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东城区 2022—2023 学年第一学期期末统一检测初三数学
一、选择题（每题2分，共16分）
1. 若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】C
【解析】
【分析】将 代入方程 ，即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有一个根为 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将 代入方程是解题的关键．
2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A. 正方形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 正五边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形 的概念求解即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，本选项正确；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后与
原图形重合．
3. 关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数 的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据
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学科网（北京）股份有限公司定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．
【详解】解：∵在二次函数 中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐
标求出最值．
4. 一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列
事件是确定事件的为（ ）
A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球
C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球
【答案】A
【解析】
【分析】列出摸出的三个球的颜色的所有可能情况即可．
【详解】根据题意可得，摸出的三个球的颜色可能为：两个白球，一个黑球；一个白球，两个黑球；三个
黑球，
则可知摸出的三个球中，至少有一个黑球，
故必然事件是至少有一个黑球，
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增
长率为x，根据题意可得方程（ ）
A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461
C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根
据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）
2=461，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．
6. 如图，在 中， 是直径，弦 的长为5，点D在圆上，且 ， 则 的半径为（
）
A. B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ,由题意易得 ，在 中解三角形求解．
【详解】连接 ,
在 中， 是直径，
，
在 中，
， ，
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查圆周角定理及含 直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含 直角三角形
的性质是解题的关键．
7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点
C，D，延长AC，BD交于点P．若 ，⊙O的半径为6cm，则图中 的长为（ ）
A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 4π cm
【答案】B
【解析】
【分析】连接 OC、OD，利用切线的性质得到 ，根据四边形的内角和求得
，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接OC、OD，
分别与 相切于点C，D，
∴ ，
，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司的长 ，
故选：B
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及
弧长的计算公式是解题的关键．
8. 如图，正方形 和 的周长之和为 ，设圆的半径为 ，正方形的边长为 ，阴影部
分的面积为 ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关
系分别是（ ）
A. 一次函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，二次函数关系
.
C 二次函数关系，二次函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到 ，再根据 得到
，由此即可得到答案．
的
【详解】解：∵正方形 和 周长之和为 ，圆的半径为 ，正方形的边长为 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌
握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
二、填空题 (每题2分，共16分）
9. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与y轴交于点C，则点C的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】令 ，代入抛物线 ，得到点C的纵坐标，即可得解．
【详解】解：依题意，令 ，得到 ，
故抛物线 与y轴交于点C的坐标为 ，
故答案为 ：
【点睛】本题考查了二次函数与y轴交点问题，令 ，即可得到抛物线与y轴交点的纵坐标．
10. 把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为
_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
【详解】解：抛物线 ，
向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
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学科网（北京）股份有限公司得到
即
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．
11. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程 有两个不相等的实数根，则c的值可以是
____________．
【答案】0，（答案不唯一， 即可）．
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案．
【详解】解：因为方程 有两个不相等的实数根，
所以
解得
故答案为：0，（答案不唯一， 即可）
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
12. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，
在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）
【答案】0.9
【解析】
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这
个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，
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学科网（北京）股份有限公司∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
13. 以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若
A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．
【答案】（2，﹣1）
【解析】
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得
到点C的坐标．
【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
14. 如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接
CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于___________．
【答案】20°##20度
【解析】
【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周
角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．
【详解】解：连接OA，如图，
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学科网（北京）股份有限公司∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC= ∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：
弧田面积 （弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧
所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 ，半径等于4米的弧田，按照上
述公式计算出弧田的面积约为______ 米 ．（ ）
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意可知 于 D，交圆弧于 C，由题意得 米， 解得
米，再求出 ，最后由勾股定理得到 ，由垂径定理求出 即可得出结果．
【详解】解：如图，由题意可知，
， ， （米），
，
（米）
（米）
（米）
（米）
弧田面积
（平方米）
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．
16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面
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学科网（北京）股份有限公司内有一个矩形 ，中心为O，在矩形外有一点P， ，当矩形绕着点O旋转时，
则点P到矩形的距离d的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分别求出当 过 的中点 E时，此时点 P与矩形 上所有点的连线中，
；当 过顶点A时，此时点P与矩形 上所有点的连线中， ；当 过顶点
边中点F时，此时点P与矩形 上所有点的连线中， ，即可求解．
【详解】解：如图，当 过 的中点E时，此时点P与矩形 上所有点的连线中， ，
，
∴ ；
如图，当 过顶点A时，此时点P与矩形 上所有点的连线中， ，
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学科网（北京）股份有限公司矩形 ，中心为O，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当 过顶点 边中点F时，此时点P与矩形 上所有点的连线中， ，
，
∴ ；
综上所述，点P到矩形的距离d的取值范围为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出临界点时点d的值是解题的关键．
三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）
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学科网（北京）股份有限公司17. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在 上．
求作： 的切线 ．
作法： ①作射线 ；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线 于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线 ．
则直线 即为所求作的 的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接 ， ．
由作图可知，
， ．
∴ ．
∵ 点A在 上，
∴直线 是 的切线( ) (填写推理依据) ．
【答案】（1）见解析；
（2） ； ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；
（2）结合作图，完成证明过程即可．
【小问1详解】
补全图形如图所示，
【小问2详解】
证明：连接 ， ．
由作图可知，
， ．
∴ ，
∵ 点A在 上，
∴直线 是 的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
故答案为： ； ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．
18. 如图， 是 的直径，弦 于点E， ，若 ，求 的长.
