文档内容
北京市平谷区 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 如果 ，那么 的值为（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件2x=3y，根据比例的性质，即可求得答案．
【详解】解：∵2x=3y，
∴ = .
故选C.
【点睛】本题考查比例的性质，本题考查比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
2. 如图，已知 ∥ ∥ ， ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【2题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 AC：CE=BD：DF=1：2，然后利用比例性质即可得出答案进
行选择．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴AC：CE=BD：DF，∵ ，
∴AC：CE=BD：DF=1：2，即CE=2AC，
∴AC：AE=1：3= .
故选A.
【点睛】本题考查平行线分线段成比例即三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3. 在Rt ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中成立的是（ ）
△
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】由题意根据三角函数的定义进行判断，从而判断选项解决问题．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴ ，故A选项不成立；
，故B选项成立；
，故C选项不成立；
，故D选项不成立；
故选B.
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作
sinA．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A
的正切，记作tanA．
4. 如果抛物线 开口向下，那么 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【4题答案】【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的开口向下可得不等式 ，解不等式即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线 开口向下，
∴ ，
∴ ．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记“ 时，抛物线向上开口；当
时，抛物线向下开口．”
5. 如图，直角坐标平面内有一点 ，那么 与 轴正半轴的夹角 的余切值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【5题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】作PA⊥x轴于点A，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【详解】
过P作x轴的垂线，交x轴于点A，
∵P(2,4)，
∴OA=2,AP=4，．∴
∴ .
故选B．
【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题关键是熟记三角函数的定义.
6. 如图，PA是⊙O的切线，OP交⊙O于点B，如果 ，OB=1，那么BP的长是（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意连接OA由切线定义可知OA垂直AP且OA为半径，以此进行分析求解即可.
【详解】解：连接OA，
已知PA是⊙O的切线，OP交⊙O于点B，可知OA垂直AP且OA为半径，所以三角形OAP为直角三角
形，
∵ ，OB=1，
∴ ，OA=OB=1，.
∴OP=2，BP=OP-OB=2-1=1
故选C.
【点睛】本题结合圆的切线定义考查解直角三角形，熟练掌握圆的切线定义以及解直角三角形相关概念是
解题关键.
7. 关于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
.
A 函数图像经过点（2，2）； B. 函数图像位于第一、三象限；
C. 当 时，函数值 随着 的增大而增大； D. 当 时， ．
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
【详解】A、关于反比例函数y=- ，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误；
B、关于反比例函数y=- ，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；
C、关于反比例函数y=- ，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；
D、关于反比例函数y=- ，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．
8. 二次函数y=kx2+2x+1的部分图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A. k≤1 B. k≥1 C. k<1 D. 0”）
【11题答案】
【答案】>
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质得出在每个象限内，y随x的增大而减小，图象在第一、三象限内，再比
较即可．
【详解】解：由图象经过点A ，可知 ，反比例函数图象在第一、三象限内，y随x的增大而减
小，由此可知y>y
1 2.
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
12. 如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB=_____度．
【12题答案】
【答案】20．
【解析】
【分析】根据圆周角定理进行分析可得到答案.
【详解】解：∵∠BAC= ∠BOC，∠ACB= ∠AOB，
∵∠BOC=2∠AOB，
∴∠ACB= ∠BAC=20°．
故答案为20．
考点：圆周角定理．
13. 联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是_____．
【13题答案】
【答案】1：2．
【解析】
【分析】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，得出△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形周长比等
于相似比，可得出答案．
【详解】如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE AC，DE∥AC，∴△DEF∽△CAB，∴
所得到的△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．
故答案为1：2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用
了相似三角形周长比等于相似比．
14. 已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______．
【14题答案】
【答案】 等【解析】
【分析】根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到 a＜0，b=0，c=0，所以解析式满足a＜0，
b=0，c=0即可．
【详解】解：根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，
例如： .
【点睛】此题是开放性试题，考查函数图象及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程
度具有积极的意义.
