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2022~2023 北京市八年级上期末数学试卷分类汇编
——全等三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋•平谷区期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，BP平分∠ABC交AC于点P，
若PA＝4cm，BC＝13cm，则△BCP的面积是（ ）
A．52cm2 B．13cm2 C．45cm2 D．26cm2
【分析】过点P作PD⊥BC，垂足为D，根据角平分线的性质可得PA＝PD＝4cm，然后
利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：过点P作PD⊥BC，垂足为D，
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PD⊥BC，
∴PA＝PD＝4cm，
∵BC＝13cm，
∴△BCP的面积＝ BC•PD
＝ ×13×4
＝26（cm2），
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形
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学科网（北京）股份有限公司添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2022秋•平谷区期末）如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE
和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（ ）
①△ABE≌△DBC
②BF平分∠AFC
③AF＝DF+BF
④∠AFD＝60°
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等边三角形的性质易证△ABE≌△DBC，可判断①选项；根据全等三角形
的性质得出∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，根据三角形的外角性质得出∠AFD＝
∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，可判断④选项；作BG⊥CD于点G，
BH⊥AE于点H，由S△ABE ＝S△DBC 可得BG＝BH，进一步可得BF平分∠AFC，可判断
②选项；在AE上截取AI＝DF，连接BI，易证△ABI≌△DBF（SAS），再证明△BFI
是等边三角形，得FI＝BF，进一步可判断③选项．
【解答】解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，
即∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确；
∴∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，
∴∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，故④正确；
作BG⊥CD于点G，BH⊥AE于点H，如图所示：
第2页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司∵△ABE≌△DBC，
∴S△ABE ＝S△DBC ，AE＝DC，
∴ CD•BG＝ AE•BH，
∴BG＝BH，
∵BG⊥CD，BH⊥AE，
∴点B在∠AFC的平分线上，
∴BF平分∠AFC，故②正确；
在AE上截取AI＝DF，连接BI，
在△ABI和△DBF中，
，
∴△ABI≌△DBF（SAS），
∴∠AIB＝∠DFB，
∵△ABE≌△DBC，
∴∠CDB＝∠EBA，
∴∠DFA＝∠ABD＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠IFB＝∠BFC＝60°，
∴∠AIB＝∠DFB＝120°，
∴∠BIF＝180°﹣∠AIB＝60°，
第3页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司∴∠FBI＝60°，
∴△BFI是等边三角形，
∴FI＝BF，
∴AF＝AI+FI＝DF+BF，故③正确，
故选：D．
【点评】本题为三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与
性质、角平分线的判定与性质、等积法，添加合适的辅助线是解题的关键，本题综合性
较强，难度较大．
3．（2022秋•东城区期末）已知∠AOB．下面是“作一个角等于已知角，即作∠A'O'B'＝
∠AOB”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【分析】作图过程可得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，利用SSS判定
△DOC≌△D′O′C′，可得∠O′＝∠O．
【解答】解：由作图得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），
∴∠O′＝∠O．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
4．（2022秋•东城区期末）如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰好
落在边AB的中点D'处．设S ，S 分别为△ADC和△ABC的面积，则S 和S 的数量关
1 2 1 2
系是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．S ＝ S B．S ＝ S C．S ＝2S D．S ＝3S
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】利用折叠的性质得出：△ADC≌△AD′C，则S△ADC ＝S△AD′C ，利用等底同高
的三角形的面积相等即可得出结论．
【解答】解：由题意得：△ADC≌△AD′C，
∴S△ADC ＝S△AD′C ．
∵点D′为AB的中点，
∴AD′＝D′B．
∵等底同高的两个三角形的面积相等，
∴S△AD′C ＝S△BCD′ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，等底同高的三角形的每个相等，掌握折叠的
性质并熟练应用是解题的关键．
5．（2022秋•西城区期末）在图中，∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AC＝AE＝CD．有下列结
论：
①把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；
②把△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；
③把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，可得到△ABC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质即可得
到结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AE，AC＝AC，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；故①正确；
如图，作AC的垂直平分线交AC于O，连接OD，OE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵AE＝CD．AC＝CA，
∴△ACD≌△CAE（SAS），
∴AD＝CE，∠DAC＝∠ECA，
∵AO＝OC，
∴△AOD≌△COE（SAS），
∴OD＝OE，