【答案】 .
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由垂径定理得到 ，推出 ，在 中，利用勾股定理即可求解.
【详解】解：如图，连接 ．
∵ 是 的直径，弦 于点E，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
19. 下面是小聪同学用配方法解方程： 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得： ．①
二次项系数化为1，得： ．②
配方，得 ．③
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学科网（北京）股份有限公司即 .
∵ ，
∴ ．④
∴ ， ．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
【答案】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
（2）不正确，解答从第③步开始出错， ，
【解析】
【分析】（1）根据等式的性质2即可写出依据；
（2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解．
【小问1详解】
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
【小问2详解】
不正确，解答从第③步开始出错，
正确的步骤为：
配方，得 ．③
即
∵ ，
∴ ．④
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ．⑤
此方程的解为 ， ．
【点睛】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据．
20. 如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；
【答案】（1） ， ；（ ）交点M的坐标为（2，-3）．
2
【解析】
【分析】（1）将点A、点B坐标代入函数解析式，求解方程组即可；
（2）设直线AB的解析式为： ，将点A、点B坐标代入函数解析式求解确定解析式，然
后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M的坐标．
【详解】解：（1）将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得： ，
， ；
∴
（ ）设直线AB的解析式为： ，
2
将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
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学科网（北京）股份有限公司，
解得： ，
一次函数解析式为： ，
∴
由（1）得二次函数解析式为： ，
对称轴为： ，
直线 与 的交点为M，
当 时， ，
∴
交点M的坐标为（2，-3）．
∴【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数
的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键．
21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 ， ， 均为格点(每个小正方形的顶
点叫做格点)．
（1）作点 关于点 的对称点 ；
（2）连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，点 的对应点为 ，画出旋转后的
线段 ；
（3）连接 ， ，求出 的面积（直接写出结果即可）．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据网格的特点作出点 关于点 的对称点 ；
（2）根据题意，画出旋转后的线段 ，即可求解；
（3）根据网格的特点，以及三角形面积公式求得面积即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，点 即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，线段 即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，网格中求三角形面积，数形结合是解题的关键．
22. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚
平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的
心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为
“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞
天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A，B，C，用画树状图
或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．
【答案】
【解析】
【分析】先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出小明和小亮选择相同模块的结果，然后利用
概率公式计算即可得．
【详解】解：由题意，画树状图如下：
由图可知，所有等可能的结果共有9种，其中，小明和小亮选择相同模块的结果有3种．
则小明和小亮选择相同模块的概率为 ，
答：小明和小亮选择相同模块的概率为 ．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
23. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．
【答案】（1）见解析 （2） ，
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）判断判别式的符号，即可得证；
（2）求出判别式的值最小时的m的值，再解一元二次方程即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∵ ，
∴ ．
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：由题意可知，当 时， 的值最小．
将 代入 ，得
解得： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程．熟练掌握判别式与根
的个数的关系，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．
24. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图
所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度 (单位：m)与水平距离 (单位：m)
近似满足函数关系 ．某位同学进行了两次投掷．
（1）第一次投掷时，实心球的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 4 6 8 10
竖直距离y/m
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学科网（北京）股份有限公司根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 ；
（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离 近似满足函数关系 ．记实
心球第一次着地点到原点的距离为 ，第二次着地点到原点的距离为 ，则 _____ (填“＞”
“＝”或“＜”)．
【答案】（1） ，
（2）＞
【解析】
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，并利用待定系数
法得到抛物线解析式；
（2）设着陆点的纵坐标为0，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标即为 和 ，
然后进行比较即可．
【小问1详解】
解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为 ，
所以实心球竖直高度的最大值为 ，
设抛物线的解析式为： ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为： ；
【小问2详解】
解：第一次抛物线解析式为 ，
令 ，得到 ，（负值舍去），
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学科网（北京）股份有限公司第二次抛物线的解析式为 ，
令 ，得到 ，（负值舍去）
，
，
故答案为：>
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数
关系式．
25. 如图，点 在以 为直径的 上， 平分 交 于点D，交 于点E，过点D作
交 的延长线于点F．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 °， ，求DF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，证明 可得结论；
（2）再 中， ， ，得到 ， ，再在 中，由
，继而求得 ；
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：连接 ．
∵ 是 的直径， 平分 ，
∴ .
