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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
房山区 2023－2024 学年度第一学期综合练习（二）
九年级数学
本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，
在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；
故选B．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．
2. 2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十八号载人飞船，神舟十八号载人
飞船与长征二号 遥十八运载火箭组合体，总重量400000多千克，总高度近60米．将400000用科学记
数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整
数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： ，
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故选：C．
3. 如图，直线 相交于点 ，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 本 题 考 查 了 对 顶 角 ， 垂 直 的 定 义 ． 解 题 的 关 键 是 采 用 形 数 结 合 的 方 法 得 到
；
根据对顶角相等求 ，由垂直的性质求 ，根据 求解．
【详解】∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选：B．
4. 下面四个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完
全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自
身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
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B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
5. 正八边形的外角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和是 是解题的关键．根据多边形的外角和
都是 即可得解．
【详解】解： 多边形的外角和都是 ，
正八边形的外角和为 ．
故选：B．
6. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，实数比较大小，数形结合是解题的关键．根据数轴可得 ，
，进一步得出 ， ，即可判断答案．
【详解】解： ，
，
又 ，
，
选项正确，符合题意；
，
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，
，
选项错误，不符合题意；
C选项错误，不符合题意；
D选项错误，不符合题意；
故选A．
7. 农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示：
种子个数 200 500 700 800 900 1000
发芽种子个
187 435 624 718 814 901
数
种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901
下面有四个判断，其中合理的是（ ）
A. 种子个数为800时，发芽种子的个数是718，所以种子发芽的概率为0.898
B. 实验种子的个数最少的那次实验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率
C. 实验种子的个数最多的那次实验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率
D. 随着参加实验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子
发芽的概率约为0.9（精确到0.1）
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值
就是这个事件的概率．
根据某研究所在相同的条件下作某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左
右，于是得到种子发芽的概率约为0.9．
【详解】解：A．应该是种子发芽的频率是0.898而不是概率，故选项A不正确，不符合题意；
B．频率不等于概率，实验种子的个数最少的那次实验得到的种子发芽的频率不一定是种子发芽的概率，
故选项B不正确，不符合题意；
C．频率不等于概率，实验种子的个数最多的那次实验得到的种子发芽的频率不一定是种子发芽的概率，
故选项C不正确，不符合题意；
D．根据某研究所在相同的条件下作某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9
左右，于是得到种子发芽的概率约为0.9，故选项D正确，符合题意．
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故选：D
8. 如图， ， ， 分别是直径为 的 的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若
，给出下而四个结论：① 的直径为4；② ；③ ；④连接 ，则
的面积是 ．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据正多边形的性质以及圆心角定理即可判断③；再利用 即可判断①；借
助勾股定理可求出 ，即可判断②；过点A作 交 延长线于点F，过点D作 交
于点E，根据等腰三角形的性质先求出 ，再利用特殊三角函数值，可求得 ，
，由勾股定理得 ，再求出 即可求解．
【详解】解：连接 ， ，
∵ ， ， 分别是直径为 的 的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ，
即
故③正确；
∵
∴ 是等边三角形， 是等腰直角三角形
∴
故①正确；
由勾股定理可得，
故②正确；
过点A作 交 延长线于点F，过点D作 交 于点E
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴
即 为等腰直角三角形
∴
∴
在 中，由勾股定理得
∴
∴
故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆，圆心角定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，含
