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北京市燕山区 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题
一．选择题
1. 下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 小思去延庆世界园艺博览会游览，如果从永宁瞻胜、万芳华台、丝路花雨、九州花境四个景点中随机选
择一个进行参观，那么他选择的景点恰为丝路花雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，⊙O是 ABC的外接圆，∠C＝60°，则∠AOB的度数是（ ）
△
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4. 函数y=(x+1)2－2的最小值是（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
5. 如图，Rt ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，则cosA＝（ ）
△
A. B. C. D.
6. 如图， ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将 ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三
角形不构成△相似的是（ ） △A. B.
C. D.
7. 同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：
（1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A. ∠ABD＝90° B. CA＝CB＝CD C. sinA＝ D. cosD＝
的
8. 小悦乘座中国最高 摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y（米）与旋转
时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，
可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（ ）
x（分） … 13.5 14.7 16.0 …
y（米） … 156.25 159.85 158.33 …A. 32分 B. 30分 C. 15分 D. 13分
二．填空题
9. 如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=2：3，则△ADE与△ABC的面积之
比为________．
10. 体育课上，小聪，小明，小智，小慧分别在点O处进行了一次铅球试投，铅球分别落在图中的点A，
B，C，D处，则他们四人中，成绩最好的是______．
的
11. 将抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到 抛物线的解析式为______．
12. 已知点 ， 在反比例函数 的图象上，则 ________ ．（用“＞”，“＜”
或“=”）
13. 一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为_______cm2
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是
_____．
15. 某物体对地面的压强P（Pa）与物体和地面的接触面积S（m2）成反比例函数关系（如图），当该物体
与地面的接触面积为0.25m2时，该物体对地面的压强是______Pa．16. 为了解早高峰期间A，B两邻近地铁站乘客的乘车等待时间（指乘客从进站到乘上车的时间），某部
门在同一上班高峰时段对A、B两地铁站各随机抽取了500名乘客，收集了其乘车等待时间（单位：分
钟）的数据，统计如表：
等待时的频数间
10＜ 15＜ 20＜ 25＜
乘车等待时间 5≤t≤10 合计
t≤15 t≤20 t≤25 t≤30
地铁站
A 50 50 152 148 100 500
B 45 215 167 43 30 500
据此估计，早高峰期间，在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为_____；夏老师家正好位于
A，B两地铁站之间，她希望每天上班的乘车等待时间不超过20分钟，则她应尽量选择从_____地铁站上
车．（填“A”或“B”）
三．解答题
17. 计算：cos30°•tan60°+4sin30°．
18. 已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点，对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．
19. 如图， 中， ，点 在边 上，且 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ， 是 中点，求 的长．
20. 如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）
的
（2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O 半径．21. 2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服
务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西
恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．
22. 图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的，其转动点A距
离地面BD的高度AE为3.5m．当AC长度为9m，张角∠CAE为112°时，求云梯消防车最高点C距离地面
的高度CF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ （x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．
（1）求k的值；
（2）已知点P（a，﹣2a）（a＜0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x﹣2于点M，交函数y
＝ （x＜0）的图象于点N．
的
①当a＝﹣1时，求线段PM和PN 长；
②若PN≥2PM，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．24. 如图， 中， ，以 为直径作 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ， 为线段 上一点，请写出一个 的值，使得直线 与 相切，
并说明理由．
25. 阅读下面材料：
学习函数知识后，对于一些特殊的不等式，我们可以借助函数图象来求出它的解集，例如求不等式x﹣3＞
的解集，我们可以在同一坐标系中，画出直线y＝x﹣3与函数y＝ 的图象（如图1），观察图象可知：
1 2
它们交于点A（﹣1，﹣4），B（4，1）．当﹣1＜x＜0，或x＞4时，y＞y，即不等式x﹣3＞ 的解集为
1 2
﹣1＜x＜0，或x＞4．
小东根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集进行了探究．下面是小东的探究过程，
请补充完整：（1）将不等式按条件进行转化：当x＝0时，原不等式不成立；x＞0时，原不等式转化为x2+3x﹣1＞ ；
当x＜0时，原不等式转化为______；
（2）构造函数，画出图象：设y＝x2+3x﹣1，y＝ ，在同一坐标系（图2）中分别画出这两个函数的图
3 4
象．
（3）借助图象，写出解集：观察所画两个函数的图象，确定两个函数图象交点的横坐标，结合（1）的讨
论结果，可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为______．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）求抛物线顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）已知点A（0，3），B（2，3），若该抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求出m的取值范
围．
27. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段AB上一点（0＜AD＜ AB）．过点B作
BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接AF，EF．设∠BCE的度数为
α．（1）①依题意补全图形．
②若α＝60°，则∠CAF＝_____°； ＝_____；
（2）用含α的式子表示EF与AB之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：将点P沿向右或向上的方向平移一次，
平移距离为d（d＞0）个长度单位，平移后的点记为P′，若点P′在图形G上，则称点P为图形G的“达成
点”．特别地，当点P在图形G上时，点P是图形G的“达成点”．例如，点P（﹣1，0）是直线y＝x的“达
成点”．
已知⊙O的半径为1，直线l：y＝﹣x+b．
（1）当b＝﹣3时，
①在O（0，0），A（﹣4，1），B（﹣4，﹣1）三点中，是直线l的“达成点”的是：_____；
②若直线l上的点M（m，n）是⊙O的“达成点”，求m的取值范围；
的
（2）点P在直线l上，且点P是⊙O “达成点”．若所有满足条件的点P构成一条长度不为0的线段，
请直接写出b的取值范围．
