文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
大兴区 2023～2024 学年度第二学期期末检测
初三数学
2024.05
考生须知
1.本试卷共7页，共28道题．满分100分．考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答、其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．
根据几何体的展开图可进行求解．
【详解】解：由图可知该几何体是圆锥；
故选D．
2. 截至 年 月中旬， 年全民健身线上运动会已上线 项赛事，累计参赛人数达到 万，
证书总发放量达 万张．将 用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，掌握其表示形式 ，确定 值的方法是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
根据科学记数法的形式 ，确定 的方法是看把原数变为 时，小数点的移动；当小数点
向左移动几位时， 的值就是几；当小数点向右移动时， 的值为移动位数的相反数；由此即可求解．
【详解】解： ，
故选： ．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行
逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对
称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫
做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
4. 如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数加(减)法、有理数的乘法法则，掌握相关的方法和法则是
解题的关键．根据数轴判断出 ，再由有理数加法、减法、乘法法则、绝对值的意义逐一
判断即可．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：由数轴知： ，
∴ ， ， ， ，
故选：B．
5. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“文明交通”“垃圾分类”两个宣传队，若小明和小亮每
人随机选择参加其中一个宣传队，则他们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查概率的求法，如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中 出现 种
可能，那么事件 的概率 ．
画树状图列出等可能得结果，从中找到符合条件的结果数，再根据公式求出结果．
【详解】解：用甲表示“文明交通”宣传队，用乙表示“垃圾分类”宣传队，根据题意得，画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选到同一个宣传队的有2种，则小明和小亮恰好选到同一个
宣传队的概率是 ．
故选C．
6. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根、则实数 的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程方程根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
根据 ，方程有两个不相等的实根； ，方程有两个相等的实根；
，方程无实根，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得， ，
解得， ，
故选：B ．
7. 如图，点 在 上， 为 的中点．若 ，则 的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
根据点 是 的中点，可得 ，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，点 是 中点，
∵ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C ．
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①扇形的圆心角一定，面积S与半径r；
②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长 ；
③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：①扇形的面积 ，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系
可以利用二次函数表示，符合题意，
②矩形的面积 ，矩形的面积S与一边长 两个变量之间的函数关系可以利用二
次函数表示，符合题意，
③行驶路程 ，行驶路程s与行驶时间t 两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题
意，
则①②符合题意，
故选：A．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】x≠5
【解析】
【详解】试题分析：依题意得：x﹣5≠0，解得x≠5．故答案为x≠5．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
考点：分式有意义的条件．
10. 分解因式： ________.
【答案】
【解析】
【分析】考查提取公因式法和平方差公式法因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解
法．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11. 方程 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，然后解方程并检验，即可求解．
【详解】解：
∴
解得：
经检验， 是原方程的解，
为
故答案 ： ．
12. 在平面直角坐标系 中，若点 和 在反比例函数 的图象上，则
______ （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据 ，可得反比例函数 的图象在二、四象限，
在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数 的图象在二、四象限，
∵ ，
∴点 ， 在第四象限，y随x的增大而增大，
∴ ．
故答案为： ．
13. 正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为___．
【答案】6
【解析】
【详解】解：∵正n边形的一个外角的度数为60°，
∴n=360÷60=6．
故答案为：6．
14. 如图， 是 的直径， 是 的一条弦， ，连接 ， ．若 ，
，则 的长是______．
【答案】
【解析】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【分析】连接 ，由圆周角定理得 ，由垂径定理得 ，
，进而根据勾股定理即可得解．
【详解】解：连接 ，如图所示，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 是直径，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握
垂径定理及勾股定理是解题的关键．
15. 在四边形 中， ，只需添加一个条件即可证明 ，这个条件可
以是______（写出一个即可）．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，运用根据 ， 或 添加条件是解题的关键．
【详解】解：添加条件 ，
在 和 中，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）
16. 甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名
次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第 1名．”对乙说：“你不是第4名．”
从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有______种不同情况，其中甲是第4名有______种可能情况．
.
