2023,5,29北师大实验中学高三三模数学试题答案_数学_北京师范大学附属实验中学2023届高三下学期5月热身练习（三模）数学试题（含解析）

2023 届高三数学热身练习答案
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C D B D B B B D D
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分
11 12 13 14 15
1 3 1 1 2023
120 、 ， ① ②
4 2 4 12 2024
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
a b
16. 解：（Ⅰ）由正弦定理  及7a6bcosB，
sinA sinB
得7sinA6sinBcosB3sin2B.
3
因为sinA ，所以sin2B1.
7
又因为0Bπ，
π
所以B . 【5分】
4
3
（Ⅱ）法1：选条件②：sinB .
2
π
由7a6bcosB可知cosB0,所以0B .
2
13 π
所以由sinB 可得B= .
2 3
7a
所以7a6bcosB3b，即b
3
由余弦定理b2 a2 c2 2accosB及
2
c  8 ，
7a 1
得( )2 a2 82 2a8 ，
3 2
所以5a2 9a720，
24
所以a3（a 舍去），
5
1 1 3
所以△ABC的面积为S  acsinB 38 6 3.
△ABC 2 2 2
3
法2：选条件②：sinB .
2
π
由7a6bcosB可知cosB0,所以0B .
2
3 π
所以由sinB 可得B= .
2 3
所以7a6bcosB3b，
3 3
所以sinA ，
14
3 π
因为a bb，所以AB ，
7 3
13
所以cosA 1sin2 A ，
14
8 3
所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB ，
14
csinA
由正弦定理可得a 3，
sinC
1 1 3
所以△ABC的面积为S  acsinB 38 6 3. 【13分】
△ABC 2 2 217.解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得
3
B 1 , 0 , 0 ， C 2 , 2 , 0 ， D 0 , 2 , 0 ，
P 0,0,2 .由E为棱PC的中点，得E 1,1,1 .
（ Ⅰ ） 证 明 ： 向 量 BE 0 , 1 ,，1
DC 2,0,0 ， 故 BE DC 0 . 所 以 ，
BE DC. 【4分】
（ Ⅱ ） 解 ： 向 量 BD 1 , 2 ,，0
PB 1,0, 2 .
n BD 0, x 2y 0,
设n x,y,z 为平面PBD的法向量，则 即
n PB 0, x 2z 0.
不妨令y 1，可得n 2,1,1 为平面 P B D
z
P
E
y
D C
x A
B
的一个法向量.于是有
n BE 2 3
cos n,BE .
n BE 6 2 3
3
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 . 【9分】
3
（Ⅲ）解：向量BC 1,2,0 ，CP 2, 2,2 ，AC 2,2,0 ，AB 1,0,0 .
由点F 在棱PC上，设CF CP，0 1.
故BF BC CF BC CP 1 2 ,2 2 ,2 .
由BF AC，得BF AC 0，
3 1 1 3
因此，2 1 2 2 2 2 0，解得 .即BF , , .
4 2 2 2x 0,
n AB 0,
设n x,y,z 为平面FAB的法向量，则 1 即 1 1 3
1 n BF 0, x y z 0.
1 2 2 2
不妨令z 1，可得n 0, 3,1 为平面
1
4
F A B 的一个法向量.
取平面ABP的法向量n 0,1,0 ，则
2
n n 3 3 10
cos n,n 1 2 .
1 2 n n 10 1 10
1 1
3 10
易知，二面角F AB P是锐角，所以其余弦值为 . 【14分】
10
95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96
18.解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x= =91% 【3
12100
分】
（Ⅱ）随机变量 X 的可能取值为0，1，2，3
三个周期“水站诚信度”超过 9 1 % 分别有3次，2次，3次
1 2 1 2
P(X 0)   
4 4 4 64
3 2 1 1 2 1 1 2 3 14
P(X 1)         
4 4 4 4 4 4 4 4 4 64
3 2 1 3 2 1 3 2 3 30
P(X 2)         
4 4 4 4 4 4 4 4 4 64
3 2 3 18
P(X 3)   
4 4 4 64
随机变量X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
1 7 15 9
32 32 32 32
1 7 15 9
EX 0 1 2 3 2. 【10分】
32 32 32 32（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标
准酌情给分.