15. 两个函数 和 （abc≠0）的图象如图所示，请直接写出关于x的不等式 的解
集_______________．
【15题答案】
【答案】 或 ；
【解析】
【分析】由题意可知关于x的不等式 的解集实际上就是一次函数的值大于反比例函数的值时自
变量x的取值范围，由于反比例函数的图象有两个分支，因此可以分开来考虑．
【详解】解：关于x的不等式 的解集实际上就是一次函数的值大于反比例函数的值时自变量 x
的取值范围，观察图象的交点坐标可得： 或 .
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质以及一次函数、反比例函数与一次不
等式的关系，理解不等式与一次函数和反比例函数的关系式解决问题的关键．
16. 我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为
5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于__________．【16题答案】
【答案】 或
【解析】
【分析】将情况分为腰比底边长和腰比底边短两种情况来讨论，根据题意求出底边的长进而求出余弦值即
可.
【详解】当腰比底边长长时，若等腰三角形 的腰长为5，“边长正度值”为3，那么底边长为2，所以
这个等边三角形底角的余弦值为 ；当腰比底边长短时，若等腰三角形的腰长为5，“边长正度值”为
3，那么底边长为8，所以这个等边三角形底角的余弦值为 .
【点睛】本题主要考查对新定义的理解能力、角的余弦的意义，熟练掌握角的余弦的意义是解答本题的关
键.
三、解答题(本题共68分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 计算： ．
【17题答案】
【答案】2-
【解析】
【分析】根据题意先算去绝对值，乘方以及求出角 的三角函数值，再把二次根式化为最简，然后求出
结果．
【详解】解：=
=
【点睛】本题考查二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，基础性较强，题目比较简单，计算需细
心．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）如果AC＝8，BC＝6，DE＝3，求AE的长．
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【解析】
【分析】（1）由 以及 ，从而求证△ABC∽△ADE；（2）由△ABC∽△ADE，
可知 ，代入条件求解即可．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠AED＝∠C＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE．
（2）∵△ABC∽△ADE，
且AC＝8，BC＝6，DE＝3，
∴ ，
即： ，
∴AE＝4．
【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，即可求解．
19. 二次函数 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
0 0 m …
y … 3（1）直接写出此二次函数的对称轴 ；
（2）求b的值；
（3）直接写出表中的m值，m= ；
（4）在平面直角坐标系xOy中，画出此二次函数的图象．
【19题答案】
【答案】（1）对称轴x=1；（2）b=-2；（3）m=3；（4）见解析
【解析】
【分析】（1）根据图表直接写出此二次函数的对称轴即可；
（2）图象经过点（1,-1），代入求b的值即可；
（3）由题意将x=3代入解析式得到并直接写出表中的m值；
（4）由题意采用描点法画出图像即可.
【详解】解：（1）观察图像直接写出此二次函数的对称轴x=1．
（2）∵二次函数 的图象经过点（1,-1），
∴ ．
（3）将x=3代入解析式得m=3．
（4）如图．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质分析是解此题的关键．
20. 如图，在 ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连结AE．
△
（1）如果∠B=25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE=2， ，求 的值．
【20题答案】
【答案】（1）∠CAE=40°；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意DE垂直平分AB，∠EAB=∠B，从而求出∠CAE的度数；
（2）根据题干可知利用余弦以及勾股定理求出 的值．
【详解】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA = EB，
∴∠EAB=∠B=25°．
∴∠CAE=40°．（2）∵∠C=90°，
∴ ．
∵CE=2，
∴AE=3．
∴AC= ．
∵EA = EB=3，
∴BC=5．
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余弦的
基本关系进行解题．
21. 如图，已知 是 的外接圆，圆心 在 的外部， ， ，求
的半径.【21题答案】
【答案】4
【解析】
【分析】已知 ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作 于点 ，则直线 为 的
△
中垂线，直线 过 点，在Rt OBH中，用半径表示出OH的长，即可用勾股定理求得半径的长．
△
【详解】
作 于点 ，则直线 为 的中垂线，直线 过 点，
， ，
，
即 ，
.
