文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市东直门中学 2023-2024 学年度初三年级阶段性综合练习
数学试卷
考试时间：120分钟 总分：100分
一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 2023年我国规模以上内容创作生产营业收入累计值前三个季度分别约为6500亿元13000亿元，20000
亿元，合计约39500亿元．将39500用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将39500用科学记数法表示应为 ．
故选：B．
2. 如图是一个由5个小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据从正面看到的图形即可求解．
【详解】解：从正面看到的图形为 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故选：C
【点睛】本题考查了立体图形的三视图，理解三视图的概念是解题的关键．
3. 如图， 经过旋转成轴对称得到 ，其中 绕点A逆时针旋转 的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称，旋转的性质判断即可．
【详解】解：由题意，选项B，C可以通过翻折得到．
选项A，其中 绕点 逆时针旋转 可以得到 ，
选项D，其中 绕点 逆时针旋转 可以得到 ．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转及轴对称概念和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4. 已知地面温度是 ，如果从地面开始每升高 ，气温下降 ，那么气温t 与高度 的函
数关系是（ ）
A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 二次函数 D. 一次函数
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函
数概念进行判断即可．
【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t 与高度 的函数关系是
，这是一次函数关系；
故选：D．
5. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意以及实数a，b，c在数轴上对应点的位置逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵ ，
， ，故A选项不正确，不符合题意；
，故B选项不正确，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
， ，故D选项不正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，根据点的位置判断式子的符号，数形结合是解题的关键．
6. 已知 ， ， 三点都在二次函数 的图象上，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【解析】
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线 ，再利用二次函数的增减性求解即可得．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴为直线 ，开口向下，
当 时的函数值与当 时的函数值相等，即为 ；当 时， 随 的增大而增大，
又∵ ， ， 三点都在二次函数 的图象上，且 ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．
7. 9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数a与这9个数都不相等．把a和这9个数组成一组新的数
据，下列结论正确的是（ ）
A. 这两组数据的平均数一定相同 B. 这两组数据的方差一定相同
C. 这两组数据的中位数可能相同 D. 以上结论都不正确
【答案】A
【解析】
【分析】分别设出两组数据，然后根据平均数及方差、中位数的计算方法求解即可得．
【详解】解：设①这组数据分别为： （互不相同），
②组成新的数据为： （互不相同），
A、①组数据的平均数为： ，
②组数据的平均数为： ，
故A正确；
B、由A的两组数据的平均数相同，
①的方差为： ，
②的方差为： ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
可得，分子相同，分母不同，故B错误；
C、①组数据为奇数个，中位数为其中某个数，设为 ，
②组数据为偶数个，中位数为中间两个数据的平均数，假设为 ， ，
若中位数相等，则 ，
∴ ，与题意矛盾，故C选项错误；
D选项也错误；
故选A．
【点睛】题目主要考查求平均数、方差及中位数，熟练掌握这几个数据的计算方法是解题关键．
8. 如图， 是半圆O的直径，C是半圆周上的动点（与A，B不重合）， 于点D，连接 ．
设 ， ， ，给出下面三个结论：① ；② ；③ ．上述结
论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据 是半圆O的直径，得出 ，根据直角三角形的性质得出 ，
根据C是半圆周上的动点(与A，B不重合），即可判断①；根据点C的运动轨迹确定
，即可判定②；证明 ，根据相似三角形的性质得出
，结合①中结论即可判断③．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
本题考查了相似三角形 的判定和性质，圆的有关知识，圆周角定理，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：∵ 是半圆O的直径，
∴ ，
∵点O是 中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
即 ，故①正确；
∵C是半圆周上的动点(与A，B不重合），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故②错误；
， ，
，
， ，
，
，
∴ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
故选：C．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 若代数式 在实数范围内有意义，x应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵代数式 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
10. 因式分解：a3﹣2a2b+ab2=_____．
【答案】a（a﹣b）2
【解析】
【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：原式=a（a2﹣2ab+b2）
=a（a﹣b）2，
故答案为a（a﹣b）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11. 方程 的解是________．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴分式方程的解为 ．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则
______．
【答案】0
【解析】
【分析】将 ， 两点代入反比例函数求得 和 的值，再计算求值即可；
【详解】解：∵点 和 在反比例函数图象上，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：0；
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的性质，掌握函数图象上的点满足函数关系式是解题关键．
13. 已知9°的圆周角所对的弧长是 cm，则此弧所在圆的半径是_____．
【答案】2cm
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出弧所对的圆心角，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设此弧所在圆的半径为r，
弧所对的圆心角为：9°×2＝18°，
则 ，
解得，r＝2，即此弧所在圆的半径为2cm，
故答案为2cm．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．
14. 甲、乙、丙三位同学随机站成一排，那么甲站在中间的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据题意，画出树状图计算即可，根据题意画出正确的树状图是
计算概率的关键．
【详解】解：画树状图如图：
共有 个等可能的结果，甲站在中间的结果有 个，
∴甲站在中间的概率为 ，
故答案为： ．
15. 如图，在矩形 中， 是边 的中点，连接 交对角线 于点 ，若 ，
，则 的长为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用矩形的性质和勾股定理可得
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，进而得 ，再由 得到 ，即可得 ，进而可求出
的长，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 为矩形， ，
∴ ， ， ，
∵ 是边 的中点，
∴ ，
在 中， ， ，
∴
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故答案为： ．
16. 有黑、白各 张卡片，分别写有数字 至 ；把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，
排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字 摆在
了标注字母 _____的位置，标注字母 的卡片写有数字 ________
【答案】 ①. B ②.
