文档内容
长郡中学 2024 届高考适应性考试（二）
数学
命题人：__________审题人__________
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知数列 满足 ，若 ，则 （ ）
A.2 B.-2 C.-1 D.
3.已知样本数据 的平均数和标准差均为4，则数据 的平均数与方
差分别为（ ）
A. B. C. D.
4.蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生
活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆
锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为 平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为
（ ）
A. 平方米 B. 平方米
学科网（北京）股份有限公司C. 平方米 D. 平方米
5.儿童玩具纸风车（图1）体现了数学的对称美.取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心
点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立
起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，纸风车的主
体部分就完成了（图2）.则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数 的最小正周期为 ，直线 是 图象的一条
对称轴，则 的单调递减区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司8.已知复数 满足 ，（其中 是虚数单位），
则 的最小值为（ ）
A.2 B.6 C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列函数中最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
10.若 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11.在正方体 中， 为 的中点， 是正方形 内部一点（不含边
界），则（ ）
A.平面 平面
B.平面 内存在一条直线与直线 成 角
C.若 到 边距离为 ，且 ，则点 的轨迹为抛物线的一部分
D.以 的边 所在直线为旋转轴将 旋转一周，则在旋转过程中， 到平面 的距离
的取值范围是
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知 的展开式中常数项为20，则实数 的值为__________.
学科网（北京）股份有限公司13.已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， .若
，则 在点 处的切线方程为__________.（用含 的表达式表示）
14.已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，右顶点为 ，过 的直线交双曲线 的右支于
两点（其中点 在第一象限内），设 分别为 的内心，则当 时，
__________； 内切圆的半径为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知在 中，内角 所对的边分别为 ，其中 .
（1）求 ；
（2）已知直线 为 的平分线，且与 交于点 ，若 ，求 的周长.
16.（本小题满分15分）
如图，已知 为等腰梯形，点 为以 为直径的半圆弧上一点，平面 平面 为
的中点， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待
量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中 的游客计划
学科网（北京）股份有限公司只游览冰雪大世界，另外 的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游
览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文
旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估
计概率.
（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为 ，求 的分布列及数
学期望；
（2）记 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为 个的概率为 ，求 的前 项和
（3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为 个的概率为 ，当
取最大值时，求 的值.
18.（本小题满分17分）
在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的
中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，则这
个圆叫蒙日圆.
已知椭圆 的蒙日圆的面积为 ，该椭圆的上顶点和下顶点分别为 ，且
，设过点 的直线 与椭圆 交于 两点（不与
两点重合）且直线 .
（1）证明： 的交点 在直线 上；
（2）求直线 围成的三角形面积的最小值.
19.（本小题满分17分）
帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数 ，函数
在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足：
.
（注： 为
的导数）
学科网（北京）股份有限公司已知 在 处的 阶帕德近似为 .
（1）求实数 的值；
（2）比较 与 的大小；
（3）若 在 上存在极值，求 的取值范围.
长郡中学 2024 届高考适应性考试（二）
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D B A C B D B AB ABD AC
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.B 【解析】由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，
所以以 ，
所以 ，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司2.D 【解析】因为 ，
所以 ，
，
所以数列 的周期为3.
所以 .
5.C 【解析】不妨设 ，则 ，
对于A项，显然 与 方向不一致，所以 ，故A项错误；
对于 项，由图知 是钝角，
则 ，故B项错误；
对于 项，由题意知点 是线段 的中点，
则易得： ，即得： ，故C项正确；
对于D项，由 ，
而 与 显然不共线，故 .即 项错误.
7.D 【解析】将 平方得 ，
所以 ，则 .
所以 ，
从而 .
学科网（北京）股份有限公司联立 ，得 .
所以 .
故 .
8.B 【解析】设 ，（其中 是虚数单位），
在复平面的对应点 ，
则
即点 的轨迹表示为焦点分别在 的椭圆，
且该椭圆的长轴为直线 ，短轴为直线 .长半轴长为 ，
半焦距 ，短半轴长为 .
因为
所以
设 在复平面的对应点 .
即点 的轨迹表示为射线 上的点.
若使得 最小，则需 取得最小值，即点 为第一象限内的短轴端点，
点 为射线 的端点时， 最小.
学科网（北京）股份有限公司二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.AB 【解析】由题意， 项， ，故 正确；
B项，在 中， ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，故B正确；
C项， ，故 ，
当且仅当 即 时等号成立， 错误；
D项， ，只有当 时才有 ，
当且仅当 即 时等号成立，故D错误.
10.ABD 【解析】令 ，即 ，代入 可得：
.
所以 ，解得 ，所以 正确､B正确；
由 可变形为 ，
因为 ，将 代入上式可得：
学科网（北京）股份有限公司，
解得 ，所以 不正确､ 正确.
