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2020－2021 学年北京市平谷区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. 平谷是中国著名的大桃之乡，每年4月桃花竞相开放，漫山遍野，如霞似锦，如海如潮，最是壮观．吸
引无数市民和游客慕名前往．桃园内弥漫着桃花花粉，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学
记数法表示为（ ）
A. 0.3×10﹣4 B. 3×10﹣5 C. 0.3×10﹣5 D. 3×10﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：0.00003=3×10-5．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2. 若实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A. a﹣b＞0 B. a﹣c＜0 C. a﹣c＞0 D. a＋c＞b
【答案】C
【解析】
【分析】根据各点在数轴上的位置判断各数的符号，再对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵a＜b，∴a-b＜0；∴A选项不符合题意；
∵a＞c，∴a-c＞0；∴B选项不符合题意；
∵a＞c，∴a-c＞0；∴C选项符合题意；
∵c＜0＜a＜b，∴a+c＜b；∴D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题运用了用数轴比较两个数的大小的知识点，关键要正确利用数轴来判断．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. a2•a3＝a6 B. （a2）3＝a5
C. 3a2＋2a2＝5a2 D. （2xy）3＝6x3y3
【答案】C
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方法则进行计算，从而作出判断．
【详解】解：A、a2•a3=a5，故此选项不符合题意，
B、（a2）3=a6，故此选项不符合题意，
C、3a2+2a2=5a2，正确，故此选项符合题意，
D、（2xy）3=8x3y3，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方运算，掌握运算法则是解题基础．
4. 在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（ ）
A. x2＋2x＋4＝（x＋2）2 B. x2﹣4＝（x＋4）（x﹣4）
C. x2﹣4x＋4＝（x﹣2）2 D. x2＋4＝（x＋2）2
【答案】C
【解析】
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式=（x+2）（x-2），不符合题意；
C、原式=（x-2）2，符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5. “十三五”时期是北京市迄今为止大气污染治理力度最大，成效最明显的五年，2020年空气质量优良
天数继续增加，大气主要污染物中细颗粒物（PM2.5）年均浓度首次实现38微克/立方米，空气质量改善
取得标志性、历史性突破．小明收集了2021年3月北京市16个城区的PM2.5的浓度均值（单位：微克/立
方米），并整理如表：
PM2.5 的浓
79 80 81 83 84 86
度
城区的个数 3 1 2 4 5 1
则北京市16个城区的PM2.5的浓度均值（单位：微克/立方米）的众数和中位数分别为（ ）
A. 83，82 B. 84，82 C. 84，83 D. 83，84
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数、中位数的定义求解即可得出答案．
【详解】解：∵84出现了5次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是84微克/立方米，把这些数从小到大排列，中位数是第8、第9个数的平均数，
则中位数 =83（微克/立方米）．
是
故选：C．
【点睛】本题考查了中位数和众数．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照
大小顺序重新排列后再求，以免出错．
6. 关于命题“若a＝b，则|a|＝|b|”与其逆命题的真假性，下列判断正确的是（ ）
A. 原命题与其逆命题都是真命题 B. 原命题与其逆命题都是假命题
C. 原命题是假命题，其逆命题是真命题 D. 原命题是真命题，其逆命题是假命题
【答案】D
【解析】
【分析】写出其逆命题，进而判断即可．
【详解】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题为：若|a|=|b|，则a=b，是假命题，
而命题“若a=b，则|a|=|b|”是真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假判断，考查原命题、逆命题等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，
考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
7. 如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少
是（ ）
A. 10° B. 20° C. 50° D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】要使木条a与b平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a至少旋转的度数.
【详解】解：∵要使木条a与b平行，
∴∠1=∠2，
∴当∠1需变为50 º，
∴木条a至少旋转：70º-50º=20º.
故选B.【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；
③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准
同位角，内错角和同旁内角.
8. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．当直线CD绕点O顺时针旋转
°（0＜ ＜180）时，下列各角的度数与∠BOD度数变化无关的角是（ ）
A. ∠AOD B. ∠AOC C. ∠EOF D. ∠DOF
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOD=2∠EOD，∠BOD=2∠DOF，结合平角的定义可求解
∠EOF=90°，由∠EOF的度数为定值可判定求解．
【详解】解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠AOD=2∠EOD，∠BOD=2∠DOF，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠EOD+∠DOF=90°，
即∠EOF=90°，
∴直线CD绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，∠EOF的度数与∠BOD度数变化无关．
故选：C．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，求解∠EOF的度数是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 用不等式表示：a的3倍与b的和不小于3____．
【答案】3a+b≥3
【解析】
【分析】根据a的3倍即3a，再利用3a与b的和不小于3，即大于等于3，得出答案即可．
【详解】解：由题意可得：3a+b≥3．
故答案为：3a+b≥3．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解不小于的意义是解题关键．10. 如果把方程x﹣2y＋3＝0写成用含y的代数式表示x的形式，那么x＝___．
【答案】2y-3
【解析】
【分析】把y看作已知数表示出x即可．
【详解】解：方程x-2y+3=0，
解得：x=2y-3．
故答案为：2y-3．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，掌握等式的基本性质是解本题的关键．
11. 若多项式（x﹣1）（x＋3）＝x2＋ax＋b，则a＋b＝___．
【答案】-1
【解析】
【分析】由多项式乘多项式法则可得：（x-1）（x+3）=x2+2x-3，再由已知可得x2+2x-3=x2+ax+b，求出
a=2，b=-3，即可求解．
【详解】解：（x-1）（x+3）=x•x+3x-x-3=x2+2x-3，
∵（x-1）（x+3）=x2+ax+b，
∴x2+2x-3=x2+ax+b，
∴a=2，b=-3，
∴a+b=2-3=-1，
故答案为-1．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则，能够准确计算是解题的关键．
12. 若 是方程3x＋ay＝4的解，则a的值为____．
【答案】2
【解析】
【分析】将 代入方程3x+ay=4计算可求解a值．
【详解】解：将 代入方程3x+ay=4得3×2-a=4，
解得a=2，
故答案为2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，理解二元一次方程解的概念是解题的关键．13. 计算：（1） ＝___；
（2）（2x＋y）2＝___．
【答案】 ①. ②. 4x2+4xy+y2
【解析】
【分析】（1）根据单项式乘除法运算法则进行计算即可；
（2）根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：（1）原式=
= ；
（2）原式=4x2+4xy+y2
故答案为： ，4x2+4xy+y2．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握运算法则和乘法公式．
14. 将一副直角三角板如图摆放，点D落在AB边上，BC∥DE，则∠1＝___°．
【答案】135
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠2的度数，再利用邻补角的性质可得∠1．
【详解】解：如图：∵BC∥DE，
∴∠2=∠C=45°．
由邻补角的性质可得：∠1+∠2=180°，
∴∠1=180°-45°=135°．
故答案为：135．
【点睛】本题考查平行线的性质和邻补角的性质，能够利用平行线的性质得出∠2的度数是解题的关键．
15. 已知方程组 则 的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】把两式相加即可得到结果；
【详解】 ，
①+②得： ，
∴ ；
故答案 是2．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
16. 2020年比较流行一款推理类游戏，是用剧本虚拟出一场故事，玩家根据演绎和推理案件过程，得出结
论．类比，此游戏过程，请同学们用扑克牌做一个简单的推理游戏：
①从左到右有三张不重复的扑克牌，这三张牌中不是红桃就是方块；
②红桃右边有且仅有一张方块；
③6的左边至少有一张是8；
④8的右边至少有一张是8．
请写出这三张牌从左到右的顺序可能是：___．（填写正确的序号）
①红桃8，方块6，方块8②红桃8，红桃6，方块8③红桃8，方块8，红桃6【答案】③
【解析】
【分析】由于红桃右边有且仅有一张方块，所以红桃是最左边的一张；红桃右边的两张牌中也有一张是红
桃；由于6的左边至少有一张是8，所以6是最右边的一张，由于8的右边至少有一张是8，即最左边是红
桃8；中间是方块8，最右边是红桃6．
【详解】解：一共有三张牌：由条件②即可判断红桃右边有两张牌，一张红桃，一张方块，由条件③即可
判断6的左边有两张；由条件④即可判断8的右边有两张，所以三张牌的顺次为：红桃8，方块8，红桃
6．
故答案为③．
【点睛】本题考查的是逻辑推理，完成本题的关键是抓住方位与张数来进行分析推理．
三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18、19题，每题5分，第20题10分，第21、
22题，每题5分，第23题6分，第24、25题，每小题10分，第26、27题，每小题10分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 分解因式：
（1）a2﹣9；
（2）a3﹣8a2＋16a．
【答案】（1）（a+3）（a-3）；（2）a（a-4）2
【解析】
