山东日照市2024届高三下学期一模数学试题（解析版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套_2024届山东日照一模数学试题+答案

2021 级高三模拟考试
数学试题
考生注意：
1．答题前，考生务必将自百的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
A= { x|2x2 −x−1≤0 } B={ x|x>0 }
AB=
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
 1   1 
A.  − ,1  B.  − ,+∞  C. [ 0,1 ] D. ( 0,1 ]
 2   2 
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求集合A，再根据交集运算求解.
{ }  1 
【详解】由题意可得：A= x|2x2 −x−1≤0 =x|− ≤ x≤1，
 2 
所以AB=(
0,1
]
.
故选：D.
2. 已知数列 { a } 是公比为2的等比数列，且a +a =3，则a +a 等于（ ）
n 1 2 5 6
A. 24 B. 48 C. 72 D. 96
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列通项公式的性质得出结果.
【详解】因为数列 { a } 是公比为2的等比数列，且a +a =3，
n 1 2
所以a a a a q4 324 48，
5 6 1 2
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知样本空间Ω={a,b,c,d}含有等可能的样本点，且A={ a,b } ，B={ b,c } ，则P ( AB ) =（ ）
1 3
1
A. B. C. D. 1
4 2 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分别求得P ( A ) ，P(B)，P ( AB ) ，结合独立事件的定义，可判定事件A与B相互独
立，再结合对立事件的概念关系可运算得解.
1 1 1
【详解】由题意，P ( A )= ，P ( B )= ，P ( AB )= ，
2 2 4
∴P ( AB )= P ( A ) P ( B ) ，
所以事件A与B相互独立，则A与B也相互独立，
1 1 1
∴P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = P ( A )( 1−P ( B )) = × = .
2 2 4
故选：A.
4. 已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是（ ）
A. 若l与α不平行，则l与m一定是异面直线
B. 若l∥α，则l与m可能垂直
C. 若lα= A，且A∉m，则l与m可能平行
D. 若lα= A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中线、面位置关系分析逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若l与α不平行，则l与α的位置关系有：相交或直线在平面内，
且m⊂α，则l与m的位置关系有：平行、相交或异面，故A错误；
对于选项B：若l∥α，则l与m可能垂直，
如图所示：l∥l′,l′⊂α,l′⊥m，可知：l ⊥m，故B正确；
对于选项C：若lα= A，且A∉m，m⊂α，则l与m异面，故C错误；
对于选项D：若lα= A，且l与α不垂直，则l与m可能垂直，
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学科网（北京）股份有限公司如图，取α为平面ABCD，l AD,m AB，
1
符合题意，但l ⊥m，故D错误；
故选：B.
5. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决
定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（ ）
A. 9种 B. 36种 C. 38种 D. 45种
【答案】B
【解析】
【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列组合知识进行求解.
【详解】从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看，
剩余的2人，2部影片进行全排列，
故共有C2C1A2 =6×3×2=36种情况.
4 3 2
故选：B
π
6. “0<α< ”是“α3 <sinα”的（ ）
2
A. 充分不必要条件 B. 必要不死分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数以及正弦函数的性质，结合充分、必要条件分析判断.
π π
【详解】若0<α< ，例如α=1，则α3 =1,sinα<sin =1，
2 2
可知α3 >sinα，即充分性不成立；
若α3 <sinα，例如α=−2，则α3 =−8<−1≤sinα，满足题意，
 π
但−2∉ 0, ，即必要性不成立；
 2
第3页/共22页
学科网（北京）股份有限公司π
综上所述：“0<α< ”是“α3 <sinα”的既不充分也不必要条件.
2
故选：D.
7. 已知函数 f ( x )=2sinx −2cosx，则（ ）
π  π 
A. f  +x = f  −x
4  4 
( )
B. f x 不是周期函数
( )  π
C. f x 在区间0, 上存在极值
 2
( ) ( )
D. f x 在区间 0,π 内有且只有一个零点
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，由诱导公式即可判断；对于B，由三角函数周期可得 f ( 2π+x )= f ( x ) ，由此即可判断；
对于C，由复合函数单调性即可判断；对于D，令 f ( x )=2sinx −2cosx =0,x∈( 0,π ) ，解方程即可得解.
【详解】对于A，
π  π π  π  π  π π  π 
sin +x =sin −  +x =cos −x,cos +x =cos −  +x =sin −x，
4  2 4  4  4  2 4  4 
π  π   π  π 
π  sin +x cos +x sin −x cos −x π 
所以 f  +x =2 4  −2 4  =−2 4  −2 4 =−f  −x，故A错误；
 