【点睛】考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，曲线 经过点A．
（1）求曲线 的表达式；（2）直线y=ax+3(a≠0)与曲线 围成的封闭区域为图象G．
①当 时，直接写出图象G上的整数点个数是 ；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图
象G包含边界．）
②当图象G内只有3个整数点时，直接写出a的取值范围．
【22题答案】
【答案】（1）y= ；（2）①3；②-1≤a-
【解析】
【分析】（1）由题意代入A点坐标，求出曲线 的表达式即可；
（2）①当 时，根据图像直接写出图象G上的整数点个数即可;
②当图象G内只有3个整数点时，根据图像直接写出a的取值范围．
【详解】解：（1）∵A（1,1），
∴k=1，
∴ ．
（2）①观察图形 时，可知个数为3；
②观察图像得到 ．
【点睛】本题考查反比例函数图像相关性质，熟练掌握反比例函数图像相关性质是解题关键.
23. 西安市某学校的数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在
离地面30米的点 处，操控者站在点 处，无人机测得点 的俯角为 ，测得教学楼楼顶点 处的俯
角为 ．又经过人工测量得到操控者和教学楼 的距离为57米，求教学楼 的高度．(注：点
都在同一平面上，无人机大小忽略不计．参考数据：)
【23题答案】
【答案】教学楼 的高约为13米．
【解析】
【分析】如图（见解析），过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先在 中，
利用正切函数值求出 AE的长，从而可得 BE的长，再根据矩形的判定与性质可得 CF的长，然后在
中可求出DF的长，最后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则四边形BCFE是矩形
由题意得：
在 中，
，即
四边形 是矩形
在 中，答：教学楼 的高约为13米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的方法是解题关键．
24. 如图，点P是 上一动点，连接AP，作∠APC=45°，交弦AB于点C．AB=6cm．
小元根据学习函数的经验，分别对线段AP，PC，AC的长度进行了测量．
下面是小元的探究过程，请补充完整：
（1）下表是点P是 上的不同位置，画图、测量，得到线段AP，PC，AC长度的几组值，如下表：
AP/cm 0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
PC/cm 0 1.21 2.09 2.69 m 2.82 0
AC/cm 0 0.87 1.57 2.20 2.83 3.61 6.00
①经测量m的值是 （保留一位小数）．
②在AP，PC，AC的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都
是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数图象；（3）结合函数图象，解决问题：当 ACP为等腰三角形时，AP的长度约为 cm（保留一位小数）．
【24题答案】 △
【答案】（1）①3.0；②AP的长度是自变量，PC的长度和AC的长度都是这个自变量的函数；（答案不
唯一）;(2)见解析; （3）2.3或4.2
【解析】
【分析】（1）①根据题意AC的值分析得出PC的值接近于半径；
②由题意AP的长度是自变量，分析函数值即可；
（2）利用描点法画出函数图像即可；
（3）利用数形结合的思想解决问题即可.
【详解】解：（1）①AC=2.83可知PC接近于半径3.0；
②AP的长度是自变量，PC的长度和AC的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一）
（2）如图（答案不唯一，和（1）问相对应）；
（3）结合图像根据AP=PC以及AC=PC进行代入分析可得AP为2.3或4.2
【点睛】本题考查函数图像的相关性质，利用描点法画出函数图像以及利用数形结合的思想进行分析求解.
25. 如图， ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作
DE∥BC交△AC的延长线于点E．（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；
（2）判断并证明：直线DE与⊙O的位置关系；
（3）若AB=10，BC=8，求CE的长．
【25题答案】
【答案】(1)见解析;(2) 直线DE是⊙O的切线,证明见解析;（3）2.3或4.2
【解析】
【分析】（1）依据题意，利用尺规作图技巧补全图形即可；
（2）由题意连结OD，交BC于F，判断并证明OD⊥DE于D以此证明直线DE与⊙O的位置关系；
（3）由题意根据相关条件证明平行四边形CFDE是矩形，从而进行分析求解.