【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：（1）原式=（a+3）（a-3）；
（2）原式=a（a2-8a+16）
=a（a-4）2．
【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
18. 解不等式 ，并求出非负整数解．
【答案】x≤1；0，1
【解析】
【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，求出解集，进而求出非负整数解即可．
【详解】解：去分母得：4（x-1）≤3（1-x），
去括号得：4x-4≤3-3x，
移项得：4x+3x≤3+4，合并得：7x≤7，
解得：x≤1，
则不等式的非负整数解为0，1．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题
的关键．
19. 解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】-2≤x＜2，数轴表示见解答
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数
轴上即可．
【详解】解： ，
由①得：x≥-2，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为-2≤x＜2．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法
是解本题的关键．
20. 用适当的方法解下列方程组．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）将②代入①可求解x值，将x=11代入②可求解y值，进而解方程；
（2）①×2-②可求解x值，再将x值代入①可求解y值，进而解方程．【详解】解：（1） ，
将②代入①得2x-3（x-4）=1，
解得x=11，
将x=11代入②得y=11-4=7，
∴方程组的解为 ；
（2） ，
①×2-②得5x=15，
解得x=3，
将x=3代入①得3×4-2y=10，
解得y=1，
∴方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组：加减消元法，代入消元法，选择合适
的解法是解题的关键．
21. 计算：（﹣3a2）3＋（a3）2＋a2•a4
【答案】-25a6
【解析】
【分析】先算乘方，然后算乘法，最后算加减．
【详解】解：原式=-27a6+a6+a6
=-25a6．
【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题基础．
22. 已知3x2＋2x﹣5＝0，求代数式（2x＋1）（2x﹣1）﹣x（x﹣2）的值．
【答案】3x2+2x-1，4
【解析】
的
【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式可以化简题目中 式子，然后将3x2+2x-5=0代入化简后的
式子即可解答本题．
【详解】解：（2x+1）（2x-1）-x（x-2）=4x2-1-x2+2x
=3x2+2x-1，
当3x2+2x-5=0时，原式=（3x2+2x-5）+4=0+4=4．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
23. 列方程（组）、解应用题
2021年4月世界休闲大会在北京平谷举办，本届大会秉承了“全域、全季、全民休闲”的理念，多角度呈
现．大会的主会场馆﹣金海湖国际会展中心，位于金海湖畔，屹立于桃花海中，将为大家呈现了一幅用建
筑写就的“山水画卷”．周末小明与父母去金海湖参观，在迎宾大道看到一种园艺造型，他们一家子有如
下交流：
（1）爸爸说：“如果搭配这个园艺造型需要花卉50盆，绿植90盆，每盆花卉的价格比每盆绿植的价格贵
2元，而搭配这样一个园艺造型需要花费1500元，你知道每盆花卉和绿植各多少元吗？”请你帮小明解决
此问题并写出求解过程．
（2）妈妈说：“若需要同样的花卉和绿植布置某个展厅，要求绿植比花卉多100盆，花费不低于6500元
但也不能超过7000元，”请你帮小明写出一种购买方案．
【答案】（1）每盆花卉的价格为12元，每盆绿植的价格为10元；（2）购买250盆花卉，350盆绿植（答
案不唯一）
【解析】
【分析】（1）设每盆绿植的价格为x元，则每盆花卉的价格为（x+2）元，利用总价=单价×数量，即可得
出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设购买花卉m盆，则购买绿植（m+100）盆，利用总价=单价×数量，结合花费不低于6500元但也不
能超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，取其中的任一整数
值即可得出结论．
【详解】解：（1）设每盆绿植的价格为x元，则每盆花卉的价格为（x+2）元，
依题意得：50（x+2）+90x=1500，
解得：x=10，
∴x+2=12．
答：每盆花卉的价格为12元，每盆绿植的价格为10元．
（2）设购买花卉m盆，则购买绿植（m+100）盆，
依题意得： ，
解得：250≤m≤ ，∵m为整数，
∴m可以为250，此时m+100=350，
∴购买250盆花卉，350盆绿植．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24. 完成下面的证明：
已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OA上一点，作∠AEF＝∠AOB，交AB于点F．
求证：∠EFA＝∠C
证明：∵∠AEF＝∠AOB，
∴ ∥ （ ）．
∴∠EFA＝∠B．
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C ．
∴∠EFA＝∠C ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先证明EF∥OB，得到∠EFA＝∠B，根据平行线的性质得到∠B＝∠C，利用等量代换得到结果．
【详解】解：证明：∵∠AEF＝∠AOB，
∴EF∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∴∠EFA＝∠B．
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EFA＝∠C（等量代换）．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握同位角相等，两直线平行，两直线平行，内
