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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市平谷区 2024 年学业水平考试统一练习（一）
数学试卷
2024.4
注意事项
1.本试卷共8页，包括三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．
2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束，请将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的．
1. 从水利部长江水利委员会获悉，截止2024年3月24日，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通
水以来，已累计调水700亿立方米．其中 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于 1的数，将 写成 的形式即可，其中
，n的值与小数点移动位数相同．
【详解】解： ，
故选C．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定
义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫
做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个
图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．
3. 如图，点 为直线 上一点， ，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查角的运算，垂线，平角的定义，解题的关键是熟练运用垂直的定义，平角的定义．根据
垂直的定义可得 ，然后利用平角的定义即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：B．
4. 已知 ，下列四个结论中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，绝对值，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上
或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，
不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．根据不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得： ，
A、 的解集为： ，故该选项正确，不符合题意；
B、 ，则 ，故该选项正确，不符合题意；
C、 ，则 ，故该选项错误，符合题意；
D、 ，则 ，故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
5. 正多边形每个内角都是120°，则它的边数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】设所求正多边形边数为n，根据内角与外角互为邻补角，可以求出外角的度数．根据任何多边形
的外角和都是360度，由60°•n=360°，求解即可．
【详解】解：设所求正多边形边数为n，
∵正n边形的每个内角都等于120°，
∴正n边形的每个外角都等于180°-120°=60°．
又因为多边形的外角和为360°，
即60°•n=360°，
∴n=6．
故选：B
【点睛】本题考查了多边形内角和外角的知识，解答本题的关键在于熟练掌握任何多边形的外角和都是
360°并根据外角和求出正多边形的边数．
6. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是正面向上的结果数，
再利用概率公式可得出答案，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：列表如下：
正 反
正 正正 正反
反 反正 反反
共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种，
两次都是正面向上的概率为 ．
故选：A．
7. 已知两组数据（1） ， ， ， ， ；（2） ， ， ， ， ．设第一组数据
的平均值为 ，方差为 ，设第二组数据的平均值为 ，方差为 ，下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平均数的定义，方差的定义，解题的关键是掌握平均数的定义，方差的定义，先求出
两组数据的平均数，再求出方差即可求解．
【详解】解：（1）的平均数为： ，
方差是： ，
（2）的平均数是： ，
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方差是： ，
， ，
故选：D．
8. 如图，正方形 中，点 、 、 、 分别为 、 、 、 边上的点，点 、 、
为对角线 上的点，四边形 和四边形 均为正方形，它们的面积分别表示为 和 ，
给出下面三个结论：
① ；② ；③ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．根据正方
形的性质和等腰直角三角形的性质可得 ， ， ，进而
得到 ，根据正方形的面积公式即可判断①；根据 ， ，
，即可判断②；由 ， ，可判断③．
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【详解】解：① 四边形 是正方形，
，
四边形 和四边形 均为正方形，
， ，
和 都是等腰直角三角形，
， ，
同理可得 ，
，
， ，
，故①错误；
② 和 都是等腰直角三角形，
， ，
四边形 为正方形，
，
，故②正确；
③由①知： ， ，
，故③正确；
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
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9. 若代数式 无意义，则实数 的取值范围是______．
【答案】x＜1．
【解析】
【分析】根据二次根式的性质可以得到x-1是负数，由此即可求解．
【详解】解：代数式 无意义，
∴x-1＜0，
∴x＜1．
实数 的取值范围是x＜1．
故答案为：x＜1．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．
10. 分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了综合提取公因式和公式法进行因式分解，解题的关键是正确找出公因式，并掌握
完全平方公式 ．
11. 化简： 的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减法．根据同分母的分式的加减法运算法则进行计算．
【详解】解：
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原式
故答案为： ．
12. 请写出一个大于1小于4的无理数___________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据实数的大小关系，结合数轴和无理数的定义可分析出答案.只要是被开方数大于1而小于16，
且不是完全平方数的都可．
【详解】根据题意可知：大于1小于4的无理数有如 等，
故答案是： （答案不唯一）
13. 如图，反比例函数 经过点 、点 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把 点
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坐标代入解析式求出 ，进而求出反比例函数的解析式，然后将 代入反比例函数的解析式即可．
【详解】解：由图可知 ， ，
将 代入 ，
得： ，
，
将 代入得： ，
解得： ，
故答案为： ．
14. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】k＜1．
【解析】
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△= ，
解得： ，
故答案为 .
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟
知“在一元二次方程 中，若方程有两个不相等的实数根，则△= ”是
解答本题的关键.