11.AC 【解析】A.如图，连结 ，则 ，
因为 平面 平面 ，所以 ，
且 平面 ，
所以 平面 平面 ，
所以 ，同理 ，且 ，且 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，
所以平面 平面 ，故 正确；
B.将正方体中，分离出四棱锥 ，取 的中点 ，连结 ，
因为 平面 ，
，即 ，
则 与平面 所成角的最小值是 ，
所以 ，
因为线面角是线与平面内的线所成的最小角，
学科网（北京）股份有限公司所以平面 内不存在一条直线与直线 成 角，故B错误；
C.如图，取 的中点 ，连结 平面 ，
作 于点 ，则 ，因为 ，
则 ，
即点 到点 的距离和点 到 的距离相等，
即可点 形成的轨迹是抛物线，故 正确；
D.连结 交 于点 ，取 的中点 ，连结 ，
则点 的运动轨迹是平面 内以 为圆心， 为半径的圆，
易知 ，由 ，知 ，
且 平面 ，
所以 平面 平面 ，
所以平面 平面 ，
，
学科网（北京）股份有限公司如图， 与圆的交点分别为 ，
当点 位于点 时，点 到平面 的距离分别取得最大值和最小值，
且距离的最大值为 ，
距离的最小值为 ，
所以点 到平面 的距离的取值范围是 ，故 错误.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.1 【解析】展开式的通项为 ，
令 解得 .
.
13. 【解析】因为 ，所以 ，
即 ，
令 ，有 ，令 ，
有 ，所以 ，
，因为 为偶函数，所以 ，
由 ，令 得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
令 得 ，所以 ，
因为 为偶函数，所以 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，
即 .
14.（1）
（2）
【解析】由双曲线方程知 ，如下图所示：
由 ，则 ，
故 ，
而 ，所以 ，
故 ，
解得 ，所以 ，
若 为 内切圆圆心且 可知，
以直角边切点和 为顶点的四边形为正方形，
学科网（北京）股份有限公司结合双曲线定义内切圆半径
所以 ；
即 内切圆的半径为 ；
故答案为： ；
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 【解析】（1）根据题意可得 ，
由正弦定理得 ，
又 ，
故 ，
又 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
又 平分 ，所以 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司则 即
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
故 的周长为 .
16.【解析】（1）取 的中点 ，连接 ，则 且 ，
又 且 且 .
为平行四边形， .
又 平面 平面 平面 .
（2）取 中点为 ，连接 ，因为 为等腰梯形，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
过点 作直线 的垂线交 于点 ，
分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
为直径， .
在等腰梯形 中， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司，
.
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 则 .
，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，
设平面 与平面 所成的角为 ，
则 ，
平面 与平面 所成角的余弦值为 .
17.【解析】（1）据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为 ，得到1份文旅纪念品；既游览冰雪大
世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为 ，获得2份文旅纪念品，则 的可能取值为 ，
其中 ，
，
，
，
所以 的分布列为
学科网（北京）股份有限公司3 4 5 6
.
（2）因为 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为 个，
则只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，
于是 ，
则 ，
于是 ，
两式相减，得
，
所以 .
（3）设只游览冰雪大世界的人数为 ，
则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为 ，
因此游客得到纪念品的总个数 ，
此时 ，
假定 取最大值，必有 ，于是 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，整理得 ，
解得 ，而 ，则 ，
所以当 取最大值时， .
18.【解析】（1）根据题意，蒙日圆的半径为 ，所以 .
因为 ，可知 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 ，
因为直线 过点 ，可知直线 的斜率存在，且直线 与椭圆必相交，
可设直线 ，
联立方程 ，消去 可得 ，
由根与系数的关系可得：
因为 ，可得直线 ，直线 ，
所以
.
学科网（北京）股份有限公司即 ，解得 ，
所以直线 的交点 在直线 上.
（2）设直线 与直线 的交点分别为 ，
则由（1）可知：直线 ，直线 .
联立方程 和 ，
解得
因为 ，
又因为点 到直线 的距离 ，
可得 ，只需求 的最小值.
由弦长公式可得
.
令 ，则 .
可得 ，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时等号成立.
即 的最小值为 ，可得 面积的最小值为 .
故直线 围成的三角形面积的最小值为 .
19.【解析】（1）由 ，有 ，
可知 ，
由题意， ，所以 ，所以 .
（2）由（1）知， ，令 ，
则 ，
所以 在其定义域 内为增函数，又 ，
时， ；
时， ；
所以 时， ；
时， .
（3）由 ，
学科网（北京）股份有限公司.
由 在 上存在极值，
所以 在 上存在变号零点.
令 ，
则 .
（1） 时， 为减函数， ，
在 上为减函数， ，无零点，不满足条件.
（2）当 ，即 时， 为增函数， ，
在 上为增函数， ，无零点，不满足条件.
（3）当 ，即 时，令 即 ，
.
当 时， 为减函数；
时， 为增函数，
；
令 ，
在 时恒成立，
学科网（北京）股份有限公司在 上单调递增， ，
恒成立；
，
，
则 ，
，
；
，
令 ，
令
，
则 在 是单调递减， ，
所以 ，
，
令 ，则 ，
.
学科网（北京）股份有限公司，即 .
由零点存在定理可知， 在 上存在唯一零点 ，
又由（3）知，当 时， 为减函数， ，
所以此时， ，在 内无零点，
在 上存在变号零点，
综上所述实数 的取值范围为 .
学科网（北京）股份有限公司