【答案】 ① 8 ②. 4
【解析】
【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解．
【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况，
第1名 第2名 第3名 第4名
① 丙 乙 丁 甲
② 丙 丁 乙 甲
③ 丁 丙 乙 甲
④ 丁 乙 丙 甲
⑤ 丁 甲 乙 丙
⑥ 丁 乙 甲 丙
⑦ 丙 甲 乙 丁
⑧ 丙 乙 甲 丁
其中①②③④四种情况是甲为第4名，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故答案为 ， ．
三、解答题（共68分，第17－20题，每题5分，第21题6分，第22－23题，每题5分，第
24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，分别根据二次根式化简，负整数指数幂的运算法则，化简绝对值、特殊
角的三角函数值计算出各数，再进行合并计算即可，熟知二次根式化简，负整数指数幂的运算法则，化简
绝对值、特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，熟练掌
握不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解：
解不等式①，得 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解不等式②，得 ，
∴原不等式组的解集为： ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．先根据分式减法法则计算
括号内的式子，再根据分式除法法则化简得出最简结果，把 变形后整体代入即可得答案．
【详解】解：
．
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
20. 在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你
选择一种方案求出旗杆的高度．
方案一：在某一时刻，借助太阳光 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
角”的规律，小丽在她的脚下 点放了一面小
线，测得小华的身高 为 米， 镜子，然后向后退 米到达点 ，恰好在小镜
子中看到旗杆的顶端 ，此时旗杆底端 到点
他的影长 为 米，同时测得旗
的距离 为 米，小丽的眼睛点 到地面
杆 的影长 为 米．
的距离 为 米．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键．
方案一：根据题意可得 ，根据相似三角形的判定和性质即可求解；
方案二：根据题意可得 ，根据相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】方案一：
解：由题意得， ， ．
．
．
．
， ， ，
．
答：旗杆高度为 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
方案二：
解：由题意得， ， ，
．
．
， ， ，
．
．
答：旗杆高度为 ．
21. 如图，在 中， ， 分别是 的中点，连接 ， 是线段
上一点，且 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握菱形的判定和性质，
勾股定理是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质，点 分别为 中点，可证四边形 是平行四边形，再根据
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，由此即可求证；
（2）根据勾股定理求出 的长，连接 ，根据菱形的性质可得 ， 的长，在 中
根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明： 四边形 是平行四边形，
， ．
点 分别为 中点，
， ．
．
四边形 是平行四边形．
，点 为 中点，
．
四边形 是菱形．
【小问2详解】
解：连接 ，交 于点 ．
在 中，
， ， ，
（舍负）．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
．
，
．
∵四边形 是菱形，
∴ 是 的中点， ．
， ．
．
在 中，
，
（舍负）．
22. 某校有A，B两个合唱队，每队各10名学生，测量并获取了所有学生身高（单位： ）的数据，并对
数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．A队学生的身高：
165 167 168 170 170 170 171 172 173 174
b．B队学生身高的频数分布直方图如下（数据分成4组： ， ， ，
）：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
c．B队学生身高的数据在 这一组的是：
169 169 169 170
d．A，B两队学生身高数据的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A队 170 170 m
B队 170 n 169
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同队的学生，若学生身高的方差越小，则认为该队舞台呈现效果越好．据此推断：A，B两队
舞台呈现效果更好的是______（填“A队”或“B队”）；
（3）A队要选5名学生参加比赛，已确定3名学生参赛，他们的身高分别为170，170，173，他们的身高
的方差为2，下列推断合理的是______（填序号）．
①另外选2名学生的身高为171和172时，5名学生身高的平均数大于171，方差小于2；
②另外选2名学生的身高为168和170时，5名学生身高的平均数小于171，方差小于2．
【答案】（1） ，
（2）B队 （3）①
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解即可；
（2）根据两个队的方差进行判断即可；
（3）先求出两种情况下的方差，然后进行判断即可．
【小问1详解】
解：∵A队学生身高出现最多的是170，
∴ ，
∵将B队学生身高从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为169，170，
∴中位数 ．
【小问2详解】
解：∵A队学生身高的方差为 ，A队学生身高的方差为 ，且 ，
∴A，B两队舞台呈现效果更好的是B队；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问3详解】
解：①此时5名学生身高的平均数为：
，
此时5名学生身高的方差为：
，
∴5名学生身高的平均数大于171，方差小于2，推断合理；
②此时5名学生身高的平均数为：
，
此时5名学生身高的方差为：
，
∴5名学生身高的平均数大于171，方差大于2，推断不合理．
故答案为：①
【点睛】本题主要考查了中位数、众数的定义，求方差，根据方差进行判断，解题的关键是熟练掌握相关
定义，方差的计算公式，准确计算．
23. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经过点
．
（1）求这个函数的表达式；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值，直接写
出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图象的平移，利用数形结合的思想进行求解是
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解题的关键．
（1）根据平移得到 ，再将 ，代入解析式即可得解；
（2）根据题意，可得 时直线 在直线 的上方，利用图象法求出
的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，
∴ ，
∴ ，
把点 代入 得
，
解得 ，
∴这个一次函数的解析式是 ；
【
小问2详解】
解：由题意，得 时直线 在直线 的上方，
当 时， ，
把 代入 ，得 ，解得 ，
如图：
∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值．
24. 综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为 的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
同的小正方形（如图1），这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒．设剪去的小正方形的边长为
（ ），则纸盒的底面边长为 ．
a．甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到：
无盖纸盒的底面积 与剪去小正方形的边长x的函数表达式为 ；
b．乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和），得到：
无盖纸盒的侧面积 与剪去小正方形的边长x的函数表达式为
；
c．丙同学研究无盖纸盒的体积，得到：
无盖纸盒 的体积 与剪去小正方形的边长x的函数表达式为
．
与x的几组对应值如下表：
x（cm） 1 2.5 5 7.5 10 12.5 14
1562.
