文档内容
北京市房山区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题
阅卷人
一、单选题
得分
1．当x=0时，点P(x，y)一定在（ ）
A．x轴 B．y轴 C．坐标原点 D．第一象限
2．在如图所示的四个函数图象中，y的值随x的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形线 B．阿基米德螺旋线
C．科克曲线 D．赵爽弦图
4．下列几个常见统计量中能够反映一组数据变化范围大小的是（ ）
A．方差 B．中位数 C．众数 D．极差
5．方程x2−x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB=2，则▱ABCD的面积为
1 / 28（ ）
A．4√3 B．4√2 C．3√3 D．8
7．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生
参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ）
2 / 28A．S2 x
甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙
C．S2 >S2 ，x =x D．S2 =S2 ，x 0时，y的取值范围是 ；
②当−31 时，对于 x 的每一个值，函数 y=mx(m≠0) 的值大于一次函数 y=kx+b 的值，直
接写出 m 的取值范围．
25．居家学习期间，为提高学生的身体素质，某中学开展了以“运动战疫情，跳出我青春”为主题的线
上跳绳比赛，同学们通过拍摄视频的方式记录下1分钟内的跳绳个数．该学校共有400名同学参加了本
次活动，我们从中随机抽取了40名同学的1分钟跳绳个数作为成绩数据，并对数据进行整理、描述和分
析．下面给出了部分信息．
a.40名同学1分钟跳绳成绩的频数分布表和频数分布直方图如下：
40名同学1分钟跳绳成绩的频数分布表（表1）
跳绳成绩x（个） 频数 频率
60≤x<80 2 0.05
80≤x<100 8 0.20
100≤x<120 m 0.15
120≤x<140 8 0.20
140≤x<160 n k
160≤x<180 6 0.15
180≤x<200 6 0.15
合计 40 1.00
7 / 28b.40名同学1分钟跳绳成绩在120≤x<140这一组的数据如下表（表2）所示：
跳绳成绩（个） 120 125 128 135
频数 3 2 1 2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表1中m的值为 ；k的值为 ．
（2）补全该校40名学生1分钟跳绳成绩频数分布直方图．
（3）样本数据的中位数是 ．
（4）学校准备对1分钟跳绳成绩“不少于180个”以上的同学进行表彰，通过分析样本数据，估计
400名参与者中可获得表彰的有 名．
26．在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x的图象与函数y=−kx+3的图象交于点A(1，m)．
（1）求k的值；
（2）过点A作x轴的平行线l，直线y=2x+b与直线l交于点B，与函数y=−kx+3的图象交于点C，
与x轴交于点D．当点BD=2BC时，求b的值．
27．矩形ABCD中，点M是对角线BD上的一个动点（点M不与点B，D重合），分别过点B，D向射线
AM作垂线，垂足分别为点E，F，点O为BD的中点．
8 / 28（1）如图1，当点M与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系，并加以证明；
（2）当点M运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，
并加以证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于A，B两点给出如下定义：若点A到x、y轴的距离中的最大值等于
点B到x、y轴的距离中的最大值，则称A，B两点为“同值点”．
例如，图中的A，B两点即为“同值点”．
（1）已知点P的坐标为(−2，3)，
①在点C(3，−5)，D(0，2)，E(−3，1)中，是点P的“同值点”的有 ；
②若点Q在直线y=x−5上，且P，Q两点为“同值点”，则点Q的坐标为
；
（2）若M (−1，m )，M (2，m )是直线l：y=kx+1(k<0)上的两点，且M 与M 为“同值点”，
1 1 2 2 1 2
求k的值．
9 / 28答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解∶当x=0时，点A (x，y)一定在y轴上．
故答案为：∶B．
【分析】根据y轴上点坐标的特征可得答案。
2．【答案】A
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A．y的值随x的值增大而增大，故本选项符合题意；
B．y的值随x的值增大而减小，故本选项不符合题意；
C．对称轴左边，y的值随x的值增大而增大，对称轴右边，y的值随x的值增大而减小，故本选项不符
合题意；
D．y的值随x的值增大而增大，然后随x的值增大而减小，又随x的值增大而增大，故本选项不符合题
意，
故答案为：A．
【分析】根据函数图象及函数的性质逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：在数据统计中，能反映一组数据变化范围大小的指标是极差，
故答案为：D．
10 / 28【分析】利用众数、极差、方差和中位数的定义及计算方法逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】一元二次方程x2-x+1=0的判别式，
∆=1-4=-3<0，
所以，方程无实数根，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
6．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△AOB是等边三角形，AB=2，
1
∴S = ×√3×2=√3，
△AOB 2
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∴S =S =S =S =√3，
△AOB △AOD △COD △BOC
∴S▱ABCD=43，