4  4 
 
对于 B， f ( 2π+x )=2sin(2π+x) −2cos(2π+x) =2sinx −2cosx = f ( x )，所以 f ( x ) 是以2π为周期的函数，故 B
错误；
 π
对于C，由复合函数单调性可知y =2sinx,y =2cosx在区间0, 上分别单调递增、单调递减，
 2
( )  π
所以 f x 在区间0, 上单调递增，所以不存在极值，故C错误；
 2
对于D，令 f ( x )=2sinx −2cosx =0,x∈( 0,π ) ，得2sinx =2cosx，所以sinx=cosx，即该方程有唯一解（函
( ) ( ) π
数 f x 在 0,π 内有唯一零点）x= ，故D正确.
4
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司x2 y2
8. 过双曲线 − =1的右支上一点P，分别向 C :(x+4)2 + y2 =3和 C :(x−4)2 + y2 =1作切
1 2
4 12
  
( )
线，切点分别为M，N，则 PM +PN ⋅NM 的最小值为（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线
x2
−
y2
=1的左右焦点为F
(−4,0 )
，F
(
4,0
)
，连接PF ，
1 2 1
4 12
PF ，FM ，F N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可
2 1 2
得到所求值．
x2 y2
【详解】由双曲线方程 − =1可知：a=2,b=2 3,c= a2 +b2 =4，
4 12
可知双曲线方程的左、右焦点分别为F
(−4,0 )
，F
(
4,0
)
，
1 2
圆C : ( x+4 )2 + y2 =3的圆心为C (−4,0 ) （即F ），半径为r = 3；
1 1 1 1
圆C : ( x−4 )2 + y2 =1的圆心为C ( 4,0 ) （即F ），半径为r =1．
2 2 2 2
连接PF ，PF ，FM ，F N，则MF ⊥ PM,NF ⊥ PN，
1 2 1 2 1 2
        
可得 ( PM +PN ) ⋅NM = ( PM +PN ) ⋅ ( PM −PN ) = PM 2 − PN 2 = ( PF 2 −r2 ) − ( PF 2 −r2 )
1 1 2 2
( ) ( )
= PF 2 −3 − PF 2 −1 = PF 2 − PF 2 −2= ( PF − PF ) ⋅ ( PF + PF ) −2
1 2 1 2 1 2 1 2
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学科网（北京）股份有限公司( )
=2a PF + PF −2≥2a⋅2c−2=2×2×2×4−2=30，
1 2
  
( )
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即 PM +PN ⋅NM 的最小值为30.
故选：C.
    
( ) 2 2
【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得 PM +PN ⋅NM = PM − PN ，结合双曲线的定义
  