【解析】
【分析】本题考查图形及数字类的规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定白 ，白 ，
白 ，白 的位置．
【详解】解：第一行中 与第二行中 肯定有一张为白 ，
若第二行中 为白 ，则左边不可能有 张黑卡片，
∴白卡片数字 摆在了标注字母 的位置，
∴黑卡片数字 摆在了标注字母 的位置；
∴第一行中 与第二行中 肯定有一张为白 ，
若第二行中 为白 ，则 ， 只能是黑 ，黑 ，
而∵ 为黑 ，矛盾，
∴第一行中 为白 ；
第一行中 与第二行中 肯定有一张为白 ，
若第一行中 为白 ，则 ， 只能是黑 ，黑 ，此时黑在白 右边，与规则②矛盾，
∴第二行中 为白 ，
∴第二行中 为黑 ， 为黑 ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
第一行中 与第二行中 肯定有一张为白 ，
若第一行中 为白 ，则 ， 只能是黑 ，黑 ，与 为黑 矛盾，
∴第二行中 为 ．
故答案为：B； ．
三、解答题（共68分，17~21、23题，每题5分，22、24~26题，每题6分，27，28题，每
题7分）
17. 计算： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】先运用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值对原式进行化简，然后在
计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值等知识，掌握并灵活
运用相关知识是解答本题的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组，先分别求出两个不等式的解集，再取它们的公共部分，即可得出答
案．
【详解】 ，
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
所以不等式组的解集是 ．
19. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】3
【解析】
【分析】把 代入方程，求出 ，再将代数式进行化简，利用整体思想进行计算即可．
【详解】19．解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ．
∴ ．
原式
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，以及利用整体思想求代数式的值．熟练掌握一元二次方程的
解的概念是解题的关键．
20. 如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．
（1）求证：四边形OMPN 是矩形；
（2）连接AP，若 ， ，求AP的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理可得四边形OMPN是平行四边形，再由菱形的性质即可证得结论；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）由菱形的性质及已知可得△ABD是等边三角形，进而可得OA的长度，由中位线的性质可得PN及
ON，从而可得AN，由矩形的性质及勾股定理即可求得AP的长．
【小问1详解】
∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．
∴ ， ．
∴四边形OMPN是平行四边形．
∵在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，
∴ ．
∴四边形ONPN是矩形．
【小问2详解】
∵四边形OMPN是矩形，
∴ ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，AC平分∠BAD．
∵ ， ，
∴△ABD是等边三角形．
∴BD=4．
∴ ，由勾股定理得： ．
∴ ， ．
∴ ．
∴在 中,由勾股定理得: ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
等知识，涉及的知识点较多，灵活运用它们是解题的关键．
21. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平
方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽．
【答案】车道的宽为4米
【解析】
【分析】设车道宽度为 米，根据停车位总占地面积为390平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意
的值即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设车道宽度为 米，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：车道的宽为4米．
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，4），B（3，m）．
（1）若点A，B在同一个反比例函数y＝ 的图象上，求m的值；
1
（2）若点A，B在同一个一次函数y＝ax+b的图象上，
2
①若m＝2，求这个一次函数的解析式；
②若当x 3时，不等式mx﹣1 ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】（1） ；（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）把 代入 ，先求解 再把 代入 ，求解 即可得到答案；
（2）①把 代入 中，列方程组，解方程组可得答案；②根据直线 过
定点 直线 过定点 ，分三种情况讨论，当 ＜ ＜ 时，当 当 时，
分别画出符合题意的图像，结合图像可得结论．
【详解】解：（1）把 代入 ，
把 代入 ，
（2）①当 则