角的直角三角形的性质，熟练掌握圆心角定理以及作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使 在实数范围内有意义，必须 ，
∴ ．
故答案为：
10. 分解因式： __________．
【答案】
【解析】
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【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
11. 方程 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进
行检验即可得．
【详解】解： ，
去分母得， ，
解得 ，
检验：将 代入 ，
∴原方程的解为 ．
故答案为： ．
12. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：
，则这四名同学成绩最稳定的是______．
【答案】丁
【解析】
【分析】本题主要考查了方差的意义，根据方差的意义求解即可，熟练掌握方差的意义是解决此题的关键．
【详解】∵ ，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的同学是丁，
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故答案为：丁．
13. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图像经过点 和 ．则 的
值为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图像上点的特征，熟练掌握以上
知识点是解题的关键．先由待定系数法求得 ，再把 点代入反比例函数解析式即可．
【详解】 反比例函数 的图像经过点 ，
，
，
反比例函数 ，
该反比例函数还过 ，
，
，
故答案为 ．
14. 如图，在 中， 是 的垂直平分线．若 ，则 的周长为______．
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【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查段垂直平分线的性质的应用，根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据三
角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故答案为：12
15. 如图，在菱形 中，点 在边 上， 与 交于点 ．若 ，
，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，首先证明
是等边三角形，得 ，求得 ，再证明 ，可得出结论．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴
∵
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∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴
∵
∴
∴
故答案为：
16. 某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别
决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为 （ 且 均为正整数）．三名
同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，下表是三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下：
三 五
一轮 二轮 四轮 总分
轮 轮
甲 9
乙 22
丙 9
则 的值为______，三名同学在五轮比赛中______获得的第二名最多．
【答案】 ①. 5 ②. 甲
【解析】
【分析】本题考查了不定方程在实际问题中的应用．合理假设是解题关键．根据“每轮分别决出第一二三
名（不并列）”及“乙的得分最高为 ”可计算出 的值．假设甲有一轮获得第一，分析三人的实际得
分情况即可求解．
【详解】解： 每轮分别决出第一二三名（不并列），
，
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，
乙的得分最高为 ，
， 均为正整数，
，
， 均为正整数，
的最小值分别为 ，
，
， ， ，
，
乙4轮得第一，1轮得第二，
设甲有一轮得第一，则甲的得分至少 ，
与甲的实际得分不符合
故甲没有一轮得第一，丙有一轮得第一，
，即丙剩下的三轮总分为3分，
剩下的三轮丙只能是3轮都是第三，
丙1轮得第一，4轮得第三，
又 乙4轮得第一，1轮得第二，三人第一、第二和第三的总数都是5，
甲4轮得第二，1轮得第三，即甲获得的第二名最多．
故答案为：5，甲．
三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，毎题6分，第22－23题，每
题5分．第24题6分，第25题5分．第26题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文
字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值和实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角三角函数值是
解答本题的关键．先求出特殊角的三角函数值、幂的运算并对绝对值、二次根式化简，再进行计算即可．
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【详解】
．
18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．
先解每一个一元一次不等式，再取解集的公共部分即可．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ，
原不等式组的解集为 ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，整式的乘法，解决本题的关键是利用整体的思想求解．
先将代数式展开得到 ，再将 化简为 ，整体代入求值即可．
【详解】解：
．
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，
，
原式 ．
20. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为3，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方
程根的判别式，解一元二次方程的一般方法．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可；
（2）先解方程得出 ，根据该方程的两个实数根的差为3，得出 ，求出m的值即可．
【小问1详解】
证明：
，
，
，
该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解： 原方程可化为 ，