( ) ( )
整理得 PM +PN ⋅NM =2a PF + PF −2，结合几何性质分析求解.
1 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 复数z =−2−i的虚部为−1
B. 设z为复数， ( 1−i ) z =1+i，则 z =2
C. 若复数z =a+bi(a,b∈R)为纯虚数，则a=0，b≠0
D. 复数2−i在复平面内对应的点在第二象限
【答案】AC
【解析】
【分析】对于 ACD：根据复数的相关概念和几何意义分析判断；对于 B：根据复数的除法运算可得z =i，
进而结合共轭复数的概念和复数的模长运算求解.
【详解】对于选项A：复数z =−2−i的虚部为−1，故A正确；
1+i ( 1+i )2
对于选项B：因为 ( 1−i ) z =1+i，则z = = =i，
1−i ( 1−i )( 1+i )
所以 z = −i =1，故B错误；
对于选项C：若复数z =a+bi(a,b∈R)为纯虚数，则a=0，b≠0，故C正确；
对于选项D：复数2−i在复平面内对应的点为 ( 2,−1 ) ，在第四象限，故D错误；
故选：AC.
10. 从标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字a，b，记点
A ( a,b ) ，B ( 1,−1 ) ，O ( 0,0 ) ，则（ ）
7 1
A. ∠AOB是锐角的概率为 B. ∠ABO是直角的概率为
16 32
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学科网（北京）股份有限公司7 43
C. AOB是锐角三角形的概率为 D. AOB的面积不大于5的概率为
64 64
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，先得到8×8=64种情况，数形结合得到要想∠AOB为锐角，则点A应在直线l: y = x
下方，共有28个点满足要求，得到∠AOB是锐角的概率；B选项，求出直线y = x−2，要想∠ABO为
直角，则点A在y = x−2上，列举出满足要求的点的个数，B正确；C选项，要想AOB为锐角三角形，
则点A落在直线l: y = x与直线m: y = x−2之间，列举出满足要求的点，得到概率；D选项，要想
AOB的面积不大于5，则点A在x+ y−10=0上，或x+ y−10=0的下方，即x+ y−10≤0，列举出
满足要求的点，得到答案.
【详解】A选项，标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，
共有8×8=64种情况，
设l与直线OB垂直，因为k =−1，则直线l: y = x，
OB
其中64个点中，有8个落在直线l: y = x上，剩余56个点中，一半在l: y = x上方，
一半在l: y = x下方，
要想∠AOB为锐角，则点A应在直线l: y = x下方，
其中满足要求的有28个点，
28 7
故∠AOB是锐角的概率为 = ，A正确；
64 16
B选项，过点B作直线m⊥OB，
则A点落在直线m上，满足∠ABO为直角，
其中k =−1，故直线m的斜率为1，直线m的方程为y+1= x−1，即y = x−2，
OB
落在y = x−2上的点的坐标有 ( 3,1 ) , ( 4,2 ) , ( 5,3 ) , ( 6,4 ) , ( 7,5 ) , ( 8,6 ) ，共6个，
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学科网（北京）股份有限公司6 3
故∠ABO是直角的概率为 = ，B错误；
64 32
C选项，要想AOB为锐角三角形，则点A落在直线l: y = x与直线m: y = x−2之间，
根据点的坐标特征，应落在y=x−1上，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
满足要求的点有 2,1 , 3,2 , 4,3 , 5,4 , 6,5 , 7,6 , 8,7 ，共7个，
7
故AOB是锐角三角形的概率为 ，C正确；
64
D选项，直线OB的方程为x+ y =0， OB = 1+1= 2，
设直线n:x+ y+C =0，
设直线n与直线OB的距离为d，
C C
则d = = ，
1+1 2
1 1 C
令 OB ⋅d = × 2⋅ ≤5，解得−10≤C ≤10，
2 2 2
故要想AOB的面积不大于5，则点A在x+ y−10=0上，或x+ y−10=0的下方，
即x+ y−10≤0，
满足要求的点有 ( 1,1 ) , ( 1,2 ) ,, ( 1,8 ) , ( 2,1 ) , ( 2,2 ) ,, ( 2,8 ) , ( 3,1 ) , ( 3,2 ) ,, ( 3,7 ) ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6 , 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 ,5,5 ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 7,1 , 7,2 , 7,3 , 8,1 , 8,2 ，
第8页/共22页
学科网（北京）股份有限公司共8+8+7+6+5+4+3+2=43个，
43
AOB的面积不大于5的概率为 ，D正确.
64
故选：ACD
11. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为
“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与
球O ，球O 切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O ，球O 的半径分别为4和1，球心
1 2 1 2
距 OO = 34 ，则（ ）
1 2
A. 椭圆C的中心不在直线OO 上
1 2
B. EF =4
5 34
C. 直线OO 与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
1 2
34
3
D. 椭圆C的离心率为
5