又∵ ，
∴ ．
即 ．
∴ 直线 为 的切线．
【小问2详解】
解：∵ 是 的直径，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ,
，
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学科网（北京）股份有限公司设 则 ，
又 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
故
【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，
等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．
26. 已知二次函数 ．
（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
（2）已知点 都在该二次函数图象上，
①请判断 与 的大小关系： （用“ ”“ ”“ ”填空）；
②若 ， ， ， 四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
【答案】（1）抛物线与y轴交点的坐标为 ，对称轴
（2）① ； ②
【解析】
【分析】（1） ，可得抛物线与y轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可求解；
（2）①根据题意可得点 关于直线 对称，即可求解；②根据题意可得点
在对称轴的左侧，点 在对称轴的右侧，然后分两种情况：当 时，当
时，即可求解．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：令 ，则 ，
∴抛物线与y轴交点的坐标为 ．
对称轴 ．
【小问2详解】
解：① ∵函数图象的对称轴为直线 ，
∴点 关于直线 对称，
∴ ，
故答案为： ；
②∵函数图象的对称轴为直线 ， ，
∴点 在对称轴的左侧，点 在对称轴的右侧．
当 时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴ ，不合题意．
当 时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则 ，
， ， ， 四个函数值可以满足 ，
∴ ，
即当 时， ，当 时， ．
解得 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
27. 如图， 是等腰直角三角形， ， 为 延长线上一点，连接 ，将
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，过点 作 于点 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）依题意补全图形；
（2）比较 与 的大小，并证明；
（3）连接 ， 为 的中点，连接 ，用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2） ，见解析
（3） ，见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质画图即可；
（2）根据旋转的性质以及等腰直角三角形可以得到全等三角形，再根据全等三角形的性质即可求出结论；
（3）根据题意画出已知图形，再根据图形得到全等三角形，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的
性质即可求出结论．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示
【小问2详解】
解： ，理由如下：
∵
∴
∵
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴
由题意可知，
∴
∴
在 和 中
∴ ≌
∴
∵
∴
∴
【小问3详解】
解： 理由如下：
连接 ，
∵ ， 为 的中点，
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学科网（北京）股份有限公司∴
∵
∴
在 和 中
∴ ≌
∴ ，
∴
即
∴ 为等腰直角三角形
∴
∵ ，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等相关知识点，掌握全等三角形的
性质和旋转的性质是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，我们给出如下定义：将图形M绕直线 上某一点P顺时针旋转 ，
再关于直线 对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．
已知点 ．
（1）若点P的坐标是 ，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________；
（2）若点A 关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
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学科网（北京）股份有限公司（3）已知 的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在 上且不与点A重合．
若线段 ，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在 及其内部，求此时 P点坐标及点B的
纵坐标 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） ， ，
【解析】
【分析】（1）根据二次关联图形 的定义分别找到 和 ，过点 作 轴于点 D，可证得
，从而得到 ，即可求解；
（2）根据题意得：点P位于x轴 的下方，设点P的纵坐标为m，过点P作 轴于点E，过点 作
轴交 延长线于点F，坐标为m，表达点 的坐标，可得出结论；
（3）由（2）可知，点 的坐标，由A关于点P的二次关联图形在 上且不与点A重合可得出点 的
坐标，由线段 ，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在 及其内部，找到临界点 ，可
得出 的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出 的取值范围．
【小问1详解】
如图1，根据二次关联图形的定义分别找到 和 ，过点 作 轴于点D，
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学科网（北京）股份有限公司∴
由旋转可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 和 关于直线 对称，
∴点 ，
即点A关于点P的二次关联图形的坐标为 ；
故答案为：
【小问2详解】
解：根据题意得：点P位于x轴的下方，
设点P的纵坐标为m，
如图，过点P作 轴于点E，过点 作 轴交 延长线于点F，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
根据题意得：点A和点 关于直线 对称，
∴ ，
解得： ，
∴点P的坐标为 ，
【小问3详解】
解：设点P的纵坐标为n，
由（2）得： ，
∴ ，
∵ 在 上，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴点P的坐标为 ，
∵ ， 其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在 及其内部，
此时点 是一个临界点，连接 ，如图，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ 是等边三角形，
过点 作 轴于点M，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由对称性得：另一个点的坐标为 ，
∴ 的取值范围为 ．
【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关
知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．
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