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD，所以S△AOB=S△AOD=S△COD=S△BOC=3，再求出
S▱ABCD=43即可。
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意得：甲所中学5名学生的成绩为60，70，70，60，80，
乙所中学5名学生的成绩为70，80，80，70，90，
1 1
∴x = (60+70+70+60+80)=68，x = (70+80+80+70+90)=78，
甲 5 乙 5
1
S2 = [(60−68) 2+(70−68) 2+(70−68) 2+(60−68) 2+(80−68) 2 ]=56，
甲 5
1
S2 = [(70−78) 2+(80−78) 2+(80−78) 2+(70−78) 2+(90−78) 2 ]=56，
乙 5
∴S2 =S2 ，x 0时，y的取值范围是y＜-3；②当−30，
∴方程有两个不同的实数根．
（2）解：∵要使方程有两个相等的非零实数根，
∴△=m2−4n=0，
取m=2，n=1，则原方程为x2+2x+1=0，
解得：x =x =1．
1 2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）将m、n的值代入x2+mx+n=0，再求解即可。
24．【答案】（1）解：∵一次函数 y=kx+b(k≠0) 由 y=x 平移得到，
∴k=1 ，
将点（1，2）代入 y=x+b 可得 b=1 ，
∴一次函数的解析式为 y=x+1 ；
（2）解：当 x>1 时，函数 y=mx(m≠0) 的函数值都大于 y=x+1 ，即图象在 y=x+1 上方，由下
图可知：
临界值为当 x=1 时，两条直线都过点（1，2），
∴当 x>1，m>2 时， y=mx(m≠0) 都大于 y=x+1 ，
又∵x>1 ，
20 / 28∴m 可取值2，即 m=2 ，
∴m 的取值范围为 m≥2 ．
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据一次函数 y=kx+b(k≠0) 由 y=x 平移得到可得出k值，然后将点（1，
2）代入 y=x+b 可得b值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当 x=1 时，两条直线都过点
（1，2），即可得出当 x>1，m>2 时， y=mx(m≠0) 都大于 y=x+1 ，根据 x>1 ，可得 m 可取
值2，可得出m的取值范围．
25．【答案】（1）6；0.10
（2）解∶n=40×0.10=4，
补全图形如下：
（3）125
（4）60
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】(1)解∶根据题意得∶m=40×0.15=6，
k=1−0.05−0.20−0.15−0.20−0.15−0.15=0.10；
故答案为∶6，0.10
(3)解：根据题意得： 位于样本中的第20，21位的数为125，125，
125+125
∴样本数据的中位数是 =125；
2
故答案为：125
(4)解：估计400名参与者中可获得表彰的有400×0.15=60名，
故答案为：60
【分析】（1）利用总人数乘以“100≤x<120”的频率可得m的值，再求出k的值即可；
（2）先求出n的值，再作出频数直方图即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
21 / 28（4）先求出“不少于180个”以上的百分比，再乘以400可得答案。
26．【答案】（1）解：把A(1，m)代入y=2x得：m=2，
∴A(1，2)，
把A(1，2)代入y=−kx+3得：2=−k+3，
解得：k=1；
b 2−b
（2）解：在y=2x+b中，令y＝0，解得：x=− ，令y＝2，解得：x= ，
2 2
b 2−b
∴D（− ，0），B（ ，2），
2 2
3−b
{ x=
{y=−x+3 3
联立 ，解得： ，
y=2x+b b+6
y=
3
3−b b+6
∴C（ ， ），
3 3
∵BD=2BC，
√ 2−b b 2 √ 3−b 2−b 2 b+6 2
∴ ( + ) +22=2 ( − ) +( −2) ，
2 2 3 2 3
解得：b=±3．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；直角坐标系内两
点的距离公式
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入y=2x求出m的值，再将点A的坐标代入y=−kx+3求出k的
值即可；
（2）先求出点D、B的坐标，再联立方程组求出点C的坐标，再结合BD=2BC，可得
22 / 28√ 2−b b 2 √ 3−b 2−b 2 b+6 2
( + ) +22=2 ( − ) +( −2) ，最后求出b的值即可。
2 2 3 2 3
27．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OD=OB
∵DF⊥AC，BE⊥AC
∴DF//BE
∴∠FDO=∠EBO
在△FDO和△EBO中
∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠FOD=∠EOB，
∴△FDO≌△EBO
∴OE=OF
（2）证明：补图如图所示，（1）中的结论仍然成立，理由如下：
延长FO交BE于点G
∵DF⊥AM，BE⊥AM
∴DF//BE
∴∠FDO=∠GBO
∵四边形ABCD是矩形
∴OD=OB
在△FDO和△GBO中
∠FDO=∠GBO，OD=OB，∠FOD=∠GOB，
∴△FDO≌△GBO
∴OF=OG即点O为FG中点
1
在Rt△EFG中，OE= FG=OF
2
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先证明△FDO≌△EBO，再利用全等三角形的性质可得OE=OF；
23 / 28（2）延长FO交BE于点G，先证明△FDO≌△GBO，可得OF=OG，即点O为FG中点，再用直角三角形
1
斜边上中线的性质可得OE= FG=OF。
2
28．【答案】（1）E；（3，-2）或（2，-3）
（2）解：∵M (−1，m )，M (2，m )是直线l：y=kx+1(k<0)上的两点，
1 1 2 2
∴m =-k+1，m =2k+1，
1 2
∵k<0，
∴-k+1>2k+1，-k+1＞1，
∴|−k+1|=−k+1>1，2k+1<1.