错角相等．
25. 2021年平谷区创建文明城区的工作已全面启动．区教育系统结合《北京市生活垃圾管理条例》实施周
年的重要节点，大力普及中学生垃圾分类知识，某校组织学生收集废弃塑料瓶活动以减少环境污染，现从七年级（2）班随机抽取了20名学生，对这20名学生一周内进行收集废弃塑料瓶活动的数量进行整理、描
述和分析．下面给出了部分信息．
过程如下：
a．收集废弃塑料瓶的数量：
66 70 71 78 71 78 75 78 58 80
63 90 80 85 80 89 85 86 80 87
b、整理、描述数据：
数量 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
人数 1 2 m 9 1
c．收集废弃塑料瓶的数量统计图：
d．样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级（2）班 77.5 n k
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ，k＝ ；
（2）在扇形统计图中，“60≤x＜70”所在的扇形的圆心角等于 度；
（3）七年级共有200人，估计七年级收集数量不少于80个塑料瓶的学生总人数为 ．
【答案】（1）7、79、80；（2）36；（3）100人
【解析】
【分析】（1）将题干所提供的数据重新排列，再进一步求解即可；
（2）用360°乘以60≤x＜70的人数所占比例即可；
（3）用总人数乘以样本中收集数量不少于80个塑料瓶的学生人数占总人数的比例即可．
【详解】解：（1）由题意知m=7，将数据重新排列为58、63、66、70、71、71、75、78、78、78、80、80、80、80、85、85、86、87、89、
90，
所以这组数据的中位数n= =79，众数k=80，
故答案为：7、79、80；
（2）在扇形统计图中，“60≤x＜70”所在的扇形的圆心角等于360°× =36°，
为
故答案 ：36；
（3）估计七年级收集数量不少于80个塑料瓶的学生总人数为200× =100（人），
故答案为：100人．
【点睛】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
26. 已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，
连接CD．
（1）在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．
①依题意补全图形；
②求证：∠ADC＋∠BEC＝90°；
（2）如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝ ，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线
交于点G，请用含有 的代数式来表示∠DGF，直接写出无需证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）结论：∠DGF=180°- α．证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据要求作出图形即可．②过点C作CT∥MN．利用平行线的性质和判定以及垂线的性
质解决问题．
（2）结论：∠DGF=180°- α．利用（1）中基本结论解决问题即可．
【详解】解：（1）①图形如图所示．②证明：过点C作CT∥MN．
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∵CT∥MN，MN∥PQ，
∴CT∥MN∥PQ，
∴∠ADC=∠DCT，∠BEC=∠ECT，
∴∠ADC+∠BEC=∠DCT+∠ECT=∠ECD=90°．
（2）如图2中，结论：∠DGF=180°- α，
由（1）的结论可知：∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，
∵DG平分∠NDC，GF平分∠CFQ，
∴∠GDN= ∠CDN，∠GFQ= ∠CFQ，
∴∠DGF= （∠CDN+∠CFQ）= （180°-∠ADC+180°-∠BFC）=180°- α．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
27. 定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；
再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；
（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；
（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k=5，理由见解答过程；（4）见解析
【解析】
【分析】（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”；
（2）利用53=22+72即可判断；
（3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可；
（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而
可判断．
【详解】解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，
故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，
故答案为：2或5或8（写一个即可）；
（2）53=22+72，故53是“完美数”，
故答案为：是；
（3）k=5（答案不唯一），
理由：∵M=x2+4x+k
∴M=x2+4x+4+k-4
M=（x+2）2+k-4
则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5．
（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，
则有mn=（a2+b2）（c2+d2）
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd
=（ac+bd）2+（ad-bc）2
故mn是一个“完美数”．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