∴点A与点C，点D与点E关于线段AC的垂直平分线对称，
∴△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；故②正确；
把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，得不到到△ABC，故③错误；
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，线段垂直平分
线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
6．（2022 秋•顺义区期末）如图，AC 与 BD 相交于点 O，OA＝OC，那么要得到
△AOD≌△COB，可以添加一个条件是 OD ＝ OB （填一个即可）．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题根据题目条件，图形条件可知，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，只需要添加
一组对应边相等（即OD＝OB），或者对应角相等即可．
【解答】解：OD＝OB，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（SAS）．
故答案为：OD＝OB．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正
确解答本题的关键．
7．（2022秋•门头沟区期末）如图，AD＝AE，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于
点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是： ∠ B ＝∠ C （添加一个即
可）．
【分析】添加条件∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道
开放型的题目，答案不唯一．
【解答】解：添加条件：∠B＝∠C，
理由：由题意可得，AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，
若添加条件：∠B＝∠C，则△ABE≌△ACD（AAS）；
故答案为：∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解
此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SSS，SAS，ASA，AAS．
8．（2022秋•怀柔区期末）已知：如图，C为BD上一点，AB＝AD．只需添加一个条件则
可证明△ABC≌△ADC．这个条件可以是 BC ＝ DC （写出一个即可）．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意可以得到AB＝AD，AC＝AC，然后根据全等三角形的判定方法写出
添加的条件即可，注意本题答案不唯一．
【解答】解：由已知可得，
AB＝AD，AC＝AC，
∴若添加BC＝DC，则△ABC≌△ADC（SSS）；
若添加∠BAC＝∠DAC，则△ABC≌△ADC（SAS）；
若添加AC⊥CD，则Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）；
故答案为：BC＝DC．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法：
SSS，SAS，ASA，AAS，对于直角三角形，还有HL．
9．（2022秋•密云区期末）已知：如图，AB平分∠CAD．请添加一个条件 AC ＝ AD
（答案不唯一） ，使得△ABC≌△ABD．（要求：不添加辅助线，只需填一个答案即
可）
【分析】根据全等三角形全等的方法判断即可．
【解答】解：根据AAS判定△ABC≌△ABD，可以添加∠C＝∠D，
根据ASA判定△ABC≌△ABD，可以添加∠ABC＝∠ABD，
根据SAS判定△ABC≌△ABD，可以添加AC＝AD，
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，
属于中考常考题型．
10．（2022秋•密云区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在BC上截取
BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为8cm2，则
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学科网（北京）股份有限公司△BPC的面积为 4 cm2．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出AP＝PD，即得出△ABP和△DBP是
等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，即可推出
，即可求出答案．
【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的角平分线，
∴AP＝PD，
∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，
∴S△ABP ＝S△DBP ，S△ACP ＝S△DCP ．
∵S△ABC ＝S△ABP +S△DBP +S△ACP +S△DCP ，S△BPC ＝S△DBP +S△DCP ，
∴ ．
故答案为：4．
【点评】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关
键．
11．（2022 秋•东城区期末）如图，点 A，D，B，E 在同一条直线上，AD＝BE，
AC∥DF．添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．不增加任何新的字母或线，这个条件
可以是 AC ＝ DF （答案不唯一） ．
【分析】要使得△ABC≌△DEF．由条件可得到AB＝DE，∠A＝∠FDB，再加条件AC
＝DF，可以用SAS证明其全等．
【解答】解；添加AC＝DF；
∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
第9页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司即：AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠FDB，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：AC＝DF（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三
角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．（2022 秋•东城区期末）如图，在△ABC 中，BC＝9，CD 是∠ACB 的平分线，
DE⊥AC于点E，DE＝3．则△BCD的面积为 ．
【分析】作DF⊥CB于F，应用角平分线的性质求出DF的长，由三角形的面积公式即
可求解．
【解答】解：作DF⊥BC于F，
∵CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
∴△BCD的面积＝ BC•DF＝ ×9×3＝ ．
第10页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是作 DF⊥BC于F，应用角平
分线的性质．
13．（2022秋•西城区期末）如图，在四边形 ABDC中，∠ABD＝60°，∠D＝90°，BC平
分∠ABD，AB＝3，BC＝4．
（1）画出△ABC的高CE；
（2）△ABC的面积等于 3 ．
【分析】（1）过点C作BA延长线的垂线，即可画出△ABC的高CE；
（2）根据含30度角的直角三角形可得CD＝ BC＝2，结合（1）利用角平分线的性