把 代入 中，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解得：
这个一次函数的解析式为
② 当 ＜ ＜ 时，如图，由 ＞ 时，不等式mx﹣1 ax+b始终成立，
所以直线 过 符合题意，过 不符合题意，
所以： ＜ ；
当 如图，由 ＜
此时 始终在 的下方，所以，此时不符合题意，舍去，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
当 时， 此时 ＞
如图，即 始终在 的上方，
所以：当 时，满足 ＞ 时，不等式mx﹣1 ax+b始终成立，
综上：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图像法直接得到不等式
的解集，掌握利用函数图像解决不等式问题是解题的关键．
的
23. 某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们 居家生活．由1至4号的专业评委和5至10
号的大众评委进行评分．
例如 A节目演出后各个评委所给分数如下：
评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4
评分方案如下：
方案一：取各位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则
该节目的得分为 ．
回答下列问题：
（1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你______小乐的说法吗（填“同意”或“不同意”）？
理由是______；
（2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算
1至4号评委所给分数的平均数 ，5至10号评委所给分数的平均数 ，再根据比赛的需求
设置相应的权重（ 表示专业评委的权重， 表示大众评委的权重，且 ）．
如：当 时，则 ．该节目的得分为 ．
Ⅰ．当按照“方案三”中 评分时，A节目的得分为______；
Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有______．
①当 时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高；
②当 时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
③当 时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性．
【答案】（1）同意，理由见解析；
（2）Ⅰ．7.68；Ⅱ．①③．
【解析】
【分析】（1）根据算术平均数的概念和意义，即可得到答案；
（2）I．根据 ，直接代入数据，即可求解；Ⅱ．根据 对①②③进行判断，
即可得到结论．
【小问1详解】
解：同意小乐的说法，理由是：评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能够使评分更具公平性．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问2详解】
解：I．∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴A节目的得分为：7.86；
Ⅱ．①当 时，A节目按照“方案三”评分的结果= ，比“方案一”和
“方案二”都高，故原说法正确；
②当 时，A节目按照“方案三”的评分结果 ，与“方案一”的评分结果
不一样，故原说法错误；
③当 时，A节目按照“方案三”的评分结果 ，与“方案一”的评分结
果一样；
当 时，说明专业评委的权重占比大于大众评委的权重，即“方案三”评分更注重节目的专业性，
故原说法正确；
综上所述：①③正确．
【点睛】本题主要考查平均数，掌握算术平均数和加权平均数的定义，是解题的关键．
24. 如图， 为 的直径， 为弦， 于点E，连接 并延长交 于点F，连接
交 于点G， ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 和 的长．
【答案】（1）证明见解析
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 得到 ，再根据圆周角定理得出 ，进而得到
，即可求证；
（ 2 ） 由 题 意 可 得 ， ， 证 明 （ ） ， 得 到
，进而得到 ，再证明 ，推出 ，
则 ．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆与三角形综合问题、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角
形的判定和性质，找到边长之间的关系以及角之间的关系是解题的关键．
25. 中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳
饮用口感的时间．部分内容如下：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
a．探究活动在同一社团活动室进行，室温 ；
b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用 的水冲泡，等茶水温度降
至 饮用，口感最佳；某种绿茶用 的水冲泡，等茶水温度降至 饮用，口感最佳；
c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位： ），普洱茶茶水的温度为 （单位：
），绿茶茶水的温度为 （单位： ）．记录的部分数据如下：
10.
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
0
95. 88. 82. 77. 72. 68. 64. 60. 57. 54. 51.
0 5 6 2 4 0 0 3 1 1 4
85. 79. 74. 70. 65. 62. 58. 55. 52. 50. 47.
