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房山区 2023 年高三年级第二次模拟考试
数 学
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数 对应 的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知等比数列 的各项均为正数， 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值为（
）
A. B. C. D.
4. 已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则 的值为（ ）
.
A 2 B. C. 4 D.
5. 下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）
A. B.
C. D.6. 已知圆 的圆心在抛物线 上，且此圆 过定点 ，则圆 与直线 的位置关系为（
）
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定
的
7. 高为 、满缸水量为 鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸
水深为 时水的体积为 ，则函数 的大致图像是
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线 的方程为 ，点 ， 分别在双曲线的左支和右支上，则直线 的斜率的取值
范围是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知函数 则“ ”是“ 在 上单调递减”的（ ）
.
A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件10. 设集合 ，则（ ）
A. 当 时， B. 对任意实数 ，
C. 当 时， D. 对任意实数 ，
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若 ，则 ______．
12. 已知角 终边过点 ，角 终边与角 终边关于 轴对称，则 ______；
______．
13. 已知函数 ，给出两个性质：
① 在 上是增函数；
②对任意 ， ．
写出一个同时满足性质①和性质②的函数解析式， _______．
14. 若函数 的图象与直线 有两个交点，则这两个交点横坐标的和为
_______．
15. 如图所示，在正方体 中， 是棱 上一点，平面 与棱 交于点 ．给
出下面几个结论：
①四边形 是平行四边形；
②四边形 可能是正方形；③存在平面 与直线 垂直；
④任意平面 与平面 垂直；
⑤平面 与平面 夹角余弦的最大值为 ．
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在 中， ， ， ．
（1）求 ；
（2）若角 为钝角，求 的周长．
17. 如图，已知直三棱柱 中， ， 为 中点， ，再从条件①，条件
②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18. 2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到 小时． 某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学
生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图．
（1）从该校高一年级学生中随机抽取 人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于 小时的概率；
（2）从该校高二年级学生中随机抽取 人，这 人中平均每天的睡眠时间为 小时或 小时的人数记为
，求 的分布列和数学期望 ；
的
（3）从该校高一年级学生中任取 人，其平均每天 睡眠时间记为 ，从该校高二年级学生中任取
人，其平均每天的睡眠时间记为 ，试比较方差 与 的大小．（只需写出结论）
19. 已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的最小值；
（3）证明：
20. 已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ． 椭圆 的左、右顶点分别为
， 为椭圆 上异于 的动点， 交直线 于点 ， 与椭圆 的另一个交点为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 是否过 轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．21. 若 项 数 为 的 有 穷 数 列 满 足 ： ， 且 对 任 意 的
， 或 是数列 中的项，则称数列 具有性质 ．
（1）判断数列 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）设数列 具有性质 ， 是 中的任意一项，证明： 一定是 中的项；
（3）若数列 具有性质 ，证明：当 时，数列 是等差数列．
