可知，函数图象经过点（1，0），
∴a（1﹣2）2﹣1=0，解得a=1．
∴二次函数的解析式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3．
【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．
20. 如图， 是直角三角形 的外接圆，直径 ，过 点作 的切线，与 延长线交于点
， 为 的中点，连接 ，且 与 相交于点 ．
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（1）求证： 与 相切；
（2）当 时，在 的圆上取点 ，使 ，求点 到直线 的距离．
【答案】（1）见解析 （2） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 ，根据直径所对的圆周角是直角，得出 ，进而得出
，证明 ，得出 ，即可得证；
（2）分点 在 以及半圆 上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即
可求解．
【小问1详解】
证明：如图，
为 的中点， 是 中点，
，
是 的直径，
，
，
，
又 ，
，
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，
是 切线
，
，
，
是 切线；
【小问2详解】
当点 在 上时，连接 ，交 于点 ，
，
，
，
，
直径 ，
，
，
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当点 在半圆 上时，过点 作 ，垂足为点 , ，垂足为点 ，
四边形 是矩形，
在 中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合
运用以上知识是解题的关键．
21. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 ．
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2） 、 为该抛物线上的两点，若 ， ，且 ，求a的取值范
围；
（3）点 、 、 为该抛物线上的三个点，若存在正数t使得：
，求a的取值范围．
【答案】（1）直线
（2） 或
（3） 或 ，
【解析】
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式即可求解；
（2）抛物线开口向上，根据到对称轴距离越近函数值越小列不等式求即可；
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（ 3 ） 根 据 ， ， ， 结 合
列不等式求即可．
【小问1详解】
解：已知抛物线 ，
该抛物线的对称轴为：直线 ；
【小问2详解】
∵ 、 为该抛物线上的两点，若 ， ，
∴ 到对称轴距离为 、 到对称轴距离为 ，
∵抛物线开口向上，
∴到对称轴距离越近函数值越小，
∵ ，
∴
当 即 时， ，解得 ，此时 ；
当 即 时， ，解得 ，此时 ；
综上所述， 或 ；
【小问3详解】
∵点 、 、 为该抛物线 上的三个点，
∴ ， ，
∵
∴ ，
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∴ ，
不等式 整理得 ，
解得 ，
不等式 整理得 ，
当 时， ，此时解得 ，
当 时， ，此时无解，
当 时， ，此时解得 ，
∴当 时，若 ，则不等式组 的解集为 ，满足
条件正数t，此时 ；
若 ，则不等式组 无解；
当 时， ，不等式组 的解集为 ，满足条件正数t；
综上所述，存在正数t使得： ，a的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方
程及不等式的关系．
附加题（共2小题，共10分）
22. 已知有且仅有一个正实数满足关于x的方程（x﹣1）（x﹣3）＝k，则k不可能为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 3 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题可以看作抛物线y＝（x﹣1）（x﹣3）与直线y＝k的交点问题来解答，根据题意作出图形，
结合图形可以直接得到答案．
【详解】解：如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣3）与x轴的两个交点坐标是（1，0），（3，0）．
又因为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
的
则该抛物线与y轴 交点坐标是（0，3），顶点坐标是（2，﹣1）．
所以当抛物线＝（x﹣1）（x﹣3）与直线y＝k的交点横坐标是正数时，k的取值范围是k≥3或k＝﹣1．
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观察选项，只有选项B符合题意．
故选B．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，判断出交点所在的位置是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系 中，旋转角 满足 ，对图形M、图形N和一点T给出如下定义：
将图形M绕点T逆时针旋转 得到图形 ．P为图形 上任意一点，Q为图形N上的任意一点，称
长度的最小值为图形M与图形N的“转后距”．已知点 ，点 ，点 ．
（1）当 且点T为原点时，记线段 为图形M．
①画出图形 ；
②若点C为图形N，则“转后距”为______；
③若线段 为图形N，求“转后距”；
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（2）当点T为原点时，点 在点B的左侧，点 ，记线段 为图形M，线段
为图形N，对任意旋转角 ，“转后距”大于1，求出m的取值范围；
（3）当 时，点D为 ，图形M是以D为圆心，4为半径的圆上的任意一点，点T也是 上
任意一点，图形N为直线 ，若图形M与图形N的“转后距”的最小值是1，直接写出n的值．
【答案】（1）①见解析；②2；③
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）①当 时，记线段 为图形M．图形M绕原点逆时针旋转 得到图形 即 ．
②点C为图形N，求出 最短距离；
③过点O作 于F，先证 为等边三角形， ，根据勾股定理求出
即可；
（2）点 ，点 ，可求 ，得出当点P在x轴负半轴时，
，当点P在x轴正半轴时， ，得出 ，分三种情况，当
，当点P在点B右边， ， ，列不等式 ，解得 ，当点
P在点B左边B′右边时， ， 即 解得 ，当 时，
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， ， ，当点P在 左边， ， ， 即可．
（3）当点M在以D为圆心，4为半径的圆上运动时，点 在以D为圆心8为半径的圆面上运动，分两种
情况：点D在 轴负半轴上时， 当点D在x轴正半轴上时，分别求出n的值即可．
【小问1详解】
解：①当 时，记线段 为图形M．图形M绕原点逆时针旋转 得到图形 即 ；
②∵点C为图形N，点 到 的最小距离为 ，
∴ 为图形M与图形N的“转后距”，
∴“转后距”为2，
故答案为：2；
③线段 为图形N，过点O作 于F，
根据勾股定理 ，
，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴“转后距”为 ；
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【小问2详解】
解：∵点 ，点 ，
∴ ，
∴当点P在x轴负半轴时， ，当点P在x轴正半轴时， ，
∵ ， ，
∴ ，
当点P在点B左边 右边时，
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，
∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，
解得： ，
当 时，点P与原点O重合，
， ，
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∴ ，
∴ ；
当点P在 左边，
， ，
∴ ；
综合m的取值范围为 或 ．
【小问3详解】
解：设点M为 上任意一点，T为 上任意一点，
∵ ，
∴将点M绕点T逆时针旋转 到点 ，连接 并延长交 于点K，连接 ，如图所示：
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根据旋转可知， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵当点 在 上运动时， 总等于 ，
∴连接 并延长一定交 于点 ，
∵ ，
∴点 总是在以点 为圆心， 为半径的圆上运动，
∴当点M在以D为圆心，4为半径的圆上运动时，点 在以D为圆心8为半径的圆面上运动，
点D在 轴负半轴上时，过点D作 直线 于点N，交半径为8的 于点 ，如图所示：
此时 ，
∴ ，
∵点N在直线 上，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ；
当点D在x轴正半轴上时，如图所示：
根据对称性可知，此时 ；
综上分析可知， ．
【点睛】本题考查图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，
锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理，掌握图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要
点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定
理是解题关键．
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