文档内容
参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A
2021 级高三校际联合考试
数学试题
2024.04
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知幂函数图像过点 ，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
3．已知 ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 各项均为正数，首项 ，且数列 是以 为公差的等差数列，则 （
）
A． B． C．1 D．9
6．已知棱长为1的正方体 ，以正方体中心为球心的球 与正方体的各条棱相切，若点
在球 的正方体外部（含正方体表面）运动，则 的最大值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．2 B． C． D．
7．已知 是定义域为 的偶函数， ，若 是偶函数，则
（ ）
A． B． C．4 D．6
8．如图，已知四面体 的棱 平面 ，且 ，其余的棱长均为 ．四面体 以
所在的直线为轴旋转 弧度，且四面体 始终在水平放置的平面 的上方．如果将四面体
在平面 内正投影面积看成关于 的函数，记为 ，则函数 的最小正周期与 取得
最小值时平面 与平面 所成角分别为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件 ，“乙正面向上”为事件 ，“甲、
乙至少一枚正面向上”为事件 ，则下列判断正确的是（ ）
A． 与 相互独立 B． 与 互斥 C． D．
10．已知函数 的部分图像如图中实线所示，图中圆 与
的图像交于 两点，且 在 轴上，则下列命题正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．函数 的最小正周期是
B．函数 在 ．上单调递减．
C．函数 的图像向左平移 个单位后关于直线 对称
D．若圆 的半径为 ，则
11．已知 是曲线 上不同的两点， 为坐标原
点，则（ ）
A． 的最小值为3
B．
C．若直线 与曲线 有公共点，则
D．对任意位于 轴左侧且不在 轴上的点 ，都存在点 ，使得曲线 在 两点处的切线垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设 为虚数单位．若集合 ，且 ，则 _________．
13．已知 轴为函数 图像的一条切线，则实数 的值为_________．
14．“ 序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于 或1．设 是一个有限“
序列” 表示把 中每个都变为 ，每个0都变为 ，每个1都变为0，1，得到新的有
序实数组．例如： ，则 ．定义 ，若
学科网（北京）股份有限公司中1的个数记为 ，则 的前10项和为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
的内角 的对边分别为 ．分别以 为边长的正三角形的面积依次为 ，且
．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 ．
16．（15分）
在三棱锥 中， 平面 ，点 在平面 内，且满足平面 平面
．
（1）求证： ；
（2）当二面角 的余弦值为 时，求三棱锥 的体积．
17．（15分）
某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．
（1）已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责
人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为 ，求 的最有可能的取值；
（2）该公司统计了七个部门测试的平均成绩 （满分100分）与绩效等级优秀率 ，如下表所示：
32 41 54 68 74 80 92
0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根 据 数 据 绘 制 散 点 图 ， 初 步 判 断 ， 选 用 作 为 回 归 方 程 ． 令 ， 经 计 算 得
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（ⅰ）已知某部门测试的平均成绩为60，估计其绩效等级优秀率；
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩 ，其中 近似为样本平均数 近似
为样本方差 ．经计算 ，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率．
参考公式与数据：① ．
②线性回归方程 中， ．
③若．随机变量 ，则 ，
．
18．（17分）
在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左焦点为 ，过点 且与
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知直线 与粗圆 相切，与圆 相交于 两点，设 为圆 上任意一点，求
的面积最大时直线 的斜率．
19．（17分）
已知函数 ．
（1）判断函数 在区间 上的零点个数，并说明理由；
（2）函数 在区间 上的所有极值之和为 ，证明：对于
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