，（也可用求根公式求出两根）
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，
，
该方程的两个实数根的差为3，
．
．
21. 如图，在 中， 于点 ，点 在 的延长线上，且 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定，三角函数、以及勾股定理，利用数形结合的
思想是解题的关键．
（1）根据 和平行四边形的性质即可得出 且 ，证得四边形 是平行四
边形，再根据 即可证得四边形 是矩形；
（2）根据题干条件可求得 ，再根据勾股定理即可求得 的长．
【小问1详解】
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，即 ，
且 ，
四边形 是平行四边形，
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，
，
四边形 是矩形．
【小问2详解】
解：连接 ，
在 中， ， ，
，
，
在 中， ， ，
．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像经过点 和 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
（1）用待定系数法即可得到一次函数的解析式；
（2）根据点 结合图象即可求得．
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【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象经过 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：把 代入 ，求得 ，
∴函数 与一次函数 的交点为 ，
把点 代入 ，求得 ，
当两直线平行时， ，
如图，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
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∴ ．
23. 3月22日是世界水日，世界水日的宗旨是唤起公众的节水意识、加强水资源保护．某校为提倡节约用
水、增强节约用水意识，在全校开展了节约用水知识竞赛活动．七、八、九年级各有200名学生参加了知
识竞赛活动，为了解三个年级的竞赛答题情况，从三个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析，
下面给出了部分信息：
．七年级学生的成绩整理如下（单位：分）：
6 6 6 7 7 7 7 7 7 7
0 7 9 5 5 5 7 7 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8 9
0 0 0 0 6 6 8 8 9 6
．八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成四组：
）：
其中成绩在 的数据如下（单位：分）：
．三组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均 中位 众
年级
数 数 数
七年
79.2 79
级
八年
80.3 78
级
九年
79.5 79 81
级
根据所给信息，解答下列问题：
（1） ______， ______；
（2）估计______年级学生的成绩高于本年级平均分的人数更多；
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（3）若成绩达到80分及以上为优秀，九年级抽出的20名学生中有10人优秀，估计三个年级此次竞赛成
绩优秀的总人数．
【答案】（1）80，81
（2）八 （3）310名
【解析】
【分析】（1）根据众数和中位数的定义可得出答案；
（2）分别求出七、八、九年级的成绩在平均数以上的占比，再乘以总人数可得七、八、九年级学生的成
绩高于平均分的总人数，比较即可；
（3），由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为 ，八年级成绩优秀的人数占比为 ，九年级成绩优秀
的人数占比为 ，再用总数分别乘以所占的百分比，然后求和即可．
【小问1详解】
根据七年级的成绩可知，出现次数最多的是80，所以 ，
由题意知，八年级学生的成绩中第10、第11位分别是81，81，
∴ ；
【小问2详解】
由题意知，七年级成绩在平均分以上的有10人，占总数的 ，
∴估计七年级学生的成绩高于平均分的人数为 （人）；
八年级成绩在平均分以上的有11人，占总数的 ，
∴估计八年级学生的成绩高于平均分的人数为 （人），
∵九年级成绩得平均数为79.5，中位数为79
∴九年级成绩大于平均数的人数小于10人，
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∴估计九年级学生的成绩高于平均分的人数小于 （人），
∵ ，
∴估计八年级学生的成绩高于平均分的人数更多；
【小问3详解】
由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为 ，八年级成绩优秀的人数占比为 ，九年级成绩优秀的
人数占比为 ，
∴估计三个年级此次竞赛成绩优秀的总人数 （人）．
答：估计三个年级此次竞赛成绩优秀的总人数为310人．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，求中位数和众数，样本估计总体的思想等，从统计图和表中获
取信息是解题的关键．
的
24. 如图， 是 直径，点 在 上，且 ，连接 并延长到点 ，连接 ，
若 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
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【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图1，连接 ，则 ， ， ，由 ，
可得 ，则 ，即 ，进而结论得证；
（2）由 ，可得 ，则 ， ，由
， 可 得 ， 如 图 2 ， 过 点 作 于 点 ， 则
， ， ，根据 ，求
解作答即可．
【小问1详解】
证明：如图1，连接 ，
图1
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
如图2，过点 作 于点 ，
图2
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长度为 ．
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【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，同弧所对
的圆周角相等，正弦，正切，余弦等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，切线