质，即可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，CE即为所求；
（2）∵∠ABD＝60°，BC平分∠ABD，
∴∠EBC＝∠DBC＝30°，
∵∠D＝90°，BC＝4．
∴CD＝ BC＝2，
∵BC平分∠ABD，CE⊥AB，CD⊥BD，
∴CE＝CD＝2，
∵AB＝3，
∴△ABC的面积＝ AB•CE＝ 3×2＝3．
故答案为：3．
第11页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性
质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分
线的性质和勾股定理．
14．（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝50°，AD⊥BC于点
D，MC⊥BC于点C，MC＝BC．点E，点F分别在线段AD，AC上，CF＝AE，连接
MF，BF，CE．
（1）图中与MF相等的线段是 CE ；
（2）当BF+CE取最小值时∠AFB＝ 9 5 °．
【分析】（1）先证明三角形全等，再由性质求解；
（2）利用（1）的结论，转换为两点之间线段最短问题，再利用三角形是内角和求解．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，MC＝BC，
∴AC＝MC，
∵AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点C，
∴AD∥CM，∠MCB＝90°，
∴∠MCA＝∠CAD＝40°，
∵CF＝AE，
∴△CMF≌△ACE（SAS），
∴MF＝CE，
故答案为：CE；
（2）∵MF＝CE，
∴BF+CE＝BF+MF，
∴当MF和BF共线时，和最小，如下图，此时MB与AC交于点F′，
第12页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司∵MC＝BC，∠BCM＝90°，
∴∠CMB＝45°，
∴∠AF′B＝∠CF′M＝180°﹣∠CMB﹣∠MCA＝95°，
故答案为：95．
【点评】本题考查了最短路径问题，线段的转化是解题的关键．
15．（2022秋•门头沟区期末）如图，为了测量某河道的宽度，小明设计了如下方案：
（1）从B点出发沿与AB垂直的方向，走出一段距离并标注为点C；
（2）继续沿此方向走到与BC相同的距离并标注为点D；
（3）从点D出发沿与BD垂直的方向走出一段距离标注为点F；
（4）在DF上找到了一点E能够通过点C看到点A．
测量DE的长度即为该河道的宽度
此方案用到了一个重要的两个三角形有关的数学知识是 △ EDC ≌△ ABC ；这个数
学知识成立的依据是 ASA ．
【分析】由已知可以得到∠ABC＝∠BDE，又CD＝BC，∠ACB＝∠DCE，由此根据角
边角即可判定△EDC≌△ABC，则ED＝AB．
【解答】解：∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠ABC＝∠BDE
在△EDC和△ABC中，
，
第13页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司∴△EDC≌△ABC（ASA）．
∴ED＝AB
故答案为：△EDC≌△ABC；ASA．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的
对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．
三．解答题（共9小题）
16．（2022秋•平谷区期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，OA＝OB，求证：AP＝
BP．
【分析】证明△AOP≌△BOP（SAS），即可解决问题．
【解答】证明：∵点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP＝∠BOP，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴AP＝BP．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线定义，得到△AOP≌△BOP
解题的关键．
17．（2022秋•顺义区期末）已知：如图，AB＝DE，BC＝EF，AD＝CF．求证：∠B＝
∠E．
【分析】根据SSS即可判断△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性质证明即可．
第14页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AC＝DF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E．
【点评】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全
等三角形的判定方法．
18．（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，
AB∥DE，BF＝EC．
求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据BF＝EC，可以得到BC＝EF，再根据AB∥DE，可以得到∠B＝∠E，然
后根据SAS，即可证明△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，
利用数形结合的思想解答．
19．（2022秋•西城区期末）如图，A，D两点在BC所在直线同侧，AB⊥AC，BD⊥CD，
第15页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司垂足分别为A，D．AC，BD的交点为E，AB＝DC．求证：BE＝CE．
【分析】由AB⊥AC，BD⊥CD，得∠A＝∠D＝90°，即可根据全等三角形的判定定
理“AAS”证明△ABE≌△DCE，则BE＝CE．
【解答】证明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，
∴∠A＝∠D＝90°，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴BE＝CE．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对
应角并且证明△ABE≌△DCE是解题的关键．
20．（2022秋•密云区期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB边的垂
直平分线分别交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：DE＝DC；
（2）连接EC，若AB＝6，求△EBC的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝60°，根据线段垂直平分线的性质得
到AD＝DB，求出∠A＝∠ABD＝30°，再根据角平分线的性质得到DE＝DC；
（2）判定△EBC是等边三角形，即可求出周长．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴AD＝DB，
第16页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°
∴BD平分∠ABC，
∵DE⊥AB，AC⊥BC，
∴DE＝DC；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，
∴ ，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴ ，