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答.
【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合
体，
第9页/共22页
学科网（北京）股份有限公司得圆锥的轴截面及球O ，球O 的截面大圆，如图，
1 2
点A,B分别为圆O,O 与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段MN 是椭圆长轴，
1 2
可知椭圆C的中心（即线段MN 的中点）不在直线OO 上，故A正确；
1 2
椭圆长轴长2a= MN = MF + FN = MF + ME = MB + MA = AB ，
过O 作O DO A于D，连O B，显然四边形ABO D为矩形，
2 2 1 2 2
又 O B =1, O A =4, OO = 34 ，
2 1 1 2
则2a= AB = O D = OO 2 − OD 2 = ( 34 )2 −32 =5，
2 1 2 1
过O 作O C ⊥OE 交OE延长线于C，显然四边形CEFO 为矩形，
2 2 1 1 2
椭圆焦距2c= EF = O C = OO 2 − OC 2 = ( 34 )2 −52 =3，故B错误；
2 1 2 1
OC 5 5 34
所以直线OO 与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为sin∠CO O = 1 = = ，故C正
1 2 2 1 OO 34 34
1 2
确；
2c 3
所以椭圆的离心率e= = ，故D正确；
2a 5
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，7，8，9，10，则这组数据的40%分位数为______．
【答案】7
【解析】
【分析】根据百分位数的定义分析求解.
【详解】因为该组数据共6个，且6×40%=2.4，
所以这组数据的40%分位数为第三位数，即为7.
第10页/共22页
学科网（北京）股份有限公司故答案为：7.
13. 设 f ( x )= x2 +ax+b ( a,b∈R ) 满足：对任意x ∈R，均存在x ∈R，使得 f ( x )= f ( x )−2x ，
1 2 1 2 2
则实数a的取值范围是______.
【答案】
(−∞,1 ]
【解析】
【分析】令h ( x )= f ( x )−2x，由题意h(x) ≤ f(x) ，利用二次函数性质求得最值列不等式求解即可.
min min
【详解】令h ( x )= f ( x )−2x= x2 +( a−2 ) x+b.
因为对任意x ∈R，均存在x ∈R，使得 f ( x )= f ( x )−2x ，所以 f ( x ) 的值域是h ( x ) 值域的子集，
1 2 1 2 2
所以h(x) ≤ f(x) ，即b−
(a−2)2
≤b−
a2
，解得a≤1，即a的取值范围是 (−∞,1 ] .
min min
4 4
故答案为：
(−∞,1 ]
14. 已知正四棱锥S−ABCD的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱
锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为______，H的面积的最大值为______．
4 2 4
【答案】 ①. 5 ②. ## 2
3 3
【解析】
SE
【分析】数形结合，作平面与平面BDF 平行，即可解决；令 =λ，用λ表示相关长度，整理得
SF
S =S +S =−3 2λ2 +4 2λ，结合二次函数即可解决.
EMP PMNQ
【详解】取SC 中点F,BF ⊥SC,DF ⊥SC,且BFDF = F，BF,DF ⊂平面BDF ，可知SC ⊥平面
BDF ，
根据平面的基本性质，作平面与平面BDF 平行，如图至多为五边形.
第11页/共22页
学科网（北京）股份有限公司SE
令 =λ，则EP=λBF = 3λ,SP=λSB=2λ，
SF
可得PB= BQ= PQ=2 ( 1−λ) ,NQ=MP=λBD=2 2λ，
3+3−4 1 2 2
则cos∠DFB= = ，可得sin∠DFB= 1−cos2∠DFB = ，
2× 3× 3 3 3
1 2 2
所以S = × 3λ× 3λ× = 2λ2，
EMP
2 3
又因为MN 与NQ的夹角为SA与BD夹角，而SA与BD垂直，
则S =2 2λ×2 ( 1−λ)=4 2λ( 1−λ)，
PMNQ
2
 2 4 2
可得S =4 2λ( 1−λ)+ 2λ2 =−3 2λ2 +4 2λ=−3 2 λ−  + ，
 3 3
2 4 2
可知：当λ= 时，S取最大值 .
3 3
4 2
故答案为：5； .
3
【点睛】关键点点睛：根据平面的性质分析截面的形状，结合几何知识求相应的长度和面积，进而分析求解.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在锐角ABC中，角A，B，C．所对的边分别为a，b，c．已知 2a−2bsinA=0且a =5，
c = 4 2
（1）求角B及边b的大小；
（2）求sin ( 2C+B ) 的值．
π
【答案】（1）B= ，b= 17
4
7 2
（2）−
34
第12页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
π
【分析】（1）根据正弦定理边换角即可得B= ，再利用余弦定理即可得b= 17；
4
1
（2）利用余弦定理求得cosC = ，再结合同角三角函数关系和两角和的正弦公式即可得到答案.
17
【小问1详解】
依题意， 2a−2bsinA=0，
由正弦定理得 2sinA−2sinBsinA=0，
π 2
由于锐角三角形中0< A< ,sinA>0，所以 2−2sinB=0,sinB= ，
2 2
π
而B是锐角，所以B= .
4
由余弦定理得 b= a2+c2−2accosB = 25+32−2×5×4 2× 2 = 17.
2
【小问2详解】
a2 +b2 −c2 25+17−32 1
由余弦定理得cosC = = = ，而C是锐角，
2ab 2×5× 17 17
1 4  π 2
所以sinC = 1−cos2C = 1− = ，所以sin(2C+B)=sin2C+