的判定，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，正弦，正切，余弦是解题的关键．
25. 小平在学习过程中遇到一个函数 ，下面是小平对其研究的过程，请补充完整：
（1）函数 的自变量 的取值范围是______；
（2）下表是 与 的几组对应值．
其中 的值为______；
（3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系 中，画出函数图象；
②过点 作平行于 轴的直线 ，结合图像解决问题：若直线 与函数 的图象有三个交点，
则 的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）4 （3）①见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查函数图象与性质：
（1）由分母不能为零，即可得出自变量 的取值范围；
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（2）把 代入 则可求出 的值；
（3）①根据描点，连线画出函数图象；②观察函数图象可知，在直线 时即 ，直线 与函
数 有2个交点，在 时，有3个交点，故可得结论
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
故答案为：4；
【小问3详解】
（3）①描点，连线得，
②观察函数图象可知，在直线 时即 ，直线 与函数 有2个交点，在 时，
有3个交点，
故答案为： ．
26. 在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上，设抛物线的对称轴
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为 ．
（1）若 时，求 的值；
（2）已知点 在抛物线上．若 ，比较 的大小，并说明理由．
【答案】（1） ；
（2） ，理由见解析．
【解析】
【分析】（ ）利用函数的对称性即可求解；
（ ）把点 代入函数式可得 ， ，进而得 ，
即得 或 ，根据 可得 ，即得 ，设点 关于抛
物线的对称轴 的对称点为 ，利用对称性可得 ，根据当 时， 随 的增大而
减小及 即可求解；
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解： 点 和点 在抛物线 上，且 ，
，
；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
∵抛物线过点 ，
， ，
，
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，
或 ，
∵ ，
，即 ，
设点 关于抛物线的对称轴 的对称点为 ，
点 在抛物线上，
点 也在抛物线上，
由 ，得 ，
，
当 时， 随 的增大而减小，
点 在抛物线上，且 ，
．
27. 如图，在正方形 中，E是边 上的一点（不与A，D重合），连接 ，点B关于直线
的对称点是点F，连接 ， ，直线 与直线 交于点 ，连接 与直线 交于点Q．
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（1）依题意补全图形；
（2）求 的度数；
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据正方形的性质得 ， ，根据轴对称得 ， ，
，根据三角形的外角性质及角的和差可得 根据同角的余角相等等量代换得出
，得 为等腰直角三角形，得 ，
（3）过点C作 交 延长线于点H，证 ， ，根据全等
三角形的性质可得， ，在 中， ，得结论 ．
【小问1详解】
依题意补全图形，如图．
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【小问2详解】
解： 四边形 是正方形，
， ．
点B，F是关于直线 对称，
， ， ．
．
．
，
．
，
．
，即 ．
【小问3详解】
．
证明：过点C作 交 延长线于点H．
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．
，
．
．
，
．
．
．
．
在 中， ．
．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质
与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于两点 和直线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，若点
关于点 的对称点为点 ，则称点 为点 关于直线 和点 的“垂足对称关联点”．已知点
．
（1）①点 关于 轴和点 的“垂足对称关联点”的坐标为______；
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②点 为点 关于直线 和点 的“垂足对称关联点”，则点 到直线 的距离为______；
（2）如图，点 在线段 上，点 在 轴下方，且满足 ，若直线 上存在点 关于 轴
和点 的“垂足对称关联点”，求 的取值范围．
【答案】（1）① ；②1
（2）
【解析】
【分析】（1）依据“垂足对称关联点”的定义，中点坐标公式解决即可；
（2）①以点O为圆心， 为半径作圆，当直线 与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线
的垂线，则 ，且 ，据此求出b的值；②当点D与点 重合时，点G
关于点A的对称点H最远，此时b最小，求出 ，由此得到 的取值范围为 ．
【小问1详解】
解：①如图，过点 作x轴的垂线，则垂足B所表示的数为 ，
∵ ，
∴点 关于 轴和点 的“垂足对称关联点”的坐标为 ，
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故答案为： ；
②∵ ，点 ，
∴它们 的中点的坐标为 ，即 ，
∵点 为点 关于直线 和点 的“垂足对称关联点”，
∴点 到直线 的距离为1，
故答案为：1．
【小问2详解】
①如图，以点O为圆心， 为半径作圆，当直线 与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线
的垂线，则 ，且 ，
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的
∵点D与点E 中点为O，
∴点C与点B重合，
∵ ，
∴ ,
∴ ；
②当点D与点 重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，如图，
∵ ，
∴点G关于点A的对称点H的坐标为 ,
将 代入 ，得 ，
∴ 的取值范围为 ．
【点睛】此题考查了对称的性质，一次函数的性质，坐标系中中点坐标公式，（2）根据对称的性质确定
最高点及最远点是难点，正确理解对称的性质是解题的关键．
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