萍乡市2023—2024学年度高三二模数学试卷_2024年4月_01按日期_16号_2024届江西省萍乡市高三下学期二模考试_江西省萍乡市2023-2024学年高三下学期二模考试数学试卷

准考证号 姓名 绝密★启用前 （在此卷上答题无效） 萍乡市 2023－2024 学年度高三二模考试试卷 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷 3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题 卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的 黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.集合A x 1x2  ，B x 2xm  ，若xB的充分条件是xA，则实数m的 取值范围是 A．1,2 B． 2, C．2,2  D．2, 2.复数z(23i)(32i)，下列说法正确的是 A．z的实部为12 B．z的虚部为13i C．z1213i D． z 13 3.已知随机变量~ N  2,9 ，且P1Pa2，则a A．3 B．2 C．1 D．0       4.已知 a 2，b(1, 2)， a2b 2，则向量a与b的夹角为 π π 2π 5π A． B． C． D． 6 3 3 6 5.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个 圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为64π的球，其中圆柱 的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直 径为4 3，则该陀螺的体积为 A．48π B．56π C．64π D．72π ln2 1 2ln2 6.已知a ,b ,c ，则这三个数的大小关系为 4 2e e2 A．cba B．abc C．acb D．cab 1 {#{QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=}#}AM BM 51 7.点M 将一条线段 AB分为两段 AM 和MB，若   ，则称点M 为线段 AB MA 2 AB的黄金分割点.已知直线ya(1a1)与函数ysin(x)的图象相交，A,B,C 为相邻的三个交点，则 A．当a0时，存在使点B为线段AC的黄金分割点 B．对于给定的常数，不存在a使点B为线段AC的黄金分割点 C．对于任意的a，存在使点B为线段AC的黄金分割点 D．对于任意的，存在a使点B为线段AC的黄金分割点 8.如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为 三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有 x2 y2 三个旁心.如图2，已知F,F 是双曲线  1a0,b0的左、 1 2 a2 b2 右焦点，P是双曲线右支上一点，Q是PFF 的一个旁心.直线PQ与 1 2 MQ x轴交于点M ，若  3，则该双曲线的渐近线方程为 QP 1 A．y x B．y2x 2 2 C．y x D．y 2x 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 2a , n为奇数 n  9.数列a (nN*)的前n项和为S ，若a 1，a  1 ，则下列结论正确 n n 1 n1 , n为偶数  a n 的是 A．a 2 B．S 12 C． S 为递增数列 D．a 为周期数列 3 10 n 2n1 10.已知2a 5b 10，则下列关系正确的是 1 1 A．eab 1 B．abab C．a4b9 D．( 1)2 ( 2)2 8 a b 11.设O为坐标原点，直线l过抛物线C:y2 4x的焦点F 且与C 交于A,B两点，M,N 满     足MF 2OF ，BN 2ON ，AM 与NF 相交于点P，则下列结论正确的是 1 1 A．ABMN B．  1 MN AF   C．OPOF 0 D．ANP面积的最大值为1 2 {#{QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=}#}萍乡市 2023－2024 学年度高三二模考试试卷 数 学 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.一种春节吉祥物为分布均匀的正十二面体模型（如图），某兴趣小组在 十二个面分别雕刻了十二生肖的图案.若其中的2 个成员将该模型各随 机抛出一次，则恰好出现一次龙的图案朝上（即龙的图案在最上面）的 概率为 . 13.在ABC中，点D,E 分别在边BC ,AC上，BC 3BD，AC 2AE，若AD,BE交于 BI 点I ，则  ；当BC3,AC4,AB2时，ABI 的面积为 . IE 14.正方体ABCDABC D 的棱长为2，P为该正方体侧面CC DD内的动点（含边界）， 1 1 1 1 1 1 若PA,PB分别与直线AD所成角的正切值之和为 2 ，则四棱锥P ABCD的体积的取 值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分） 已知函数 f(x)x2lnx. （1）求 f(x)的单调区间； （2）若存在x0，使得 f(x)ax成立，求实数a的取值范围. 16.（本小题满分15分） 定义两组数据u ,v  i1,2,,n 的“斯皮尔曼系数”为变量u 在该组数据中的排名x i i i i 和 变 量 v 在 该 组 数 据 中 的 排 名 y 的 样 本 相 关 系 数 ， 记 为  ， 其 中 i i 6 n 1  (x  y )2. n  n2 1  i i i1 某校15名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表： 数学成绩的排名x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 i 知识竞赛成绩的排名y 1 5 3 4 9 8 7 6 10 2 12 14 13 11 15 i （1）试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”； （2）已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽 到数学成绩优秀的学生有X 人，试求X 的分布列和数学期望. 3 {#{QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=}#}17.（本小题满分15分） 如图所示的几何体是圆锥的一部分， A为圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心， 2π BOC ，P 是弧BC上一动点（不与B,C 重合），点M 在AB上，且 AM 3MB， 3 OA 3OB 3． π （1）当BOP 时，证明：AB平面MOP； 2 3 （2）若四棱锥M OCPB 的体积大于等于 . 16 ①求二面角B AOP的取值范围； ②记异面直线AP与BO所成的角为，求cos的最大值． 18.（本小题满分17分） y2 x2 2 已知椭圆E：  1(ab0)的离心率为 ， A,B是E 上的不同两点，且直线 a2 b2 2 AB的斜率为1，当直线AB过原点时， AB 4. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）设P(0,3)，点A,B都不在y轴上，连接PA,PB，分别交E 于C,D两点，求点P 到直线CD的距离的最大值. 19.（本小题满分17分） 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等 x x  c(ec e c) 得出悬链线的方程为y ，其中c为参数.当c1时，该表达式就是双曲余弦函 2 ex ex 数，记为coshx ，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等 2 (sinx)cosx 工程．已知三角函数满足性质：①导数：  ；②二倍角公式： (cosx)sinx ex ex cos2x2cos2x1；③平方关系：sin2 xcos2 x1.定义双曲正弦函数为sinhx ． 2 （1）写出sinhx，coshx具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质； （2）任意x0，恒有sinhxkx0成立，求实数k 的取值范围；   （3）正项数列 a  nN  满足a a 1，a 2a 2 1，是否存在实数a ，使得 n 1 n1 n 17 a  ?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 2024 8 4 {#{QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=}#}