15. 如图， 内接于 ， 为 的直径， D为 上一点，连接 ．若 ，
则 的度数为______．
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【答案】 ##70度
【解析】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练
掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
由 为 的直径，可得 ，由 ，可得 ，根据
，计算求解即可．
【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需 ， ， ， ， ， 六道工序，其中 ， 是前期准
备阶段， ， ， 是中期制作阶段， 为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，
但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：
阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段
工序
所需时间/分钟
加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短
在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要______分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到
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分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是______元．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题得到关键．求出各个阶段的工序最长时间和即可
求出加工该件艺术品最少需要的时间；在准备阶段若缩短 分钟，在制作阶段若缩短 分钟，最后 分钟
则看两个阶段谁投入的费用少，即可求解．
【详解】解： 一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行，
则加工该件艺术品最少需要： （分钟）；
需将加工时间缩短到 分钟，则共需要缩短 分钟，
在准备阶段若缩短 分钟，则需要投入 （元），
在制作阶段若缩短 分钟，则需要投入 （元），
还要 分钟，在准备阶段缩短 分钟需要投入 （元），在制作阶段缩短 分钟需要投入
（元）， ，
综上，最少投入为： （元），
故答案为： ， ．
三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20题，6分，第21题，5分，第22－23
题，每题6分，第24－25题，每题5分，第26题6分；第27－28题，每题7分）解答应写
出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先算三角函数、负整数
指数幂、绝对值和二次根式，再算加减即可．
【详解】解：
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18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解： ，
解由①得， ，
由②得， ，
∴ ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和单项式乘多项式展开，再合并同类项，然后将
变形为 ，最后代入计算即可．
【详解】解：
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原式 ．
20. 我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行 100步，不善行者60
步．今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢
的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？
请你解决该问题．
【答案】250步
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设走路快的人走了 x步追上走路慢的人，根据走路快
的人走100步时，走路慢的人只走了60步，可知相同时间内走路慢的人所走路程为 步，据此列出方
程求解即可．
【详解】解：设走路快的人走了x步追上走路慢的人．
由题意得，
解得： ，
答：走路快的人250步追上走路慢的人
21. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经过
点 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于x的每一个值，一次函数 的值小于函数 的值且大于
0，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象的平移，求一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．利用数形结合的
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思想是解题关键．
（1）由题意结合函数图象平移的特点可得出 ，再将 代入，求出b的值即可；
（2）画出大致图形，结合图形即得出当 时，当 时，对于 x 的每一个值，一次函数
的值小于函数 的值且大于0．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，
∴ ，
∴ ．
∵该一次函数经过点 ，
∴ ，即 ，
∴这个一次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：如图，
由图可知当 时，当 时，对于x的每一个值，一次函数 的值小于函数 的
值且大于0，
∴n的取值范围是 ．
22. 如图， 中， ，点 D、E 分别是 边的中点，连接 并延长，使
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，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求证：四边形 是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由点D、E分别是 边的中点，可得 ，且 ，则 ，进
而可证四边形 是平行四边形；
（2）由E为 中点，可得 ，由 ，可得 ，证明 是等边三
角形，则 ，进而可证四边形 是菱形．
【小问1详解】
证明：∵点D、E分别是 边的中点，
∴ ，且 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
证明： 中， ，E为 中点，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的
判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边
的一半，等边三角形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键．
23. 如图， 内接于 ， ，连接 ，过B作 的切线交 的延长线于点D．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）20
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理可得 ，然后利用平行线的性质即可解答；
（2）过点 B 作 于点 H，直角三角形的性质以及勾股定理，得 ，再证明
即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
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∵ 是 的切线，
，
，
，
，
∴ ；
【小问2详解】
解：过点B作 于点H，
，
∵ ， ，
，
， ，
，
，
， ，
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，
，
，
，
设 的半径为x，
，
，
解得 ，
半径的长 ．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角函数，掌握切线的判定方法和性质，圆周角定理正确解
答的关键．
24. 光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的
是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用
耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指
导果农种植草莓，在 至 气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响
进行研究的相关数据：
温度
（℃）
光合作用
产氧速率
（
）
呼吸作用
耗氧速率
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（
）
