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北京市平谷区 2024 年学业水平考试统一练习（一）
数学试卷
2024.4
注意事项
1.本试卷共8页，包括三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．
2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束，请将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的．
1. 从水利部长江水利委员会获悉，截止2024年3月24日，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通
水以来，已累计调水700亿立方米．其中 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，点 为直线 上一点， ，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ，下列四个结论中，错误的是（ ）
.
A B. C. D.
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5. 正多边形每个内角都是120°，则它的边数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知两组数据（1） ， ， ， ， ；（2） ， ， ， ， ．设第一组数据
的平均值为 ，方差为 ，设第二组数据的平均值为 ，方差为 ，下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 如图，正方形 中，点 、 、 、 分别为 、 、 、 边上的点，点 、 、
为对角线 上的点，四边形 和四边形 均为正方形，它们的面积分别表示为 和 ，
给出下面三个结论：
① ；② ；③ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若代数式 无意义，则实数 的取值范围是______．
10. 分解因式： ________．
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11. 化简： 的结果为______．
12. 请写出一个大于1小于4的无理数___________.
13. 如图，反比例函数 经过点 、点 ，则 ______．
14. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
15. 如图， 内接于 ， 为 的直径， D为 上一点，连接 ．若 ，
则 的度数为______．
16. 某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需 ， ， ， ， ， 六道工序，其中 ， 是前期准
备阶段， ， ， 是中期制作阶段， 为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，
但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：
阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段
工序
所需时间/分钟
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加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短
在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要______分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到
分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是______元．
三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20题，6分，第21题，5分，第22－23
题，每题6分，第24－25题，每题5分，第26题6分；第27－28题，每题7分）解答应写
出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
18. 解不等式组： ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
的
20. 我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣 问题：“今有善行者行100步，不善行者60
步．今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢
的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？
请你解决该问题．
21. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经过
点 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于x的每一个值，一次函数 的值小于函数 的值且大于
0，直接写出n的取值范围．
的
22. 如图， 中， ，点 D、E 分别是 边 中点，连接 并延长，使
，连接 ．
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（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求证：四边形 是菱形．
的
23. 如图， 内接于 ， ，连接 ，过B作 切线交 的延长线于点D．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 半径的长．
24. 光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的
是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用
耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指
导果农种植草莓，在 至 气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响
进行研究的相关数据：
温度
（℃）
光合作用
产氧速率
（
）
呼吸作用
耗氧速率
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（
）
（1）通过观察表格数据可以看出，若设温度为 ，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的
函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并
画出函数图象；
（2）结合函数图象，解决问题：（结果取整）
①最适合草莓生长的温度约为______℃；
②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，
植物生长缓慢．
25. 4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八
年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对
这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．七年级参加活动的 20 名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组： ，
， ， ， ）；
b．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在 这一组的是：
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84 85 85 86 86 88 89
c．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下：
分 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10
数 3 1 2 5 8 1 2 4 6 0
人
1 3 2 3 1 3 1 4 1 1
数
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全a中频数分布直方图；
（2）七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是______；八年级参加活动的20名学生成绩的数据
的众数是______；
（3）已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分（含85分）以上算作优秀，估计这两个年
级共有多少人达到了优秀．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）当抛物线过点 时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上存在两点 和 ，若对于 ， ，都有 ，求b
的取值范围．
27. 如图，在 中， ， ，点D为 边中点， 于E，作 的
平分线交 于点F，过点E作 的垂线交 于点G，交 于点H．
（1）依题意补全图形；
（2）求证： ；
（3）判断线段 、 与 之间的数量关系，并证明．
28. 平面直角坐标系 中，已知 和平面上一点P，若 切 于点A， 切 于点B，且
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，则称点P为 的伴随双切点．
（1）如果 的半径为2
①下列各点 ， ， ， 是 的伴随双切点的是______；
②直线 上存在点P为 的伴随双切点，则b的取值范围______；
（2）已知点 ，过点F作y轴 的垂线l，点 是x轴上一点，若直线l上存在以
为直径的圆的伴随双切点，直接写出m的取值范围．
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