y3（cm3） 754 2000 1687.5 1000 312.5 56
5
如图3，在平面直角坐标系 xOy中，描出了表中各组数值所对应的点（x，
y ），并用平滑曲线连接这些点，得到了函数 y ＝x（30−2x）2（1≤x≤14）的
3 3
图象．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
根据以上信息，解决下列问题：
（1）当剪去小正方形的边长x为 时，则无盖纸盒的底面积 为______ ；
（2）当无盖纸盒的侧面积 取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值；
（3）下列推断合理的是______（填序号）；
①当 时，无盖纸盒的体积 随着剪去小正方形的边长x的增大而减小；
②当剪去的小正方形的边长x为 时，无盖纸盒的体积 小于 ；
③当无盖纸盒的体积 为 时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm．
（4）当无盖纸盒的体积 为 时，无盖纸盒的侧面积 为______ ．
【答案】（1）100 （2） cm
（3）② （4）400
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
（1）把x的值代入函数解析式计算即可；
（2）把函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）根据函数图象和性质分别进行分析即可得到答案；
（4）由图象可知，当无盖纸盒的体积 为 时，即 ，再代入 的函数解析式即可得到答
案．
【小问1详解】
当剪去小正方形的边长x为10cm时，
故答案为：100；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
当 时， 取最大值，最大值为 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
即当无盖纸盒的侧面积 取最大值时，剪去小正方形的边长x的值为 ；
【小问3详解】
①∵ ， ，
∴当 时， 随着剪去小正方形的边长x的增大而减小；
故①不合理，
②由 的图象可知，当剪去的小正方形的边长 x为 时，无盖纸盒的体积 小于
，故②合理；
③由 的图象可知，当无盖纸盒的体积 为 时，剪去的小正方形的边长 x除了
10cm，还有一个值在1和2之间．
故③不合理；
故选：②；
【小问4详解】
由图象可知，当无盖纸盒的体积 为 时，即 ，
此时 ，
为
故答案 ：400．
25. 如图，在 中， ， 是 边上一点，以 为直径作 交 于点 ，连接
并延长交 的延长线于点 ，且
（1）求证： 是 的切线；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（ ）连接 ．利用等腰三角形的性质及平行线的判定证 ．得 ．
从而即可得证．
（ ） 连 接 ， 由 ， 得 ． 然 后 证 ． 得
．从而 ．在 和 中，解直角三角形即可得
解．
【小问1详解】
证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
，
，
在 中，
，
，
，
∵ 是直径，
，
，
，
，
，
，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
，
，
在 中，
，
在 中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，圆周角定理的推论，切线的判定，等腰三角
形的性质，熟练掌握解直角三角形，直角三角形的性质以及圆周角定理的推论是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 （ ）上，设抛物
线的对称轴为 ．
（1）若 ， ，求t的值；
（2）已知点 ， 在该抛物线上，若 ， ，比较 ， 的大小，并说明理
由．
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函
数的对称性计算是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）把点 和点 代入 得出关于 、 的二元一次方程组，解方程组求出 、
的值，根据对称轴方程即可得答案；
（2）根据 得出当 时，y随x的增大而增大，判断出 ， 在对称轴的左侧，根据二
次函数的对称性得出点 关于对称轴 的对称点坐标为 ，点 关于对称轴 的
对称点坐标为 ，进而得出 即可得答案．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴把点 和点 代入 得： ，
解得： ，
∵对称轴为 ，
∴ ．
【小问2详解】
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而增大．
令 ，得 ，
∴抛物线与y轴交点坐标为 ．
∵ ， ， ，
∴ ， 在对称轴的左侧，
设点 关于对称轴 的对称点坐标 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
．
．
∴点 关于对称轴 的对称点坐标为 ．
∵ ，
．
．
点 在对称轴左侧，点 在对称轴右侧．
设点 关于对称轴 的对称点坐标 ，
．
．
∴点 关于对称轴 的对称点坐标为 ．
．
．
27. 如图，在 中， ， ，N是 中点，P为 上一点，连接 ，D为
内一点，且 ，点 D 关于直线 的对称点为点 E， 与 交于点 M，连接