= (sin2C+cos2C).
17 17  4  2
2 ( )
= 2sinCcosC+2cos2C−1
2
2
= 2sinCcosC+ 2cos2C−
2
4 1 1 2 7 2
= 2× × + 2× − =− .
17 17 17 2 34
16. 己知各项均为正数的数列 { a } 的前n项和为S ，且a ，S ，a2成等差．
n n n n n
{ }
（1）求a 及 a 的通项公式；
1 n
 4 
（2）记集合a∣a + ≤2k,k∈N 的元素个数为b ，求数列b 的前50项和．
 n n a +  k k
n
【答案】（1）a =1，a =n
1 n
（2）2497
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据等差中项可得2S =a +a2，结合S 与a 之间的关系分析可知数列 { a } 为等差数列，
n n n n n n
再利用等差数列通项公式运算求解；
0,k =0
1 4 
（2）根据题意可得k ≥ n+ ，结合基本不等式可得b =1,k =1 ，结合等差数列求和公式运算
2 n k

2k−1,k ≥3
求解.
【小问1详解】
因为a ，S ，a2成等差，则2S =a +a2，且a >0，
n n n n n n n
当n=1时，可得2a =a +a2，解得a =1或a =0（舍去）；
1 1 1 1 1
当n≥2时，可得2S =a +a2 ，
n−1 n−1 n−1
两式相减得2a =a −a +a2 −a2 ，整理得 ( a +a )( a −a )=( a +a ) ，
n n n−1 n n−1 n n−1 n n−1 n n−1
且a +a >0，则a −a =1；
n n−1 n n−1
可知数列 { a } 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以a =1+n−1=n.
n n
【小问2详解】
4 4 1 4
因为a + ≤2k，由（1）可得n+ ≤2k，即k ≥ n+ ，
n a n 2 n
n
1 4 1 4 4
因为 n+

≥ ×2 n⋅ =2，当且仅当n= ，即n=2时，等号成立，
2 n 2 n n
可知b =0,b =1；
1 2
1 4  1 2  1 4  1
当k ≥3时，因为 2k−1+  =k−  −  ≤k, 2k+  =k+ >k ，
2 2k−1 2 2k−1 2 2k  k
所以b =2k−1；
k
0,k =0

综上所述：b =1,k =1 .
k

2k−1,k ≥3
48 ( 5+99 )
所以数列b 的前50项和为0+1+5+7+⋅⋅⋅+99=1+ =2497.
k
2
第14页/共22页
学科网（北京）股份有限公司17. 随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重
要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互
软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软
件正确应答的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
（1）求一个问题能被软件正确应答的概率；
（2）在某次测试中，输入了n(n≥6)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答
的个数为X，X =k(k =0,1,,n)的概率记为P ( X =k ) ，则n为何值时，P ( X =6 ) 的值最大？
【答案】（1）0.75
（2）7或8
【解析】
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
 3 3 6 1 n−6
（2）由题意可知：X Bn, 且P ( X =6 )=C6     ，结合数列单调性分析求解.
 4 n 4 4
【小问1详解】
记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，
由题意可知：P ( A ) =0.1,P ( B| A )=0.8,P ( B| A ) =0.3，则P ( A )=1−P ( A ) =0.9，
所以P ( B )= P ( B| A ) P ( A ) +P ( B| A ) P ( A )=0.75.
【小问2详解】
3
由（1）可知：P ( B )=0.75= ，
4
 3 3 6  3 n−6 3 6 1 n−6
则X Bn, ，可得P ( X =6 )=C6   1−  =C6     ，
 4 n 4  4 n 4 4
6 n−5
3 1
C6
   