（1）通过观察表格数据可以看出，若设温度为 ，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的
函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并
画出函数图象；
（2）结合函数图象，解决问题：（结果取整）
①最适合草莓生长的温度约为______℃；
②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，
植物生长缓慢．
【答案】（1）见解析 （2）① ；② 或
【解析】
【分析】本题考查了函数的应用，描点并作出函数图象是解题的关键．
（1）描点并用光滑的曲线连接起来即可；
（2）①根据图象，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大时对应的温度最适合草莓生长；②根
据图象作答即可．
【小问1详解】
解：描点及图象如图所示：
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【小问2详解】
①由图象可知，当 时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，
故答案为： ；
②由图象可知，当 或 时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率．
25. 4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八
年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对
这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．七年级参加活动的 20 名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组： ，
， ， ， ）；
b．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在 这一组的是：
84 85 85 86 86 88 89
c．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下：
分 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10
数 3 1 2 5 8 1 2 4 6 0
人
1 3 2 3 1 3 1 4 1 1
数
根据以上信息，解答下列问题：
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（1）补全a中频数分布直方图；
的
（2）七年级参加活动 20名学生成绩的数据的中位数是______；八年级参加活动的20名学生成绩的数据
的众数是______；
（3）已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分（含85分）以上算作优秀，估计这两个年
级共有多少人达到了优秀．
【答案】（1）见解析 （2）88.5；94
（3）435
【解析】
【分析】本题考查的是频数分布直方图，用样本估计总体，中位数和众数，从题目图表中获取有用信息是
解题的关键．
（1）根据频数分布直方图的数据可得成绩为 的学生人数，即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）求出七、八年级学生参加活动的成绩为优秀的百分比可得答案．
【小问1详解】
解：成绩为 的学生人数为 （人），
补全 的频数分布直方图如图所示：
【小问2详解】
将七年级参加活动的20名学生成绩按从小到大的顺序排列，中位数是 （分）
八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是94；
故答案为：88.5；94；
【小问3详解】
（人）
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答：估计这两个年级共有435人达到了优秀．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）当抛物线过点 时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上存在两点 和 ，若对于 ， ，都有 ，求b
的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分情况讨论：当原点位于对称轴的左侧时，当原点位于对称轴的右侧时，根据 ，
，都有 ，确定b的取值范围．
【小问1详解】
解： ∵抛物线过点
∴ ，解得：
∴抛物线的解析式为
【小问2详解】
解：∵抛物线的对称轴为 ，
当 时
解得
故与x轴的交点为
情况1：当原点位于对称轴的左侧时，
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要满足对于 ， ，都有 ，
此时，有 解得
情况2：当原点位于对称轴的右侧时
要满足对于 ， ，都有 ，
此时，有 ，解得 ，解得
综上， 或
27. 如图，在 中， ， ，点D为 边中点， 于E，作 的
平分线交 于点F，过点E作 的垂线交 于点G，交 于点H．
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（1）依题意补全图形；
（2）求证： ；
（3）判断线段 、 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）通过 证明 ，得到 ，根据题意易得 ，由 ，可得
为等腰直角三角形，于是 ；
（3）过点 作 于点 ，得 为 的中位线，则 ，根据三角形内角和定理求
得 ，于是 ，进而 ，以此得出
，即 ，在 中，利用勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示．
【小问2详解】
证明： 平分 ，
，
，
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，
在 和 中，
， ， ，
，
，
在 中， ， ，
为等腰直角三角形，
，
又 ，即 ，
为等腰直角三角形，
．
【小问3详解】
解： ，证明如下：
如图，过点 作 于点 ，
则 为等腰直角三角形，
，
，
又 为 中的点，
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为 的中位线，
，
，
，
平分 ，
，
，
，即 ，
，
，
，即 ，
在 中，由勾股定理得 ，
．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定于性质、三角形中位线定理、角平分
线的定义、勾股定理，解题关键是利用等腰直角三角形的性质将目标线段转化到直角三角形中，再根据勾
股定理解决问题．
28. 平面直角坐标系 中，已知 和平面上一点P，若 切 于点A， 切 于点B，且
，则称点P为 的伴随双切点．
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（1）如果 的半径为2
①下列各点 ， ， ， 是 的伴随双切点的是______；
②直线 上存在点P为 的伴随双切点，则b的取值范围______；
（2）已知点 ，过点F作y轴的垂线l，点 是x轴上一点，若直线l上存在以
为直径的圆的伴随双切点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）① ， ；②
（2） 或
【解析】
【分析】（1）求出点P为 的伴随双切线的条件，①根据求出的条件进行判断即可；②根据得出的条
件，判断原点到直线 的距离的关系，从而得出解；
（2）根据（1）得出点P存在的条件，判断以 为直径的圆的圆心和半径的数量关系，从而得解．
【小问1详解】
解：①根据定义，由 ， 是 的切线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
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∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵点 ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴点 是 的伴随双切点．
故答案为： ；
②∵直线 上存在点P为 的伴随双切点．
∴圆心O到直线 的距离不大于 ．
设直线 与x轴，y的交点为C，D，过点O作 于点E，如图．
令 ，则 ，令 ，则 ，
∴点 ， ，
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∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
【小问2详解】
设 的中点为F，
∴ ．
∵ 轴，F过直线l，
∴直线l的表达式为 ，
∴圆心F到直线l的距离为 ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题是一道圆的综合问题，考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理等，准确的理解新定义
是解题的关键．
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