给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理
由，2分.
标准1: 会用主题活动前后的百分比变化进行阐述
标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述
标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述
可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：
情况一：
结论：两次主题活动效果均好.（1分）
理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）
情况二：
结论：两次主题活动效果都不好.（1分）
理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为 93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，
活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）
情况三：
结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）
理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主
题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）
19. 解： f(x)axxlnx的定义域为(0,). 【1分】
（Ⅰ）当a1时， f(x)xxlnx，零点为xe； 【3分】
5（Ⅱ） f(x)a1lnx.
令 f(x)0，则xea1.
在区间(0,)内，
x
6
( 0 , e a  1 ) e a  1 ( e a  1 ,   )
f(x)  0 
f(x)
极大值
当ea11（即a1）时，在[1,e]上 f ( x ) 单调递减， f(x)  f(1)a. 当 ea1e （ 即
max
a2）时，在[1,e]上， f(x)单调递增， f(x)  f(e)aee.
max
当1ea1e （即1a2 ）时，在[ea1 ,e上] f ( x ) 单调递增，在[1,ea1] 上 f ( x ) 单调递减，
f(x)  f(ea1)aea1ea1(a1)ea1. 【10分】
max
（Ⅲ）由（Ⅱ）知在(0,)上， f(x)  f(ea1)ea1.
max
构造函数g(a) f(ea1)aea1a，由题意，应使g(a)0. 【11分】
g(a)ea11.
令g(a)0，得a1.
a (,1) 1 (1,)
g(a)  0 
g(a)
极小值所以g(a) g(1)0.
min
所以使g(a)0的实数a只有a1，即
7
a 的取值范围是 a  1 . 【15分】
x2
20.解：（Ⅰ）椭圆C的标准方程为  y2 1.所以
3
a  3 ， b  1 ， c  2 .
c 6
所以椭圆C的离心率e  . 【3分】
a 3
（Ⅱ）因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1,y )，B(1,y ).
1 1
直线AE的方程为y1(1y )(x2).
1
2 y  y
令x3，得M(3,2y ). 所以直线BM的斜率k  1 1 1. 【7分】
1 BM 31
（Ⅲ）直线BM与直线DE平行.证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知k 1.
BM
10
又因为直线DE的斜率k  1，所以BM //DE.
DE 21
当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k 1).
y 1
设A(x ,y )，B(x ,y )，则直线AE的方程为y1 1 (x2).
1 1 2 2 x 2
1
y x 3
令x3，得点M(3, 1 1 ).
x 2
1
x2 3y2 3
由 ，得(13k2)x2 6k2x3k230.
y k(x1)
6k2 3k2 3
所以x x  ，x x  .
1 2 13k2 1 2 13k2综上可知，直线BM与直线DE平行 【15分】
21． 解：（Ⅰ）① A :1,2,1或1,3,1或1,3,2；
3
② A :1,2,4,3；（或A :1,3,4,3，A :1,3,5,3） 【4分】
4 4 4
（Ⅱ）当N 2024时，M{2,3, ,2023}.
由a 1,a a 1, ,a a 1，累加得a M ； ① 【5分】
1 2 1 M M1 M
由a 1,a a 1, ,a a 1，累加得a 2025M.② 【7分】
2024 2023 2024 M M1 M
①+②得2a 2025.又a N*，所以a 1013. 【9分】
M M M
所以数列A 的最大项a 的最小值为1013，一个满足条件的数列为
2024 M
n (n1,2, ,1013)
a  【10分】
n 2026n (n1014,1015, ,2024)
（Ⅲ）由a 1,a a 2, ,a a 2，累加得a 2M 1.
1 2 1 M M1 M
8又M N1，所以 a 2N3. 【11分】
M
同理，b 2N3.
M
所以T T {1,2, ,2N3}，card(T T )2N3. 【12分】
1 2 1 2
因为card(T)card(T )N，
1 2
所以card(T T )card(T)card(T )card(T T )3. 【14分】
1 2 1 2 1 2
所以T T 中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为
1 2
1 (n1)
2n1 (n1,2, ,N1) 
a  b 2n2 (n2,3, ,N 1)
n 2N 4 (nN) n

2N 5 (nN)
此时T T {1,2N4,2N5}. 【15分】
1 2
9