【详解】（1）如图．
（2）判断：直线DE是⊙O的切线．
证明：连结OD，交BC于F．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴ ．
∴OD⊥BC于F．
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE于D．
∴直线DE是⊙O的切线．
（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∵AB=10，BC=8，
∴AC=6．
∵∠BOF=∠ACB=90°，
∴OD∥AC．
∵O是AB中点，
∴OF= =3．
∵OD= =5，
∴DF=2．
∵DE∥BC，OD∥AC，
∴四边形CFDE是平行四边形．
∵∠ODE=90°，
∴平行四边形CFDE是矩形．
∴CE=DF=2．
【点睛】本题结合圆考查圆的尺规作图以及圆的切线定义和矩形的证明，分别掌握其方法定义进行分析.
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与y轴交于点A．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；
（3）已知点 ， ．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范
围．
【26题答案】
【答案】(1)(0,-3);(2)B(2,-3);(3) 或
【解析】
【分析】（1）题干要求直接写出点A的坐标，将x=0代入即可求出；
（2）由题意知点A、B关于对称轴对称，求出对称轴从而即可求点B的坐标；
（3）结合函数图象，抛物线与线段PQ恰有两个公共点，分别对有两个公共点的情况进行讨论求解.【详解】解：（1）由题意抛物线 与y轴交于点A ，将x=0代入求出坐标为
；
（2）∵ ；
∴ ．
（3）当抛物线过点P（4,0）时， ，
∴ ．
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．
当抛物线过点 时，a=1，
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．
∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，
∴ ．
当抛物线开口向下时， ．
综上所述，当 或 时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．
【点睛】本题考查二次函数图像相关性质，熟练掌握二次函数图像相关性质是解题的关键.
27. 如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE，CE．（1）求∠BAE的度数；
（2）连结BD，延长AE交BD于点F．
①求证：DF=EF；
②直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．
【27题答案】
【答案】(1) 75°;(2)①见解析②
【解析】
【分析】（1）根据题意利用等腰三角形性质以及等量代换求∠BAE的度数；
（2）①由正方形的对称性可知，∠DAF=∠DCF=15°，从而证明△BCF≌△ECF，求证DF=EF；
②题意要求等式表示线段AB，CF，EF的数量关系，利用等腰直角三角形以及等量代换进行分析.
【详解】（1）解：∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA．
∵∠ABE=90°－60°=30°
∴∠BAE=75°．
（2）①证明：∴∠DAF=15°．连结CF．
由正方形的对称性可知，∠DAF=∠DCF=15°．
∵∠BCD=90°，∠BCE=60°，
∴∠DCF=∠ECF=∠DAF=15°．
∵BC=EC，CF=CF，∴△DCF≌△ECF．
∴DF=EF．
②过C作CO垂直BD交于O，
由题意求得∠OCF=30°，设OF=x，CF=2x，OB=OC=OD= x，EF=DF=OD-OF= x-x则BC=AB=
有 即有 ．
【点睛】本题考查正方形相关，综合利用等腰三角形性质以及全等三角形的证明和等量替换进行分析是解
题关键.
28. 在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称
这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．
（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是
，“和谐距离”是 ；
（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点， EMN是
以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围； △
的
（3）已知⊙O 半径为2，点P是⊙O上的一动点，点Q是平面内任意一点， OPQ是“和谐三角形”，
△
且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．
【28题答案】
【答案】（1）A,B； ；（2） ；（3）点Q在以点O为圆心，4为半径的圆上；或在以点O
为圆心， 为半径的圆上．
【解析】
【分析】（1）由题意利用“和谐三角形”以及“和谐距离”的定义进行分析求解；
（2）由题意可知以BD的中点为圆心，以BD为直径作圆此时可求点E的横坐标t的取值范围；（3）根据题意△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，画出图像进行分析.
【详解】解：（1）由题意可知当A（2,0），B（0,4）与O构成三角形时满足圆周角定理即能与点O组成
“和谐三角形”，此时“和谐距离”为 ；
（2）根据题意作图，以BD的中点为圆心，以BD为直径作圆，
可知当E在如图位置时求点E的横坐标t的取值范围，
解得点E的横坐标t的取值范围为 ；
（3）如图
当PQ为“和谐边”时，点Q在以点O为圆心， 为半径的圆上；
当OQ为“和谐边”时，点Q在以点O为圆心，4为半径的圆上.
【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的相关性质以及理解题干定义是解题关键.本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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