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北京市平谷区 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 如果 ，那么 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，已知 ∥ ∥ ， ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D. 2
3. 在Rt ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中成立的是（ ）
△
A. B. C. D.
4. 如果抛物线 开口向下，那么 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直角坐标平面内有一点 ，那么 与 轴正半轴的夹角 的余切值为（ ）
A. 2 B. C. D.6. 如图，PA是⊙O 的切线，OP交⊙O于点B，如果 ，OB=1，那么BP的长是（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
7. 关于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 函数图像经过点（2，2）； B. 函数图像位于第一、三象限；
C. 当 时，函数值 随着 的增大而增大； D. 当 时， ．
8. 二次函数y=kx2+2x+1的部分图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A. k≤1 B. k≥1 C. k<1 D. 0”）
12. 如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB=_____度．13. 联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是_____．
14. 已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______．
15. 两个函数 和 （abc≠0）的图象如图所示，请直接写出关于x的不等式 的解
集_______________．
16. 我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为
5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于__________．
三、解答题(本题共68分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 计算： ．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）如果AC＝8，BC＝6，DE＝3，求AE的长．
19. 二次函数 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 0 m …
（1）直接写出此二次函数的对称轴 ；
（2）求b的值；
（3）直接写出表中的m值，m= ；
（4）在平面直角坐标系xOy中，画出此二次函数的图象．
20. 如图，在 ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连结AE．
△
（1）如果∠B=25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE=2， ，求 的值．
21. 如图，已知 是 的外接圆，圆心 在 的外部， ， ，求的半径.
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，曲线 经过点A．
（1）求曲线 的表达式；
（2）直线y=ax+3(a≠0)与曲线 围成的封闭区域为图象G．
①当 时，直接写出图象G上的整数点个数是 ；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图
象G包含边界．）
②当图象G内只有3个整数点时，直接写出a的取值范围．
23. 西安市某学校的数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在
离地面30米的点 处，操控者站在点 处，无人机测得点 的俯角为 ，测得教学楼楼顶点 处的俯
角为 ．又经过人工测量得到操控者和教学楼 的距离为57米，求教学楼 的高度．(注：点
都在同一平面上，无人机大小忽略不计．参考数据：
)是
24. 如图，点P 上一动点，连接AP，作∠APC=45°，交弦AB于点C．AB=6cm．
小元根据学习函数的经验，分别对线段AP，PC，AC的长度进行了测量．
下面是小元的探究过程，请补充完整：
（1）下表是点P是 上的不同位置，画图、测量，得到线段AP，PC，AC长度的几组值，如下表：
AP/cm 0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
PC/cm 0 1.21 2.09 2.69 m 2.82 0
AC/cm 0 0.87 1.57 2.20 2.83 3.61 6.00
的
①经测量m 值是 （保留一位小数）．
②在AP，PC，AC的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都
是这个自变量的函数；
的
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定 函数图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当 ACP为等腰三角形时，AP的长度约为 cm（保留一位小数）．
△25. 如图， ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作
DE∥BC交△AC的延长线于点E．
（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；
（2）判断并证明：直线DE与⊙O的位置关系；
（3）若AB=10，BC=8，求CE的长．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与y轴交于点A．
的
（1）直接写出点A 坐标；
（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；
（3）已知点 ， ．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范
围．
27. 如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE，CE．
（1）求∠BAE的度数；
（2）连结BD，延长AE交BD于点F．
①求证：DF=EF；
②直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．
28. 在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称
这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是
，“和谐距离”是 ；
（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点， EMN是
以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围； △
（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，点Q是平面内任意一点， OPQ是“和谐三角形”，且
“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置． △本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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