3 6 1 n−6 a n+14 4 n+1
令a
n
=C
n
6
 4    4  
，则
a
n+1 =
3 6 1 n−6
=
4 ( n−5 )
，
n C6
   
n 4 4
n+1
令 >1，解得n<7，可知当n≤6，可得a >a ；
4 ( n−5 ) n+1 n
n+1
令 <1，解得n>7，可知当n≥8，可得a >a ；
4 ( n−5 ) n+1 n
第15页/共22页
学科网（北京）股份有限公司n+1
令 =1，解得n=7，可得a =a ；
4 ( n−5 ) 8 7
所以当n=7或n=8时，a 最大，即n为7或8时，P ( X =6 ) 的值最大.
n
18. 已知函数 f ( x )=3lnx+ax2 −4x ( a >0 )．
( )
（1）讨论函数 f x 的单调性；
1
（2）当a= 时，若方程 f ( x )=b有三个不相等的实数根x ,x ,x ，且x < x < x ，证明：
1 2 3 1 2 3
2
x −x <4．
3 1
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，分∆≤0和∆>0两种情况，结合导数符号判断函数单调性；
（2）根据题意分析可知： f
(
x
)
在
(
0,1
)
,
( 3,+∞)
内单调递增，在
(
1,3
)
内单调递减，
0< x <1< x <3< x ，利用极值点偏离证明x +x >2和x +x <6，即可得结果.
1 2 3 1 2 2 3
【小问1详解】
由题意可知： f ( x ) 的定义域为 ( 0,+∞) ， f′( x )= 3 +2ax−4= 2ax2 −4x+3 ，
x x
且a>0，令 f′( x )=0，可得2ax2 −4x+3=0，
2
当∆=16−24a≤0，即a≥ 时，可知2ax2 −4x+3≥0在 ( 0,+∞) 内恒成立，
3
即 f′( x )≥0在 ( 0,+∞) 内恒成立，所以 f ( x ) 在 ( 0,+∞) 内单调递增；
2 2− 4−6a 2+ 4−6a
当∆=16−24a >0，即0<a< 时，由2ax2 −4x+3=0解得x = 或x = ，
3 1 2a 2 2a
2 3
由x +x = >0,x x = >0可知0<x <x ，
1 2 a 1 2 2a 1 2
若x∈(0,x )∪(x ,+∞)， fx0；若x∈( x ,x ) ， f′(x)<0；
1 2 1 2
所以 f ( x ) 在 ( 0,x ) , ( x ,+∞) 内单调递增，在 ( x ,x ) 内单调递减；
1 2 1 2
2
综上所述：当a≥ 时， f ( x ) 在 ( 0,+∞) 内单调递增；
3
第16页/共22页
学科网（北京）股份有限公司2  2− 4−6a  2+ 4−6a 
当0<a< 时， f ( x ) 在0, , ,+∞内单调递增，在
   
3  2a   2a 
2− 4−6a 2+ 4−6a 
 , 内单调递减.
 
