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2020-2021 学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的．
1. 已知2x=3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线y＝（x﹣1）2＋2的顶点坐标是（ ）
.
A （2，1） B. （﹣1，2） C. （1，﹣2） D. （1，2）
3. 如图所示的正方形网格中有∠α，则tanα的值为（ ）．
A. B. C. D. 2
4. 已知，如图∠DAB＝∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是（ ）
A. ∠D＝∠B B. ∠E＝∠C C. D.
5. 如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度
CD＝2cm，则该管道的半径长为（ ）.
A 6cm B. 5.5cm C. 5cm D. 4cm
6. 如图，函数 与函数 的图象相交于点 ．若 ，则x的取值范围
是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
7. 如图，在 中， ， ， ，以 为圆心 为半径画圆，交 于点 ，
则阴影部分面积是（ ）
A. B. C. D.
8. 某种摩托车的油箱最多可以储油10升，李师傅记录了他的摩托车加满油后，油箱中的剩余油量y（升）
与摩托车行驶路程x（千米）的关系，则当0≤x≤500时，y与x的函数关系是（ ）．
x（千米） 0 100 150 300 450 500
y（升） 10 8 7 4 1 0
A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系
C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系
二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 将二次函数 化为 的形式，结果为y=_______________．
10. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则 ABO的面积
与 CDO的面积的比为_____． △
△
11. 如图， 是 上的三点，则 ，则 ______________度．
12. 如图，若点A与点B是反比例函数 的图象上的两点，过点A作AM⊥x轴于点M，
AN⊥y轴于点N，过点B作BG⊥x轴于点G，BH⊥y轴于点H，设矩形OMAN的面积为S，矩形BHOG的
1
面积为S，则S 与S 的大小关系为：S_____S（填“＞”，“＝”或“＜”）．
2 1 2 1 2
13. 如图，抛物线 的对称轴为 ，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐
标为（4，0），则点Q的坐标为__________．14. 如图，小东用长2米的竹竿 做测量工具，测量学校旗杆的高度 ，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶
端的影子恰好落在地面的同一点 ．此时， 米， 米，则旗杆 的高为_____米．
15. 如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8，则BE＋GC
的长为_____．
16. 学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数 的
图象，如图，他对该函数的性质进行了探究．下面有4个推断：①该函数自变量x的取值范围为x≠0；②
该函数与x轴只有一个交点（﹣1，0）；③若（x，y），（x，y）是该函数上两点，当x＜x＜0时一定
1 1 2 2 1 2
有y＞y；④该函数有最小值2，其中合理的是 ___.（写序号）
1 2三、解答题（本题共52分，第17～21题，每小题5分，第22题6分，第23～25题，每小题
5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
.
17 计算： ．
18. 已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l，
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC＝AP，
∴ ．
∴∠ABP＝∠BPC（ ）（填推理依据）．
∴直线PC∥直线l．
19. 已知抛物线 图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x －2 －1 0 1 2 3
y 5 0 －3 －4 －3 0
（1）求此抛物线的解析式；
（2）画出函数图象，结合图象直接写出当 时，y的范围．
20. 如图，热气球探测器显示，从热气球M处看一座电视塔尖A处的仰角为20°，看这座电视塔底部B处
的俯角为45°，热气球与塔的水平距离MC为200米，试求这座电视塔AB的高度．（参考数据：
sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线 经过点A（2，3）．
（1）求双曲线 的表达式；
（2）已知点P（n，n），过点P作x轴的平行线交双曲线 于点B，过点P作y轴的平行线交双
曲线 于点C，设线段PB、PC与双曲线上BC之间的部分围成的区域为图象G（不包含边界），
横纵坐标均为整数的点称为整点．
①当n＝4时，直接写出图象G上的整数点个数是 ；
②当图象G内只有1个整数点时，直接写出n的取值范围．22. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，E是AC上一点，以AE为直径作⊙O，若⊙O恰好经
过点D．
（1） 求证：直线BC与⊙O相切；
（2）若BD＝3， ，求⊙O的半径的长．
23. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2－2ax＋4（a＞0）．
（1）抛物线的对称轴为x＝ ；抛物线与y轴的交点坐标为 ；
（2）若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；
（3）若A（m－1，y），B（m，y），C（m＋2，y）为抛物线上三点，且总有y＞y＞y，结合图象，求
1 2 3 1 3 2
的
m 取值范围．
24. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于点F．
（1）求证：∠BAD＝∠CBE；
（2）过点A作AB的垂线交BE的延长线于点G，连接CG，依据题意补全图形；若∠AGC＝90°，试判断BF、AG、CG的数量关系，并证明．
25. 在平面直角坐标系xOy中的图形W与图形N，如果图形W与图形N有两个交点，我们则称图形W与图
形N互为“友好图形”．
（1）已知A（－1，1），B（2，1）则下列图形中与线段AB互为“友好图形”的是 ；
①抛物线y＝x2；
②双曲线 ；
③以O为圆心1为半径的圆．
（2）已知：图形W为以O为圆心，1为半径的圆，图形N为直线y＝x＋b，若图形W与图形N互为“友
好图形”，求b的取值范围．
（3）如图，已知 ， ， ，图形W是以（t，0）为圆心，1为半径的圆，
若图形W与 ABC互为“友好图形”，直接写出t的取值范围．
△