．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）依题意补全图形；
（2）求证： ；
（3）连接MN，若 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，见解析
【解析】
【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质等知识，准确作图、
熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）按照题意补全图形即可；
（2）连接 ．证明 ，即可得到结论；
（3）连接 并延长到 F，使得 ，连接 ．证明 为 的中位线．则
． 证 明 ． 由 ． 得 到 ． 则
．证明 ， ，由 即可得到结论．
【小问1详解】
解：依题意补全图形如下：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问2详解】
证明：连接 ．
∵点D关于直线 的对称点为E， ，
， ．
．
，
．
．
，
．
．
【小问3详解】
用等式表示线段 与 的数量关系是： ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
证明：连接 并延长到F，使得 ，连接 ．
∴点N是 中点．
∵点D关于直线 的对称点为E， 与 交于点M，
∴点M是 中点．
∴ 为 的中位线．
．
∵点N是 中点，
．
， ，
．
， ．
又 ，
．
，
．
．
．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
．
， ，
．
．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 ， ， ，给出如下定义：若点 以点 为中心逆
时针旋转 后，能与点 重合，则称点 为线段 的“完美等直点”．
（1）如图1，当 ， ， 时，线段 的“完美等直点”坐标是______；
（2）如图2，当 ， 时，若直线 上的一点 ，满足 是线段 的“完美等直点”，
求点 的坐标及 的值；
（3）当 时，若点 在以 为圆心， 为半径的圆上，点 为线段 的“完美等
直点”，直接写出点 的横坐标 的取值范围．
【答案】（1）
（2）点 坐标为 ；
（3）
【解析】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【分析】（1）根据“完美等值点”的定理，可得 ，则 是等腰直角三角形，四边
形 是正方形，由此即可求解；
（2）当 ， 时， ，设 ，根据题意可证 ，
根据全等三角形的性质即可求解；
（3）根据 分类讨论，当 时，根据正方形的判定和性质可得点 的横坐标；当 时，
根据“完美等值点”的概念及计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：当 ， ， 时， ， ，
∴ ， ,
如图所示，
∵点 绕“完美等直点”逆时针旋转 ，
∴ ，则 是等腰直角三角形，
∴点 的中点坐标为
∴ ，且 ，
∴旋转中心点在线段 的垂直平分线上，
∵ ，
∴点 于点 重合，
∴点 以点 为中心逆时针旋转 后，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴线段 的“完美等直点”坐标是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：当 ， 时， ，
∵直线 上的一点 ，满足 是线段 的“完美等直点”，
∴设 ， ，
如图所示，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，
在 中， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，且 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
【小问3详解】
解：如图所示，当 时， ，点 在圆上，圆心坐标为 ，半径为 ，
∴ ，
∴点 横坐标的取值范围为： ，纵坐标的取值范围为： ，
由（1）的推理可得，线段 的中点坐标为 ，过点 作线段 的垂直平分线，
∴根据“完美等值点”的定义，旋转的性质可得，中心对称点 在线段 的垂直平分线线上，且
，
∴ ， ，即 是等腰直角三角形，
∴由（1）中证明可得四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 的横坐标为 ；
当点 三点共线时，线段 的长度值最大，如图所示，以点 作矩形 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即点 的横坐标大于 ；
当 时， ，如图所示，作 轴于点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，即 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ 的横坐标为 ；
综上所述， 的横坐标 的取值范围为： ．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标中图形的变换规律，理解“完美等值点”的定义，掌握等腰三角形的
判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形运动的规律，分类讨论思想，图形结合思想是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