2a 2a
 
【小问2详解】
1 1 3
当a= 时，可得 f ( x )=3lnx+ x2 −4x， f′( x )= +x−4，
2 2 x
由（1）可知： f
(
x
)
在
(
0,1
)
,
( 3,+∞)
内单调递增，在
(
1,3
)
内单调递减，
由题意可得：0< x <1< x <3< x ，
1 2 3
因为 f
(
x
)=
f
(
x
)=
f
(
x
)=b，
1 2 3
令g ( x )= f ( x )− f ( 2−x ) ,0< x<1，
3   3  6 ( x−1 )2
则g′( x )= f′( x )+ f′( 2−x )=  +x−4 +  +2−x−4 = >0，
 x  2−x  x ( 2−x )
可知g ( x ) 在 ( 0,1 ) 内单调递增，则g ( x )< g ( 1 )=0，
可得 f ( x )< f ( 2−x ) 在 ( 0,1 ) 内恒成立，
因为 0< x <1，则 f ( x )= f ( x )< f ( 2−x ) ，
1 1 2 1
且1<2−x <2,1< x <3， f ( x ) 在 ( 1,3 ) 内单调递减，
1 2
则2−x < x ，即x +x >2；
1 2 1 2
令h ( x )= f ( x )− f ( 6−x ) ,1< x<3，
3   3  6 ( x−3 )2
则g′( x )= f′( x )+ f′( 6−x )=  +x−4 +  +6−x−4 = >0，
 x  6−x  x ( 6−x )
可知h ( x ) 在 ( 1,3 ) 内单调递增，则h(x)<h(3)=0，
可得h ( x )<h ( 6−x ) 在 ( 1,3 ) 内恒成立，
因为1<x <3，则 f ( x )= f ( x )< f ( 6−x ) ，
2 2 3 2
且3<6−x <5,x >3， f ( x ) 在 ( 3,+∞) 内单调递增，
2 3
则6−x > x ，即x +x <6；
2 3 2 3
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学科网（北京）股份有限公司由x +x >2和x +x <6可得x −x <4.
1 2 2 3 3 1
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
( )
（2）构造新的函数h x ；
( )
（3）利用导数研究h x 的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问
题．
x2 y2
1
19. 已知椭圆C: + =1(a >b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为 经过点F 且倾斜角为
a2 b2 1 2 2 1
 π
θ 0<θ< 的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且△ABF 的周长为8．将平面
 2 2
xOy沿x轴向上折叠，使二面角A−FF −B为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记
1 2
为A′，B′．
π
（1）当θ= 时，
3
①求证：A′O⊥ B′F ；
2
②求平面A'FF 和平面A'B'F 所成角的余弦值；
1 2 2
 π 15
（2）是否存在θ 0<θ< ，使得折叠后A′B′F 的周长为 ？若存在，求tanθ的值；若不存在，请
 2 2 2
说明理由．
13 205
【答案】（1）①证明过程见解析；②
205
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学科网（北京）股份有限公司3 35
（2） ，理由见解析
14
【解析】
【分析】（1）①根据椭圆定义得到4a=8，结合离心率得到c=1，求出b2 =a2 −c2 =3，得到椭圆方程，
( )  8 3 3
联立直线方程和椭圆，得到A 0, 3 ,B− ,− ，得到A′O⊥FF ，结合二面角A−FF −B为直
  5 5   1 2 1 2
二面角，得到线面垂直，证明出结论；
②建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值；
（2）设折叠前A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) ，折叠后对应的A′( x ,y ,0 ) ,B′( x ,0,−y ) ，设出直线l的方程，与椭
1 1 2 2 1 1 2 2
1
圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据折叠前后的周长关系得到 AB − A′B′ = ，变形得到
2
1 28
−2y y = m2 +1 ( y + y )2 −4y y ，代入两根之和，两根之积，求出m2 = ，进而求出tanθ的值.
4 1 2 1 2 1 2 45
【小问1详解】
①由椭圆定义可知 AF + AF =2a, BF + BF =2a，
1 2 1 2
所以△ABF 的周长L=4a =8，所以a=2，
2
c 1
因为离心率为 1 ，故 = ，解得c=1，
2 a 2
则b2 =a2 −c2 =3，由题意，椭圆的焦点在x轴上，
x2 y2
所以椭圆方程为 + =1，
4 3
π
直线l: y−0=tan ⋅( x+1 )，即l: y = 3 ( x+1 )，
3
x2 y2 8
联立 + =1得15x2 +24x=0，解得x=0或− ，
4 3 5
8  8  3 3
当x=0时，y = 3×( 0+1 )= 3，当x=− 时，y = 3×

