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2024 北京延庆高三一模
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将答题纸交回.
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题中选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
.
A B.
C. D.
4. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离为 ，则 （
）
.
A B.
C. D.
5. 已知正方形 的边长为 ，点 满足 ，则 （ ）
.
A 4 B. 5 C. 6 D. 86. “ ”是“ 为第一或第三象限角”的（ ）
.
A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
8. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
9. 在等边 中， ， 为 所在平面内的动点，且 ， 为边 上的动点，则线
段 长度的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知在正方体 中， ， 是正方形 内的动点， ，则满足条
件的点 构成的图形的面积等于（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为________．
12. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ， ，则
________， 的面积为________．13. 已知函数 在区间 上单调递减，则 的一个取值为________．
14. 北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌 块扇
面形石板构成第一环，向外每环依次增加 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 块，向外每环依
次也增加 块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板
________块．
15. 已知函数 给出下列四个结论：
①存在实数 ，使得函数 的最小值为 ；
②存在实数 ，使得函数 的最小值为 ；
③存在实数 ，使得函数 恰有 个零点；
④存在实数 ，使得函数 恰有 个零点．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 ， 的最大值为 .
（1）求 的值；
（2）将 的图象向右平移 个单位得到 的图象，求函数 的单调增区间．
17. 第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如
下表：
9:30 单人雪橇第1轮
10:30 单人雪橇第2轮
12月16日 星期六
15:30 双人雪橇第1轮
16:30 双人雪橇第2轮
12月17日 星期日 9:30 单人雪橇第3轮10:30 单人雪橇第4轮
15:30 团体接力
（1）若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；
（2）若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记 为看到双人雪橇的次数，求 的分布列及期望
；
（3）若小明在每天各随机观看一场比赛，用“ ”表示小明在周六看到单人雪橇，“ ” 表示小明
在周六没看到单人雪橇，“ ”表示小明在周日看到单人雪橇，“ ”表示小明在周日没看到单人雪
橇，写出方差 ， 的大小关系．
18. 如图，四棱柱 的底面 是边长为 的正方形，侧面 底面 ，
， 是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角 唯一确
定，并求二面角 的余弦值．
条件①： ；
条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
19. 已知椭圆 的离心率为 ， 分别是 的上、下顶点， ，
分别是 的左、右顶点．
（1）求 的方程；
（2）设 为第二象限内 上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，求
证： ．
20. 已知函数 .
（1）若曲线 的一条切线方程为 ，求 的值；
（2）若函数 在区间 上为增函数，求 的取值范围；
（3）若 ， 无零点，求 的取值范围．
21. 已知数列 ，记集合 .
（1）若数列 为 ，写出集合 ；
（2）若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，
说明理由；
的
（3）若 ，把集合 中 元素从小到大排列，得到的新数列为 ， 若 ，
求 的最大值．