∴BC＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴△EBC的周长为9．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等边三角形的判定
和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
21．（2022秋•门头沟区期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB
＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长．
【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线性质求出PC＝PE，求出DP∥OA，根据
平行线的性质求出∠PDE＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即
可．
【解答】解：过P作PE⊥OB于E，
第17页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PE＝ DP＝1，
∴PC＝1．
【点评】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能求出
∠PDE＝30°是解此题的关键．
22．（2022秋•东城区期末）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：BC
＝DE．
【分析】先求出∠BAC＝∠DAE，再利用“边角边”证明△ABC和△ADE全等，根据全
等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
第18页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司在△ABC和△ADE中， ，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题
的关键．
23．（2022秋•顺义区期末）数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角
的平分线的方法．
小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下：（1）第一
把直尺按图1所示放置，使一条边和射线OB对齐；
（2）第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线OA对齐；
（3）如图3，两把直尺的另一条边相交于点P，作射线OP．射线OP是∠AOB的平分
线．
小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线．
小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线．
…
请你也参与探讨，解决以下问题：
（1）小惠的做法正确吗？如果正确，请说明依据，如果不正确，请说明理由；
（2）请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出图 4中∠CDE的平分线，
并简述画图的过程．
【分析】（1）利用角平分线定理的逆定理可判定小明作图正确，然后利用全等三角形
的性质可画出∠AOB的平分线；
（2）用两个直角三角板画角的平分线即可．
【解答】解：（1）小惠的做法正确，理由如下：
如图3，过点P作PH⊥OB于H，
第19页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司∵PG⊥OA，PG＝PH，
∴OP平分∠AOB，
（2）如图4，
借用两把完全相同的直角三角板就可以作出一个角的平分线，
作法如图4：先在边DC，DE上分别量取DM＝DN，
然后如图移动放置两块三角板，使两块三角板的直角顶点分别与M、N重合，
两块三角板的一条直角边分别与DC、DEB边重合，另一直角边相交于角的内部一点
G．
过点G作射线DG即可．
【点评】本题考查了角平分线定义和全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的
理解能力和动手操作能力，题目比较好，难度适中．
24．（2022秋•西城区期末）在△ABC中，AB＝AC（AB＜BC），在BC上截取BD＝AB，
连接AD．在△ABC的外部作∠ABE＝∠DAC，且BE交DA的延长线于点E．
（1）作图与探究：
①小明画出图1并猜想AE＝AC．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：
∠ABC＝ 3 6 °．”
请写出小亮所说的条件；
②小明重新画出图2并猜想△ABE≌△DAC．他证明的简要过程如下：
第20页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司小明的证明：
在△ABE与△DAC中，
，
可得△ABE≌△DAC．（ASA）
请你判断小明的证明是否正确并说明理由；
（2）证明与拓展：
①借助小明画出的图2证明BE＝DE；
②延长AD到F，使DF＝AE，连结BF，CF．补全图形，猜想∠BFE与∠AFC的数量
关系并加以证明．
【分析】（1）①增加∠ABC＝36°，证明△ABC≌△ABE（ASA），即可的结论成立；
②小明证明时所使用的△DAC中的三个条件“∠DAC，AC，∠ADC”不是“两角和它
们的夹边”的关系，所以不能使用“ASA”来证明，进而可以解决问题；
（2）①根据等腰三角形的性质和外角定义即可解决问题；
②根据题意即可补全图形；过点B作BG⊥EF于点G，如图4，证明△ABE≌△CAF
（SAS），可得∠E＝∠AFC，然后利用线段的和差和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）解：①增加∠ABC＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝36°，
∵BD＝AB，
∴∠BAD＝∠BDA＝ （180°﹣36°）＝72°，
∴∠DAC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠ABE＝∠DAC＝36°，
∴∠ABE＝∠ABC＝36°，
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学科网（北京）股份有限公司∵∠BAC＝∠BAE＝180°﹣2×36°＝108°，
∵AB＝AB，
∴△ABC≌△ABE（ASA），
∴AC＝AE．
∴增加∠ABC＝36°时，AE＝AC成立．
故答案为：36；
②小明的证明不正确，
他证明时所使用的△DAC中的三个条件“∠DAC，AC，∠ADC”不是“两角和它们的
夹边”的关系，
所以不能使用“ASA”来证明．
（2）①证明：如图2，
∵AB＝AC，
∴∠3＝∠C，
∵∠DBE＝∠1+∠3，∠4＝∠2+∠C，∠1＝∠2，
∴∠DBE＝∠4．
∴BE＝DE；
②解：补全的图形如图3，
猜想∠BFE＝∠AFC，
证明：过点B作BG⊥EF于点G，如图4，
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学科网（北京）股份有限公司∵DF＝AE，
∴AE+AD＝DF+AD，
∴DE＝AF，
∵BE＝DE，
∴BE＝AF．
在△ABE与△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠E＝∠AFC，
∵BA＝BD，BG⊥EF，
∴DG＝AG，
∵DF＝AE，
∴DG+DF＝AG+AE，
∴FG＝EG，
∵BG⊥EF于点G，
∴BE＝BF，
∴∠BFE＝∠E，
∴∠BFE＝∠AFC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得
到△ABE≌△CAF．
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