− +1 =− ，
5  5  5
( )  8 3 3
因为点A在x轴上方，所以A 0, 3 ,B− ,− ，
 
5 5
 
故AO⊥FF ，折叠后有A′O⊥FF ，
1 2 1 2
因为二面角A−FF −B为直二面角，即平面A′FF ⊥FF B′，交线为FF ，
1 2 1 2 1 2 1 2
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学科网（北京）股份有限公司A′O⊂平面A′FF ，
1 2
所以A′O⊥平面FF B′，
1 2
因为F B′⊂平面FF B′，所以A′O⊥F B′；
2 1 2 2
②以O为坐标原点，折叠后的y轴负半轴为x轴，原x轴为y轴，原y轴正半轴为z轴，建立空间直角坐
标系，
( ) 3 3 8 
则F ( 0,−1,0 ) ,A′ 0,0, 3 ,B′ ,− ,0,F ( 0,1,0 ) ，
1   5 5   2
 ( )   3 3 13 
A′F = 0,1,− 3 ,B′F =− , ,0，
2 2   5 5  

其中平面A′FF 的法向量为n =( 1,0,0 )，
1 2 1

设平面A′B′F 的法向量为n =( x,y,z )，
2 2
 
 n ⋅A′F =( x,y,z )⋅ ( 0,1,− 3 ) = y− 3z =0
 2 2

则   3 3 13  3 3 13 ，
n ⋅B′F =( x,y,z )⋅− , ,0=− x+ y =0
 2 2   5 5   5 5

13 13 
令y = 3得x= ,z =1，故n =  , 3,1，
3 2  3 
设平面A′B′F 与平面A′FF 的夹角为ϕ，
2 1 2
  n

⋅n
 (
1,0,0
)⋅ 

13
, 3,1


1 2  3  13 205
则cosϕ= cosn ,n =   = = ，
1 2 n ⋅ n 169 205
1 2 +3+1
9
13 205
故平面A′B′F 与平面A′FF 的夹角的余弦值为 ；
2 1 2
205
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司设折叠前A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) ，折叠后对应的A′( x ,y ,0 ) ,B′( x ,0,−y ) ，
1 1 2 2 1 1 2 2
设直线l方程为my = x+1，
x2 y2
( )
将直线l与椭圆方程 + =1联立得， 3m2 +4 y2 −6my−9=0，
4 3
6m −9
则 y + y = ,y y = ，
1 2 3m2 +4 1 2 3m2 +4
在折叠前可知 AB = ( x −x )2 +( y − y )2 ，
1 2 1 2
折叠后，在空间直角坐标系中， A′B′ = ( x −x )2 + y2 + y2 ，，
1 2 1 2
15
由 A′F + B′F + A′B′ = ， AF + BF + AB =8，
2 2 2 2 2
1
故 AB − A′B′ = ，
2
1
所以 AB − A′B′ = ( x −x )2 +( y − y )2 − ( x −x )2 + y2 + y2 = ①，
1 2 1 2 1 2 1 2 2
−2y y 1
1 2 =
分子有理化得 ，
( x −x )2 +( y − y )2 + ( x −x )2 + y2 + y2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
所以 ( x −x )2 +( y − y )2 + ( x −x )2 + y2 + y2 =−4y y ②，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
由①②得 ( x −x )2 +( y − y )2 = −2y y ，
1 2 1 2 4 1 2
因为 ( x −x )2 +( y − y )2 = ( my −1−my +1 )2 +( y − y )2
1 2 1 2 1 2 1 2
= m2 +1 y − y ，
1 2
1
故 −2y y = m2 +1 y − y ，
4 1 2 1 2
1
即 −2y y = m2 +1 ( y + y )2 −4y y ，
4 1 2 1 2 1 2
6m −9
将 y + y = ,y y = 代入上式得
1 2 3m2 +4 1 2 3m2 +4
2
1 18  6m  36
+ = m2 +1
 
+ ，
4 3m2 +4 3m2 +4 3m2 +4
两边平方后，整理得2295m4 +4152m2 −3472=0，
( )( ) 28
即 45m2 −28 51m2 +124 =0，解得m2 = ，
45
π 1 3 35
因为0<θ< ，所以tanθ= = .
2 m 14
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】出题非常新颖，将立体几何和解析几何结合，考查学生的综合能力，在解决图形的翻折问题时，
应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间
的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用平
面几何知识或建立空间直角坐标系进行求解.
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