0 5 5 0 8 0 6 5 7 2 9
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画 与x、 与x之间的关系，在同一平面直角坐标系 中，已经画出 与x的函
数图象，请画出 与x的函数图象；
（2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________ 时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的
温度约为__________ （结果保留小数点后一位）；
（3）探究活动中，当普洱茶茶水的温度为 时，再继续放置 ，测得其温度为 ，则
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
m__________60（填“>”“=”或“﹤”）．
【答案】（1）见详解 （2）5.5；66.0
（3）>
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象获取信息、用描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把列表的数值分别在图象中描点出来，再依次连接，即可作答．
（2）结合图象以及题干“某种普洱茶用 的水冲泡，等茶水温度降至 饮用，口感最佳；某种绿茶
用 的水冲泡，等茶水温度降至 饮用，口感最佳；且结合函数图象”，进行作答即可．
（3）相比较：某种普洱茶用 的水冲泡，放置 ，此时测得其温度为接近 ，以及结合图象，
进行作答即可．
【小问1详解】
解：依题意，得 与x的函数图象，如图所示：
【小问2详解】
解：∵某种普洱茶用 的水冲泡，等茶水温度降至 饮用，口感最佳；某种绿茶用 的水冲泡，
等茶水温度降至 饮用，口感最佳；且结合函数图象
∴绿茶茶水降至 饮用，大概时间轻为5.5 ，其饮用口感最佳，
此时普洱茶茶水的温度约为 （结果保留小数点后一位）；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故答案为：5.5；66.0．
【小问3详解】
解：∵某种普洱茶用 的水冲泡，放置 ，此时测得其温度为接近 ，
∴当普洱茶茶水的温度为 时，再继续放置 ，测得其温度为 ，则
故答案为：>．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）当抛物线过点 时，求抛物线的表达式；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含 的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点 和 ，当 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）把 代入解析式进行求解即可；
（2）利用对称轴公式进行计算即可；
（3）分 和 ，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点 ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
∴ ；
【小问2详解】
解：抛物线的对称轴为： ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问3详解】
解： ，
当 时， ，解得： ；
①当 时：∵ ，
如图，
或
则： 或 ，
解得： 或无解；
∴ ；
②当 时：∵ ，
如图，
或
则： 或 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解得：无解或 ；
∴综上： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是数形结合．
27. 在 中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作
DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设 ，求EF的长（用含 的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，
并证明．
【答案】（1） ；（2）图见解析， ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得 ， ， ，再根据
平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得 ，从而可得 ，然后利用勾股定理即可
得；
（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得 ， ，再根据三角形全
等的判定定理与性质可得 ， ，然后根据垂直平分线的判定与性质可得 ，最
后在 中，利用勾股定理、等量代换即可得证．
【详解】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点
∴DE为 的中位线，且
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴四边形DECF为矩形
∴
∴
则在 中， ；
（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG
∵
∴ ，
∵D是AB的中点
∴
在 和 中，
∴
∴ ，
又∵
的
∴DF是线段EG 垂直平分线
∴
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，
∴
在 中，由勾股定理得：
∴ ．
【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定
定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全
等三角形和直角三角形是解题关键．
28. 对于平面直角坐标系 中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A、B两点，使 为
等腰直角三角形，且 ，我们则称点C为图形G的“东中点”．
（1）已知点 ， ，在点 ， ， 中，线段 的“东中点”是
______；
（2）直线 分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点 为线段 的“东中点”，求m的取
值范围；
（3）已知直线 分别交x轴、y轴于P、Q两点，若线段 上存在半径为2的 的“东中
点”，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据“东中点”的意义一一判断即可；
（2）点C在线段 上时，求得m的值，此时不满足题意，考虑点C在线段 的下方、上方情况，分别
画出图形，过C作 于B，延长 交x轴于H，则 或 的长度必须大于等于 的长度即
可；
（3）分三种情况：先考虑 的情况，当直线与圆相切时，求得n的最小值；当以 为直径构造等腰
直角三角形 ，此时为n的最大值，两者结合即可求得n为正时的取值范围；再考虑 情况；最后
考虑 情况，由与 的对称关系即可求解；
【小问1详解】
解：如图所示，由题意知， ，故 是等腰直角三角形，满足题意；
过 作 于A， ， 均不是等腰直角三角形，则
不符合题意；
过 作 于B，则 ，故 是等腰直角三角形，满足题意；
综上，满足题意点有 ；
故答案为： ；
【小问2详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解：对于直线 ，令 ，得 ；令 ，得 ；
即 ，
，
；
显然直线 经过点C时，此时 ，即 时，不满足题意；
当直线 在C点上方时，如图，过点C作 于B，延长 交x轴于H，
则 ，
，
为等腰直角三角形，且 ，
故在线段 上必存在点A，使得 ；
把 代入 中，得 ，
所以 ；
当直线 在C点下方时，如图，过点C作 于B，延长 交x轴于H，
则 时，符合题意；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
当直线 过点H时， ，如图，
此时 ，即 ，
把B点坐标代入 中，得 ，
即 ；
综上， 或 ；
【小问3详解】
解：考虑 时的情况；
当直线 与 切于点C时，如图， ， ，
符合题意，此时 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
由勾股定理得： ，
故 ；
以 为直径，构造等腰直角三角形 ，此时为n的最大值，
由题意， 是线段 的垂直平分线，则 ，
，
，
平分 ；
过点D作 于M，则 ， ，
，
，
，
即 ；
综上，当 时，n的取值范围为 ；
当 时，不符合题意，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
当 时，与 的情况对称，n的取值范围为 ；
综上，n的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数与圆的性质的应用，等腰直角三角形的性质等知识，关键是读
懂题意，借助定义作出图形，注意数形结合、分类讨论思想的运用．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