∵M 与M 为“同值点”，
1 2
当-2<2k+1<1时，-k+1=2，解得k=-1，
当k=-1时，2k+1=-1>-2，
∴k=-1；
当-k+1≥2时，-k+1=-2k-1，解得k=-2．
综上所述，k的值为-1或-2．
【知识点】点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】(1)解∶ ①根据题意得：点P（-2，3）到x、y轴的距离中最大值为3，
∵点C（3，-5）到x、y轴的距离中最大值为5，5≠3，
∴点C不是点P的“同值点”；
∵点D（0，2）到x、y轴的距离中最大值为2，2≠3，
∴点D（0，2）不是点P的“同值点”；
∵点E（-3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，3=3，
∴与P点是“同值点”的点是E；
故答案为：E；
②∵点Q在直线y=x−5上，且P，Q两点为“同值点”，
∴点Q坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3，
当点Q到x轴距离为3时，
若点Q的纵坐标为3时，x=8，此时点Q（8，3），到x、y轴的距离中最大值为8；
若点Q的纵坐标为-3时，x=2，此时点Q（2，-3），到x、y轴的距离中最大值为3；
当点Q到y轴距离为3时，
若点Q的横坐标为3时，y=-2，此时点Q（3，-2），到x、y轴的距离中最大值为3；
若点Q的横坐标为-3时，y=-8，此时点Q（-3，-8），到x、y轴的距离中最大值为8；
∴这些点中与P符合“同值点”的是（3，-2）或（2，-3）．
24 / 28即点Q的坐标为（3，-2）或（2，-3）；
故答案为：（3，-2）或（2，-3）；
【分析】（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；
②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“同值点”概念进行选择即可；
（2）将M (−1，m )，M (2，m )代入l：y=kx+1(k<0)得到m =-k+1，m =2k+1，再由k<0，依据
1 1 2 2 1 2
“同值点”定义可得关于k的不等式，即可解答本题。
25 / 28试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：127分
客观题（占比） 17.0(13.4%)
分值分布
主观题（占比） 110.0(86.6%)
客观题（占比） 9(32.1%)
题量分布
主观题（占比） 19(67.9%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 8(28.6%) 8.0(6.3%)
解答题 12(42.9%) 103.0(81.1%)
单选题 8(28.6%) 16.0(12.6%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (85.7%)
2 容易 (10.7%)
3 困难 (3.6%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 平均数及其计算 2.0(1.6%) 7
2 中点四边形 1.0(0.8%) 14
3 一元二次方程的根与系数的关系 10.0(7.9%) 23
26 / 284 频数（率）分布表 9.0(7.1%) 25
5 菱形的性质 1.0(0.8%) 16
6 三角形的中位线定理 5.0(3.9%) 22
7 配方法解一元二次方程 10.0(7.9%) 18
8 菱形的判定与性质 10.0(7.9%) 20
9 用样本估计总体 9.0(7.1%) 25
10 轴对称图形 2.0(1.6%) 3
11 矩形的性质 10.0(7.9%) 27
12 等腰三角形的性质 1.0(0.8%) 15
13 一元二次方程根的判别式及应用 3.0(2.4%) 5,12
一次函数与二元一次方程（组）的
14 10.0(7.9%) 26
综合应用
15 多边形内角与外角 1.0(0.8%) 11
16 定义新运算 7.0(5.5%) 28
17 矩形的判定与性质 2.0(1.6%) 6
18 频数（率）分布直方图 9.0(7.1%) 25
19 四边形-动点问题 10.0(7.9%) 27
20 方差 2.0(1.6%) 7
21 因式分解法解一元二次方程 11.0(8.7%) 10,18
22 一次函数的图象 10.0(7.9%) 24
23 一元二次方程的应用-几何问题 1.0(0.8%) 13
24 一次函数的性质 17.0(13.4%) 17,24
27 / 2825 正方形的判定 10.0(7.9%) 21
26 待定系数法求一次函数解析式 1.0(0.8%) 15
27 平行四边形的性质 10.0(7.9%) 21
28 中位数 9.0(7.1%) 25
29 两一次函数图象相交或平行问题 10.0(7.9%) 26
30 中心对称及中心对称图形 2.0(1.6%) 3
31 描点法画函数图象 7.0(5.5%) 17
32 点的坐标 9.0(7.1%) 1,28
33 菱形的判定 11.0(8.7%) 14,21
34 用图象表示变量间的关系 4.0(3.1%) 2,8
35 函数自变量的取值范围 1.0(0.8%) 9
36 直角坐标系内两点的距离公式 10.0(7.9%) 26
37 平行四边形的判定与性质 10.0(7.9%) 19,22
38 函数的图象 2.0(1.6%) 2
39 分析数据的集中趋势 2.0(1.6%) 4
40 一次函数-动态几何问题 1.0(0.8%) 16
28 / 28
